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NNOOMMBBRREESS CCOOMMPPLLEEXXEESS
Un peu d'histoire
Au XVIe siècle, l'italien Cardan lève une
interdiction célèbre entre toutes : il imagine qu'un nombre négatif peut admettre une racine carrée. Ainsi était créé l'ensemble des nombres complexes. Deux siècles plus tard, le suisse Euler utilise la lettre " i » en lieu et place de la notation pour le moins ambiguë "1 ».
Le nombre i est un nombre imaginaire, dans le
sens où il ne peut être un nombre réel ! Depuis, la théorie sur les nombres complexes n'a cessé de progresser et de trouver des applications dans divers domaines tels que l'électricité, l'électronique, ... Leonhard Euler, mathématicien suisse (1707-1783)Remarque : La lettre j est souvent préférée à i afin d'éviter, lors d'applications en électricité,
toute confusion avec l'intensité du courant.I) Présentation des nombres complexes
1) Définition
Il existe un ensemble noté
dont les éléments, appelés nombres complexes, sont de la forme : zajb où a et b sont des nombres réels et j² = -1. a est la partie réelle et b est la partie imaginaire.Remarque
: a + jb est la forme algébrique de z.2) Représentation graphique
Dans le plan muni d'un repère, le nombre complexe z = a + jb est représenté par le point M de coordonnées (a, b) ou le vecteur: aOMbOn dit que
M est l'image de z ou que z est l'affixe de M.
M(z) a b u v OAxe imaginaire
Axe réel
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3) Egalité
Deux nombres complexes
11 1 zajb et 22 2zajbsont égaux s'ils ont même partie réelle et même partie imaginaire : 12 zz alors 12 aa et 12 bb
En particulier : si
0zajb , alors 0ab
4) Conjugué
Si zajb, le nombre ajbest appelé conjugué dezet est noté z. z a jb z a jbOn remarque que
zz.II) Opérations
On admet que les règles de calcul pour l'addition et la multiplication sont les mêmes dans que dans (en utilisant ² -1j).1) Somme
Si et ' ' ', alors ' ( ') ( ').zajbz ajb zz aa jbb2) Produit
Si et ' ' ', alors ' ( ' ') ( ' ').
z a jb z a jb zz aa bb j ab ba3) Inverse et quotient
L'inverse d'un nombre complexe
z, noté 1 z , peut être mis sous la forme a+ jb en utilisant le conjugué : 1z z zz Il en est de même pour le quotient de deux nombres complexes z et z' (z' non nul) : ''zzz z zzIII) Forme trigonométrique
1) Module
Dans un plan de repère
, ,Ouv , soit un point M et son affixe zajb. La norme du vecteurOMest : ²²OM OM a b
M(z) a b u v Ohttp://maths-sciences.fr Bac Pro indus
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On appelle module de z le nombre réel positif : ²²zab Le module peut aussi être désigné par les lettresou r. On remarque que :²²zz a jb a jb a b d'où
2 zz z2) Argument
On appelle
argument de z, pour0z, et on note argz, une mesure à 2près de l'angle. arg , avec cos et sin abz UURemarques
- Le nombre z = 0 n'a pas d'argument car n'est pas défini. - Le tableau ci-dessous donne les valeurs trigonométriques exactes des angles remarquables. 0 6 4 3 2 sin 0 1 2 2 2 3 2 1 cos 1 3 2 2 2 1 2 0http://maths-sciences.fr Bac Pro indus
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3) Forme trigonométrique d'un nombre complexe
La forme trigonométrique d'un nombre complexe est : cos sinzj. j est le nombre complexe de module 1 et d'argument 2 : 1, 2j4) Opération et forme trigonométrique (0 et '0)zz
a) Produit ''cos 'sin 'zz j quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] produit scalaire 1ere sti2d
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