[PDF] Cours de mathématiques - terminale S

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COURS DE MATHÉMATIQUES

Terminale S

Valère BONNET(

valere.bonnet@gmail.com)

29 mai 2011

Lycée PONTUS DETYARD

13 rue des Gaillardons

71100 CHALON SUR SAÔNE

Tél. : (33) 03 85 46 85 40

Fax : (33) 03 85 46 85 59

FRANCE

ii

LYCÉEPONTUS DETYARDTerminale VI

Table des matières

Tabledes matièresiii

I Vocabulairede la logique1

I.1 Qu"est-ce qu"une proposition?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.2 Négation d"une proposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I.3 Le " et ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 1

I.4 Le " ou ». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . 2

I.5 Propositions et parties d"un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.6 Lois de MORGAN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .2

I.7 Opérations sur les parties d"un ensemble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

I.8 Implications. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 5

I.8.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.8.2 Réciproque d"une implication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I.8.3 Contraposée d"une implication. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.8.4 Implication contraire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.9 Double implication ou équivalence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

I.10 Formules récapitulatives. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

I.11 Raisonnement par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

II Révisions9

II.1 Identités remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II.2 Éléments de symétries d"une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II.2.1 Symétries dans IR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

II.2.2 Axe de symétrie d"une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

II.2.3 Centre de symétrie d"une courbe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

II.3 Trigonométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 12

II.3.1 Quelques valeurs remarquables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

II.3.2 Quelques formules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

II.3.3 Équations trigonométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

II.4 Géométrie du triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II.4.1 Aire d"un triangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II.4.2 Théorème des sinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

II.4.3 Théorème d"ALKASHI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II.4.4 Théorème de la médiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II.5 Polynômes du second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II.5.1 Forme canonique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II.5.2 Représentation graphique et sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

II.5.3 Factorisation et résolution d"équations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

II.5.4 Signe d"un trinôme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

II.5.5 Tableau récapitulatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II.5.6 Compléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II.5.7 Travaux dirigés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

II.5.8 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

II.6 Exercices résolus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26

iii ivTable des matières

III Suites numériques31

III.1 Vocabulaire de l"ordre dans IR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III.1.1 Majorants, minorants .... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III.1.2 Théorème de la borne supérieure (complément). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

III.2 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 32

III.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

III.2.2 Composée d"une suite par une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

III.2.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32

III.3 Représentation graphique d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

III.3.1 Représentation graphique d"une suite définie explicitement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

III.3.2 Représentation graphique d"une suite définie par récurrence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

III.3.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 33

III.4 Suites bornées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 34

III.4.1 Généralités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

III.4.2 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 34

III.5 Suites monotones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

III.5.1 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .35

III.5.2 Méthodes d"étude du sens de variation d"une suite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

III.5.3 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 37

III.6 Suites arithmétiques - suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

III.6.1 Suites arithmétiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

III.6.2 Suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

III.6.3 Exercices résolus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

III.7 Limites de suites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 42

III.7.1 Limite finie, limite infinie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

III.7.2 Théorèmes de comparaisons. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

III.7.3 Calcul algébrique de limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

III.7.4 Limites de suites géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

III.7.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 48

III.8 Suites monotones bornées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

III.8.1 Théorème de convergence d"une suite monotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

III.8.2 Suites adjacentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

III.8.3 Exercices résolus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

III.8.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 51

III.9 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 51

IV Limites de fonctions, continuité53

IV.1 Limite finie (ou réelle). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

IV.1.1 Limite d"une fonction en. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

IV.1.2 Limite d"une fonction en un réela. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

IV.2 Notion de continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

IV.3 Utilisation de la continuité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

IV.3.1 Continuité et bijection. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

V Exponentielleset équationsdifférentielles57

V.1 La fonction exponentielle de base e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

V.1.1 Propriété fondamentale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

V.1.2 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

V.1.3 Autres propriétés algébriques de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

V.1.4 Quelques limites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

V.2 La fonction logarithme népérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

V.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

V.2.2 Dérivabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .61

V.2.3 Dérivée de lnu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

V.2.4 Logarithme népérien et calcul intégral. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

V.3 Des exponentielles et des logarithmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

V.3.1 Notationab, poura,bréels eta0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

V.3.2 Fonctions exponentielles de basea(aveca0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

V.3.3 Fonctions logarithmes de basea(aveca0 eta?1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

V.4 Équations différentielles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

V.4.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

LYCÉEPONTUS DETYARDTerminale VI

Table des matièresv

V.4.2 Équations du typeyay0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

V.4.3 Équations du typeyayb. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

V.4.4 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 68

VI Dérivabilité69

VI.1 Fonctions dérivables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

VI.1.1 Nombre dérivé, fonction dérivée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

VI.1.2 Dérivabilité des fonctions usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

VI.1.3 Principaux résultats. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

VI.2 Dérivation d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

VI.2.1 Théorème de dérivation d"une fonction composée. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

VI.2.2 Dérivée de la fonctionu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

VI.2.3 Dérivée de la fonctionun(n?). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

VI.3 Dérivation et études de fonctions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

VI.3.1 Sens de variation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

VI.3.2 Extremum local. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

VI.4 Dérivées successives d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

VI.5 Exercices résolus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 73

VII Nombres complexes77

VII.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 77

VII.1.1 Des équations et des ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

VII.1.2 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 77

VII.1.3 Définitions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .78

VII.1.4 Calcul dans?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

VII.2 Interprétations géométriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

VII.2.1 Affixe, point image, vecteur image. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

VII.2.2uu,ku,MM. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

VII.2.3 Écriture complexe de certaines symétries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

VII.2.4 Coordonnées polaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

VII.2.5 Module et arguments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

VII.3 Propriétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

VII.3.1 Propriétés du conjugué. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

VII.3.2 Propriétés du module et des arguments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

VII.3.3 Formule de MOIVRE(complément). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

VII.4 Notation exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

VII.4.1 Une équation différentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

VII.4.2 Définitions et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

VII.4.3 Forme exponentielle et symétries usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

VII.4.4 Formules d"EULER. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

VII.4.5 Racines carrées d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

VII.5 Nombres complexes et polynômes (compléments). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

VII.5.1 Théorème fondamental de l"algèbre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

VII.5.2 Résolution des équations du second degré. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

VII.6 Utilisation des nombres complexes (compléments). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

VII.6.1 Racinesn-ièmes de l"unité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

VII.6.2 Racinesn-ièmes d"un nombre complexe non nul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

VII.6.3 Polynômes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .90

VII.6.4 Forme algébrique des racines carrées d"un nombre complexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

VII.6.5 Trigonométrie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

VII.7 Géométrie et nombres complexes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

VII.7.1 Propriétés générales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

VII.7.2 Écriture complexe de quelques transformations usuelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

VII.7.3 Affixe du barycentre d"un système de points pondérés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

????-????série S viTable des matières

VIII Intégration97

VIII.1Primitives d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

VIII.1.1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

VIII.1.2Détermination pratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

VIII.1.3Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99

VIII.2Premiers calculs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 99

VIII.2.1Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

VIII.2.2Intégrale d"une fonction constante. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

VIII.2.3Intégrale d"une fonction en escalier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

VIII.2.4Activité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 102

VIII.2.5Propriétés des intégrales de fonctions en escalier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

VIII.3Intégrale de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

VIII.3.1Définition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 103

VIII.3.2Sommes de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

VIII.3.3Exemple d"intégrale d"une fonction usuelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

VIII.4Théorème fondamental de l"analyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

VIII.4.1Problème ouvert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

VIII.4.2Théorème fondamental de l"analyse. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

VIII.4.3Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 110

VIII.5Proptiétés algébriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

VIII.5.1Relation de Chasles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

VIII.5.2Linéarité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 111

VIII.5.3Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 112

VIII.6Propriétés de comparaison. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

VIII.6.1Signe de l"intégrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

VIII.6.2Inégalité de la moyenne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

VIII.6.3Valeur moyenne d"une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

VIII.6.4Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 116

VIII.7Autres techniques de calcul. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

VIII.7.1Intégration par parties. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

VIII.7.2Intégration et invariance géométrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

VIII.7.3Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 120

IX Dénombrement121

IX.1 Notions Préliminaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

IX.1.1 Rappels et compléments sur les ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

IX.1.2 Produit cartésien d"ensembles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

IX.2 Factorielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . 123

IX.3 Tirage depéléments dans un ensemble ànéléments. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

IX.3.1 Tirages successifs avec remise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

IX.3.2 Tirages successifs sans remise. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

IX.3.3 Combinaisons - Tirages simultanés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

IX.3.4 Tableau récapitulatif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

X Calculdes probabilités131

X.1 Calculs de probabilités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

X.1.1 Vocabulaire des événements. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

X.1.2 Probabilité d"un événement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

X.1.3 Probabilités conditionnelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

X.2 Variable aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 138

X.2.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

X.2.2 Fonction de répartition d"une variable aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

X.2.3 Caractéristiques d"une variable aléatoire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

X.2.4 Variables aléatoires indépendantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

X.3 Lois de probabilités discrètes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

X.3.1 Loi binomiale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

X.3.2 Loi de Poisson. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

X.4 Lois de probabilités continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

X.4.1 Intégrales généralisées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

X.4.2 Généralités sur lois de probabilités continues. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

X.4.3 Loi uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

LYCÉEPONTUS DETYARDTerminale VI

Table des matièresvii

X.4.4 Loi exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

X.5 Adéquation à la loi équirépartie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

XI Barycentre153

XI.1 Barycentre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 153

XI.1.1 Introduction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

XI.1.2 Activités. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . 153

XI.1.3 Définition et propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

XI.1.4 Propriétés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 156

XI.1.5 Exercices. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 158

Index159

????-????série S viiiTable des matières

LYCÉEPONTUS DETYARDTerminale VI

Chapitre IVocabulaire de la logiqueI.1 Qu"est-ce qu"une proposition?

DÉFINITIONI.1.1PROPOSITION

Unepropositionest un énoncé qui est soit vrai soit faux. ExempleConsidérons un quadrilatère ABCD, dans le plan. On peut envisager les propositions, P : " ABCD est un carré »;

Q : " ABCD est un parallélogramme ».

Suivant la nature du quadrilatère ABCD la proposition P, comme la proposition Q, est soit vraie, soit fausse.

I.2 Négationd"une proposition

DÉFINITIONI.2.1

La négation d"une proposition P est la proposition, notée " non P » ou "P » ou encore "P », qui est fausse lorsque P

est vraie et vraie lorsque P est fausse.

Exemples

1.Reprenons les propositions de l"exemple précédent.

On a, P : " ABCD n"est pas un carré »;Q : " ABCD n"est pas un parallélogramme ».

2.Soit

nun nombre entier.

La négation de T : "

nest pair »; estT : "nn"est pas pair »; c"est-à-dire : " nest impair ».

3.Soit

xun nombre réel.

La négation de R : "

x2»; est ,R : "x2».

4.La négation de S : " pour tout réel

x:0x2»; estS : " il existe un réelx(au moins) tel que :0x2».

Remarques

1.La négation de la négation d"une proposition P, c"est-à-dire

P, estsynonymede la proposition P elle même. On

écrit :

PP.

2.Désignons par K l"intervalle

]2;[et parK le complémentaire de K dans?;K est donc l"intervalle];2].

Les propositions R et

R s"écrivent alors R : "xK »; etR : "xK ».

En effet, les propositions "

xK » et "xK » sont synonymes.

I.3 Le " et »

DÉFINITIONI.3.1

1

2I. Vocabulaire de la logique

Soit Q, P deux propositions.

La proposition (P et Q) est la proposition qui est vraie lorsque P et Q sont toutes deux vraies, et fausse dans le cas

contraire.

Exemples

1.Soit

xun nombre réel, on considère les propositions P : "1x»; Q : "x3».

P et Q est la proposition : "

1xetx3»; c"est-à-dire : "1x3».

2.Considérons un quadrilatère ABCD et les propositions P : " ABCD a deux côtés perpendiculaires »; Q : " ABCD est

un parallélogramme ». On a, P et Q : " ABCD est un parallélogramme qui a deux côtés perpendiculaires ».

Remarques

1.Dans le premier exemple, si on désigne par I l"intervalle

]1;[et par J l"intervalle];3], P et Q s"écrivent res- pectivement : "

xI » et "xJ ». La proposition (P et Q) s"écrit alors : "xIJ ». En effet, les propositions "xI et

xJ » et "xIJ » sont synonymes.

2.La proposition P et Q est parfois notée : P

Q.

ExempleSoit A et B parties d"un univers

etxun élément de. Considérons les propositions P : "xA» et Q : xB». La proposition PQ : "xAetxB» est synonyme de :"xAB»

I.4 Le " ou »

Dans le langage courant, le mot " ou » a deux sens distincts : unsens exclusif comme dans l"affirmation " le menu

propose fromage ou dessert », et un sens inclusif comme dans la phrase " Les Canadiens parlent l"anglais ou le fran-

çais ». Dans le premier cas il signifie " soit fromage,soit dessert », dans le second cas il n"est pas exclu que certains

Canadiens parlent les deux langues. C"est dans ce sens inclusif que " ou » est utilisé en mathématiques et en logique.

Quand il est utilisé dans son sens exclusif, en général on le précise.

DÉFINITIONI.4.1

Soit Q, P deux propositions.

La proposition (Pou Q)est la proposition qui est vraie lorsque l"une au moins des propositions Q, P est vraie, et fausse

dans le cas contraire. ExempleSoitxun nombre réel, on considère les propositions P : "x1»; Q : "3x».

P ou Q est la proposition : "

x1ou3x».

Remarques

1.Reprenons les intervalles I et J introduits dans la remarqueprécédente.

Les propositions P et Q s"écrivent respectivement : " xI » et "xJ ».

La proposition (P ou Q) s"écrit alors : "

xIJ ».

En effet, les propositions "

xI ouxJ » et "xIJ » sont synonymes.

2.La proposition P ou Q est parfois notée : P

Q

ExempleSoit A et B parties d"un univers

etxun élément de. Considérons les propositions P : "xA» et Q : xB». La proposition PQ : "xAetxB» est synonyme de :"xAB»

I.5 Propositions et partiesd"un ensemble

Nous avons constaté à travers les remarques précédentes et nous admettons que de façon générale :

- la négation est aux propositions ce que le complémentaire est aux parties d"un ensemble;

- la conjonction (le " et ») est aux propositions ce que l"intersection est aux parties d"un ensemble;

- la disjonction (le " ou ») est aux propositions ce que l"union est aux parties d"un ensemble.

I.6 Lois deMORGAN

F et G désignent deux parties d"un ensemble.

LYCÉEPONTUS DETYARDTerminale VI

I.7. Opérations sur les parties d"un ensemble3

ColorierFG

FG

ColorierFG

FG

ColorierFG

FG

ColorierFG

FG

Soit Q, P deux propositions. Dire que la proposition (P ou Q) est fausse signifie que les propositions Q, P sont toutes

deux fausses. La proposition (non(P ou Q)) est donc synonyme de la proposition ((non P) et (non Q)). PQPQ

De même, dire que la proposition (P et Q) est fausse signifie que l"une au moins des propositions Q, P est fausse.

La proposition (non(P et Q)) est donc synonyme de la proposition ((non P) ou (non Q)). PQPQ

Exemples

1. xdésigne un nombre réel.

La négation de "

0xetx1» est "0xoux1».

La négation de "

0xoux1» est "0xetx1».

2.ABCD désigne un quadrilatère.

La négation de " ABCD est un parallélogramme mais n"est pas uncarré » est " ABCD est un carré ou n"est pas un pa-

rallélogramme».

RemarqueLes formules :

FGFG;FGFG;PQPQ etPQPQ; sont appelées lois (ou formules) de Morgan 1.

I.7 Opérations sur les partiesd"un ensemble

Soitun ensemble. L"ensemble des parties deest noté :P(). F, G et H désignent trois éléments deP().

1. MORGAN (AUGUSTUS DE)Inde 1806 - Londres 1871,mathématicien et logicien britannique.

????-????série S

4I. Vocabulaire de la logique

Colorier F(GH)

FGH

Colorier (FG)(FH)

FGH

Colorier F(GH)

FGH

Colorier (FG)(FH)

FGH

THÉORÈMEI.7.1

Soitun ensemble. Pour tous éléments F, G, H deP(), on a :

FGGFest commutative dansP();

FGGFest commutative dansP();

F(GH)(FG)Hest associative dansP();

F(GH)(FG)Hest associative dansP();

F(GH)(FG)(FH)dansP()est distributive par rapport à; F(GH)(FG)(FH)dansP()est distributive par rapport à;

FFFest élément neutre pourdansP();

FFFest élément neutre pourdansP().

Remarques

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