Déterminants
Cependant il est facile de calculer le déterminant de matrices triangulaires. Proposition 4. Le déterminant d'une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure)
chapitre 7 : Trigonalisation et diagonalisation des matrices
inversible P de Mn(K) et une matrice triangulaire supérieure T `a d'une matrice tels que sa trace et son déterminant
Chapitre 7 D´eterminants
Un des usages des déterminants est de caractériser les matrices inversibles. Proposition 51 Si A est une matrice triangulaire supérieure ou inférieure alors on
Cours de mathématiques
Cette propriété se généralise au cas d'une matrice triangulaire supérieure par blocs (le déterminant est le produit des déterminants des blocs diagonaux) ainsi
Matrices et déterminants
31 août 2021 M0 =P¡1 MP. Les matrices M et M0 sont dites semblables. Exercice. Montrer que si T est une matrice inversible triangulaire supérieure alors T ¡ ...
Sommaire 1. Déterminant dune matrice carrée
Remarque : On utilise souvent ceci pour « faire apparaitre des 0 » dans une ligne ou une colonne. 1.6. Déterminant d'une matrice triangulaire. Théorème : ? =
Calculs de déterminants
Calculer les déterminants des matrices suivantes : On a utilisé le fait que le déterminant d'une matrice diagonale (ou triangulaire) est le produit des ...
Calcul matriciel
28 févr. 2013 deux matrices triangulaires supérieures est une matrice ... Une matrice M est inversible si et seulement si son déterminant est non nul.
Déterminants
Déterminant d'une matrice triangulaire. Propriétés du déterminant relatives aux opérations sur les matrices carrées. Calcul du déterminant d'une matrice
Généralités sur les matrices
Multiplication de deux matrices et de dimensions respectives et. : ......... 3 ... Déterminant ( ou ) . ... Matrice triangulaire supérieure :.
Matricesetdéterminants
0Quelquesrappelsdepremièreannée
0.1Matricesetapplicationslinéaires
respectivepetn.C?=(f1?,...,fn?).
0.1.1Définitions
3.Endéduiredet?.
Réciproquement,
y=u(x)?Y=MXL(E,F)→Mn,p(K)
u?→Mat(u,B,C)estunisomorphisme.0.1.2Changementsdebases
Coordonnées
PC1-C023septembre2023
base)B?dans(l"anciennebase)B: e1?e2?...ep?
PB→B?=(
((a11a12...a1p
))←e1···←ep
P deB?. ((a 11···ap1)
((a11a12...a1p
(10···)
Changementdematrices
OnnoteP=PB→B?etQ=PC→C?.
1.dansBetC:Y=MXoùM=Mat(u,B,C)
2.dansB?etC?:Y?=M?X?oùM?=Mat(u,B?,C?)
Casdesendomorphismes
LesmatricesMetM?sontditessemblables.
0.2Déterminants
0.2.1Définitions
propriétéssuivantes: iii.det(In)=1. detB(u1,...,un)=detM0.2.2Propriétésdudéterminant
SoitM?Mn(K)unematricecarrée.
ii.Siλ?K,det(λM)=λndet(M).SoientM,N?Mn(K),
i.det(M×N)=det(M)×det(N) ii.siMestinversible,det(M-1)=(det(M))-1.Ondéfinitalors:
PC1-C02
Définition0.2.10.Mineur,cofacteur
laligneietlacolonnej:Δij=?11...a1j-1|a1j+1...a1n
a i+11...ai+1j-1|ai+1j+1...ai+1nSoitM=(aij)?Mn(K)unematricecarrée.
i.développementsuivantunecolonne: ?j?[[1,n]],detM=? i=1n a ij(-1)i+jΔij ii.développementsuivantuneligne: ?i?[[1,n]],detM=? j=1n a ij(-1)i+jΔij. i=1naijeiet detM=detB(c1,...,cn)=detB(c1,...,? i=1naijei,...,cn)=? i=1naijdetB(c1,...,cj-1,ei,cj+1,...,cn). detM=? detM=? i=1n a ij(-1)j-1?1ai1...aij-1aij+1...ain
0ai+11...ai+1j-1ai+1j+1...ai+1n
Onremontelaligneipari-1permutations:
detM=? i=1n a ij(-1)i+j-2?0a11...a1j-1a1j+1...a1n
0ai+11...ai+1j-1ai+1j+1...ai+1n
i=1n a ij(-1)i+j-2?0a11...a1j-1a1j+1...a1n
0ai+11...ai+1j-1ai+1j+1...ai+1n
0M? définies définition0.2.1.Soitf?L(E)dontlamatricedansBestA=(
((122 112-2-2-3)
2.Calculerf4(e1)etendéduirequef4=IdE.
1Matricesparblocsetsous-espacesstables
1.1Matricesparblocs
M=( ((A11...A1h···fififiAk1...Akh) onditquelamatriceMestunematriceparblocs. MestOnmontre:
Proposition1.1.1.[opérationsparblocs]
matricesAijetBijsontdansMni,pj(K),alorsM+N=(Aij+Bij)(i,j)??1,k?×?1,??
dansMpj,qh(K),alorsM×N=??
j=1?Aij×Bjh? (i,h)??1,k?×?1,m? (j,i)??1,??×?1,k?Exercice.SoitM=?MrM2
M1M3?OnveutmontrerqueM3=M1Mr-1M2.
1.Peut-ontrouverA=?
Mr-10 BC? tellequeA×?Mr M1? =?Ir 0? ?Matricesparblocsetsous-espacesstables5PC1-C02
1.2Sousespacesstables
Définition1.2.1.Sous-espacestable
Définition1.2.2.Endormorphismeinduit
usurF. adaptéeàF.Soitenfinu?L(E). n-ppn-p?AC 0D? E (A10···0Ap) montréqueImueststableparv.2Déterminants
2.1Matricestriangulairesparblocs
SoitM=?AC
0B? detM=detA×detBA0p,n-p
0n-p,pIn-p?
,B?=?Ip0p,n-p
0n-p,pB?
etC?=? IpC 0 n-p,pIn-p? .DoncdetM=detA?×detB?×detC?.Demême,detB?=detB.?
alorsdet(M)=? i=1pdet(Ai,i). ?i?{0,...,n},L(ai)=bi.Ondisposedelaformulesuivante:
L=? i=0n b i? ai-aj?Démonstration.?existenceetunicité:
doncuestunisomorphisme. ?formedeL: i=0nbieietL=u-1(b0,b1,...,bn)=?
i=0n b iu-1(ei).Li(aj)=0sij??0,n?\{i}
L i(ai)=1 doncLiestdivisiblepar?Doncilexisteλ?KtelqueLi=λ?
L i=? j=1j=/in X-aj ai-aj?Soitn?N?etx1,...,xn?K.Alors:
V n(x1,...,xn)=?1x2x22...x2n-1
1xnxn2...xnn-1?
1?i PC1-C02
laissentledéterminantinchangédonc: V n(x1,...,xn)=? 1xn-x1xn(xn-x1)...xnn-2(xn-x1)?
j=2n (xj-x1)) ×Vn-1(x2,...,xn)
Exercice.Calculer?
a 2b2c2 a 3b3c3?
a 2+b2b2+c2c2+a2
a 3+b3b3+c3c3+a3?
?i?{0,...,n},L(ai)=bi 3Trace
SoitM=(mi,j)?Mn(K).LatracedeMest:
trM=? i=1n m i,i. i.LatraceestuneformelinéairesurMn(K). tr(M)=? i=1k tr(Aii) Proposition3.0.3.Soit(A,B)?Mn(K)2.Alors:
tr(AB)=tr(BA). Démonstration.Eneffet,tr(AB)=?
i=1n k=1n a i,kbk,i? k=1n i=1n b k,iai,k? =tr(BA).? Définition3.0.4.Matricessemblables
On-r,rOn-r,n-r?
,dontlatracevautr. Ainsitrp=r=rgp.?
-(an)n?N+(bn)n?N=(an+bn)n?N -λ·(an)n?N=(λan)n?N k=0napbn-p. UnpolynômeP=(an)n?Nsenotealors?
n=0n P×Q=(?
n=0n 0anXn)×(?
n=0n commutatif. SoitP=?
k=0nakXk?K[X]. OnnotealorsP(u)l"endomorphismedeE:
P(u)=?
k=0n a kuk=a0IdE+a1u+···+anun alorsP(M)lamatricedeMp(K): P(M)=?
k=0n a kMk=a0Ip+a1M+···+anMn pasdesens. Exemple.
enparticulier,P(IdE)=P()IdE. PC1-C02
Remarque.
Φ:K[X]→L(E)
P?→P(u)etΨ:K[X]→Mp(K)
P?→P(M)
Définition4.0.3.Polynômeannulateur
(resp.P(M)=0). oud'unematrice. Exercice4.0.1.
).SoitJp=0 B C CA?Mp(R).
2.SoitA=0
B B@-111
1-11 11-11 C CA 1.Formulesdechan}ementdebases.
Unpeud"histoire:
PC1-C02
((A1···Ap) B0? oùA?Mr(K). deRnenunesommedirecteparticulière. A=( ((((ab...b b...ba) 3.EndéduireledéterminantdeA.
Exercice4.Soitn?3
i??0,k?)=Vect(Xi,i??0,k?). i=0kXi.Calculerledéterminant diagonauxconnus. E023septembre2023
Indication:NewtonetVandermonde
netonconsidèrelesmatrices: A=( ((((((((((a 1a2a3...an
ana1a2an-1 a2a3...ana1) ))))))))))etM=( ((((((((((((111...1 1ωω2...ωn-1
1ω2ω4ω2(n-1)
1ωn-1ω2(n-1)...ω(n-1)(n-1))
ligneietlacolonnej. 1.Quevaut,pourj?[[1,n]],?
i=1n(-1)i+jai,jdetAi,j? 2.Montrerque,pourtousj=/kde[[1,n]],?
i=1n(-1)i+jai,kdetAi,j=0. 1?i,j?n?
4.Qu"endéduiresin=2?
tout(i,j)?Nn2|i-j|≥2=?mi,j=0. 0...011
2 a iMiA+biMiB+ciMiC=0?(?) 2.Onsuppose,pouri?{1,2,3},queai+bi+ci=1.
sontalignéssietseulementsi? 1a2a3 b1b2b3 c1c2c3? Vandermondecorrespondante.
Exercice11.
αM+(trM)A=B
2.Réciproquement,
E02 KerT={AB-BA|A,B?Mn(K)}
Exercice17.Soitt?C?etB=(
((0tt2 1/t0t 1/t21/t0)
ensommedirecte. 4quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50
PC1-C02
laissentledéterminantinchangédonc: V n(x1,...,xn)=?1xn-x1xn(xn-x1)...xnn-2(xn-x1)?
j=2n (xj-x1))×Vn-1(x2,...,xn)
Exercice.Calculer?
a 2b2c2 a3b3c3?
a2+b2b2+c2c2+a2
a3+b3b3+c3c3+a3?
?i?{0,...,n},L(ai)=bi3Trace
SoitM=(mi,j)?Mn(K).LatracedeMest:
trM=? i=1n m i,i. i.LatraceestuneformelinéairesurMn(K). tr(M)=? i=1k tr(Aii)Proposition3.0.3.Soit(A,B)?Mn(K)2.Alors:
tr(AB)=tr(BA).Démonstration.Eneffet,tr(AB)=?
i=1n k=1n a i,kbk,i? k=1n i=1n b k,iai,k? =tr(BA).?Définition3.0.4.Matricessemblables
On-r,rOn-r,n-r?
,dontlatracevautr.Ainsitrp=r=rgp.?
-(an)n?N+(bn)n?N=(an+bn)n?N -λ·(an)n?N=(λan)n?N k=0napbn-p.UnpolynômeP=(an)n?Nsenotealors?
n=0nP×Q=(?
n=0n0anXn)×(?
n=0n commutatif.SoitP=?
k=0nakXk?K[X].OnnotealorsP(u)l"endomorphismedeE:
P(u)=?
k=0n a kuk=a0IdE+a1u+···+anun alorsP(M)lamatricedeMp(K):P(M)=?
k=0n a kMk=a0Ip+a1M+···+anMn pasdesens.Exemple.
enparticulier,P(IdE)=P()IdE.PC1-C02
Remarque.
Φ:K[X]→L(E)
P?→P(u)etΨ:K[X]→Mp(K)
P?→P(M)
Définition4.0.3.Polynômeannulateur
(resp.P(M)=0). oud'unematrice.Exercice4.0.1.
).SoitJp=0 B CCA?Mp(R).
2.SoitA=0
BB@-111
1-11 11-11 C CA1.Formulesdechan}ementdebases.
Unpeud"histoire:
PC1-C02
((A1···Ap) B0? oùA?Mr(K). deRnenunesommedirecteparticulière. A=( ((((ab...b b...ba)3.EndéduireledéterminantdeA.
Exercice4.Soitn?3
i??0,k?)=Vect(Xi,i??0,k?). i=0kXi.Calculerledéterminant diagonauxconnus.E023septembre2023
Indication:NewtonetVandermonde
netonconsidèrelesmatrices: A=( ((((((((((a1a2a3...an
ana1a2an-1 a2a3...ana1) ))))))))))etM=( ((((((((((((111...11ωω2...ωn-1
1ω2ω4ω2(n-1)
1ωn-1ω2(n-1)...ω(n-1)(n-1))
ligneietlacolonnej.1.Quevaut,pourj?[[1,n]],?
i=1n(-1)i+jai,jdetAi,j?2.Montrerque,pourtousj=/kde[[1,n]],?
i=1n(-1)i+jai,kdetAi,j=0.1?i,j?n?
4.Qu"endéduiresin=2?
tout(i,j)?Nn2|i-j|≥2=?mi,j=0.0...011
2 a iMiA+biMiB+ciMiC=0?(?)2.Onsuppose,pouri?{1,2,3},queai+bi+ci=1.
sontalignéssietseulementsi? 1a2a3 b1b2b3 c1c2c3?Vandermondecorrespondante.
Exercice11.
αM+(trM)A=B
2.Réciproquement,
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