Déterminants
Cependant il est facile de calculer le déterminant de matrices triangulaires. Proposition 4. Le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure)
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
inversible P de Mn(K) et une matrice triangulaire supérieure T `a d'une matrice tels que sa trace et son déterminant
Chapitre 7 D´eterminants
Un des usages des déterminants est de caractériser les matrices inversibles. Proposition 51 Si A est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure alors on
Cours de mathématiques
Cette propriété se généralise au cas d'une matrice triangulaire supérieure par blocs (le déterminant est le produit des déterminants des blocs diagonaux) ainsi
Matrices et déterminants
31 août 2021 M0 =P¡1 MP. Les matrices M et M0 sont dites semblables. Exercice. Montrer que si T est une matrice inversible triangulaire supérieure alors T ¡ ...
Sommaire 1. Déterminant dune matrice carrée
Remarque : On utilise souvent ceci pour « faire apparaitre des 0 » dans une ligne ou une colonne. 1.6. Déterminant d'une matrice triangulaire. Théorème : ? =
Calculs de déterminants
Calculer les déterminants des matrices suivantes : On a utilisé le fait que le déterminant d'une matrice diagonale (ou triangulaire) est le produit des ...
Calcul matriciel
28 févr. 2013 deux matrices triangulaires supérieures est une matrice ... Une matrice M est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Déterminants
Déterminant d'une matrice triangulaire. Propriétés du déterminant relatives aux opérations sur les matrices carrées. Calcul du déterminant d'une matrice
Généralités sur les matrices
Multiplication de deux matrices et de dimensions respectives et. : ......... 3 ... Déterminant ( ou ) . ... Matrice triangulaire supérieure :.
CHAPITRE
7Trigonalisation et diagonalisation
des matrices Sommaire1 Trigonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .12 Diagonalisation des matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
73 Une obstruction au caract
`ere diagonalisable . . . . . . . . . . . . . . . .114 Caract
´erisation des matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . . .125 Matrices diagonalisables : premi
`eres applications . . . . . . . . . . . . .156 Trigonalisation et diagonalisation des endomorphismes . . . . . . . . . .
177 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
20 Nous abordons dans ce chapitre les probl
`emes de trigonalisation et diagonalisation des ma- trices. Nous montrons que toute matrice `a coefficients complexes est trigonalisable, c"est-`a-dire semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure. On pr´esente quelques cons´equences th´eoriques importantes de ce r´esultat.
Le probl
`eme de la diagonalisation est plus´epineux. Une matrice n"est pas en g´en´eral dia- gonalisable, c"est- `a-dire semblable`a une matrice diagonale. Dans ce chapitre, on s"int´eressera aux obstructions au caract `ere diagonalisable. En particulier, nous donnerons une caract´erisation de nature g´eom´etrique des matrices diagonalisables.
Nous pr
´esentons deux applications imm´ediates de la diagonalisation des matrices avec le calcul des puissances d"une matrice diagonalisable et la r´esolution des syst`emes diff´erentiels
lin ´eaires d´efinis par une matrice diagonalisable. Nous reviendrons sur ces deux applications dans les prochains chapitres, notamment dans le cas o `u ils mettent en jeu des matrices non diagonalisables. x1 Trigonalisation des matrices7.1.1. D
´efinition.-Une matriceAdeMn(K)est ditetrigonalisabledansMn(K), siAest semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure deMn(K). C"est-`a-dire, s"il existe une matrice 1 2CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION
DES MATRICES
inversiblePdeMn(K)et une matrice triangulaire sup´erieureT`a coefficients dansKtelles queA=PTP1:(7.1)
On notera que toute matrice triangulaire sup
´erieure´etant semblable`a une matrice triangu- laireinf a une matrice triangulaire inf´erieure.7.1.2 Exercice.-SoitAune matrice deMn(K)et soitune valeur propre deA. Montrer
que la matriceAest semblable`a une matrice de la forme 2 6 6640...B 03 7 775
o `uBest une matrice deMn1(K).
7.1.3. Caract
´erisation des matrices trigonalisables.-Le r´esultat suivant fournit une ca- ract ´erisation des matrices trigonalisables.7.1.4 Th ´eor`eme (Th´eor`eme de trigonalisation).-Une matriceAdeMn(K)est trigonalisable dansMn(K)si, et seulement si, son polynˆome caract´eristiquepAest scind´esurK.Preuve.La condition est n ´ecessaire. SiAest une matrice trigonalisable, par d´efinition, elle est
semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure : t=2 6 6641
02...............
00n3 7 775Le polyn
ˆome caract´eristique de la matriceTest scind´e : pT= (1)n(x1):::(xn):
D"apr `es la proposition 6.3.3, deux matrices semblables ont mˆeme polynˆome caract´eristique. Ainsi,pA=pTet par suite le polynˆome caract´eristique deAest scind´e surK.La condition est suffisante. On proc
`ede par r´ecurrence surn. Toute matrice deM1(K)est trigonalisable. On suppose que tout matrice deMn1(K), dont le polynˆome caract´eristique est scind ´e, est trigonalisable, montrons que cela est vrai pour toute matrice deMn(K). SoitA2 Mn(K), telle que le polynˆomepAsoit scind´e surK. Le polynˆomepAadmet donc au moins une racinedansK. Consid´erons un vecteur propreedansKnassoci´e`a la valeur propre. Compl´etons le vecteureen une baseB= (e;e2;:::;en)deKn. SoituA l"endomorphisme deKnassoci´e`a la matriceA,i.e., l"endomorphisme d´efini, pour tout vecteur xdeKn, paruA(x) =Ax. On a uA(e) =Ae=e;
CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION
DES MATRICES3
par suite, la matrice de l"endomorphismeuAexprim´e dans la baseBest [uA]B=2 6 6640...B 03 7 775;
o `uBest une matrice deMn1(K). La matriceA´etant semblable`a la matrice[uA]B, il existe une matrice inversiblePdeMn(C), telle que P 1AP=2 6 664
0...B 03 7 775:
De plus, d"apr
`es 6.3.8, le polynˆome caract´eristique du blocBdivise le polynˆome caract´eristiquede la matriceA, il est donc scind´e comme ce dernier. Par hypoth`ese de r´ecurrence, la matriceB
est semblable `a une matrice triangulaire sup´erieure, il existe une matrice inversibleQdans M n1(K), telle quet0=Q1BQsoit triangulaire sup´erieure. En multipliant par blocs, on a : 2 66641 00
0...Q 03 7 7751P 1AP2 6
6641 00
0...Q 03 7 775=26 664
0...Q1BQ
03 7 7752 6 664
0...T0
03 7 775:En posant
R=P2 66641 00
0...Q 03 7 775;la derni `ere´egalit´e s"´ecrit R 1AR=2 6
6641 00
0...Q 03 7 775:Ainsi,Aest semblable`a une triangulaire sup´erieure.
7.1.5. Trigonalisation surC.-Voici une premi`ere cons´equence importante du th´eor`eme de
trigonalisation.D"apr nul deC[x]est scind´e surC. Par suite, on a 4CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION
DES MATRICES7.1.6 Proposition.-Toute matriceAdeMn(C)est trigonalisable dansMn(C).Notons que toute matriceAdeMn(R)peut toujours se trigonaliser dansMn(C). En effet,
si le polyn ˆome carat´eristique deAest scind´e surR,Aest trigonalisable dansMn(R). Sinon, le polyn ˆomepAest toujours scind´e dansMn(C). Il existe alors une matrice inversiblePet une matrice triangulaireTdeMn(C)telles queA=PTP1.7.1.7. Exemple.-La matrice suivante deM4(R)
A=2 66401 1 1
1 0 1 1
0 0 01
0 0 1 03
7 75admet pour polyn
ˆome caract´eristique
pA= (x2+ 1)2:
Ce polyn
ˆome n"est pas scind´e dansR[x], la matriceAn"est donc pas trigonalisable dans M4(R). Cependant, il est scind´e dansC[x]:
pA= (xi)2(x+i)2:
La matrice est trigonalisable. Posons
P=2 66411 1 0
i0i i0 1 0 1
0i0i3 7 75:Le premier et troisi
`eme vecteur colonne de la matricePsont des vecteurs propres associ´es aux valeurs propresietirespectivement. Les deux autres vecteurs colonnes compl`etent ces vecteurs en une base de trigonalisation. On a A=P2 664i1 0 0
0i0 0 0 0i10 0 0i3
775P1;avecP1=12
2 6641i1 0
0 0 1i
1i0i0 0 1i3
7 75:7.1.8. Somme et produit des valeurs propres.-Le th´eor`eme de trigonalisation nous permet
de relier des invariants d"une matrice, tels que sa trace et son d´eterminant,`a ses valeurs propres.
Si une matriceAest trigonalisable, semblable`a une matrice triangulaire sup´erieureT, alors les valeurs propres deA´etant les racines du polynˆomepA, sont aussi les coefficients de la diagonale de la matriceT. ´Etant donn´ee une matriceAdeMn(C), alors son polynˆome caract´eristique est scind´e surC: pA= (1)n(x1):::(xn):
CHAPITRE 7. TRIGONALISATION ET DIAGONALISATION
DES MATRICES5
La matriceAest semblable`a une matrice triangulaireT,i.e., il existe une matrice inversibleP telle que P 1AP=2 6 6641
02...............
00n3 7 775Etant semblables, les matricesAetTont mˆeme trace et mˆeme d´eterminant, on en d´eduit que la trace (resp. le d ´eterminant) deAest´egale`a la somme (resp. le produit) des valeurs propres, compt
´ees avec leur ordre de multiplicit´e. Pr´ecis´ement, on a7.1.9 Proposition.-SoitAune matrice deMn(C)de polynˆome caract´eristique
pA= (1)n(x1)n1:::(xp)np;
o`unid´esigne l"ordre de multiplicit´e de la valeur propreidans le polynˆome caract´eristique.
Alors,
i)trace(A) =n11+:::+npp, ii)det(A) =n11:::npp.Plus g
´en´eralement, pour tout entierk1, on a
iii)trace(Ak) =n1k1+:::+npkp, iv)det(Ak) =k:n11:::k:npp.7.1.10. Exemples.-Dans l"exemple 6.3.5, on a montr´e que la matriceA=01 1 0 poss `ede deux valeurs propresieti; la somme de ces valeurs propres est´egale`a la trace deA et leur produit est le d´eterminant deA.
Dansl"exemple6.3.6,onamontr
R =cossin sincos estSpC(R) =fei;eig. La proposition pr´ec´edente, nous permet de retrouver les relations trigonom´etriques bien connues :
trace(R) = 2cos=ei+ei; detR= 1 =eiei:7.1.11 Exercice.-Montrer qu"une matrice deMn(R)est inversible si, et seulement si, elle
n"admet pas de valeur propre nulle.7.1.12. Exemple.-Dans l"exemple 7.3.4, nous avons montr´e que la matrice
A=2 666400 1.........
00 1 11 13 7quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50[PDF] determinant de vandermonde recurrence
[PDF] déterminant matrice 2x2
[PDF] determinant matrice 3x3
[PDF] determinant matrice 4*4
[PDF] déterminant matrice 5x5
[PDF] determinant matrice exercices corrigés
[PDF] determinant matrice propriété
[PDF] déterminant sociologique définition
[PDF] déterminants taux de change
[PDF] détermination de la dureté de l'eau par complexométrie
[PDF] determination du rapport e m correction
[PDF] détermination du rapport e/m pour l'électron correction
[PDF] détermination du résultat fiscal cas pratique
[PDF] détermination dureté de l'eau