Corrigé de la feuille dexercices numéro 4 Développements limités PDF

) pour ? 0 et (0) = 0. 1. Montrer que admet un développement limité à l'ordre 2 en 0. 2. La fonction est-elle deux

Walanta

Pour les calculs de limites savoir utiliser

Développements limités

Développements limités. Corrections d'Arnaud Bodin. 1 Calculs. Exercice 1. Donner le développement limité en 0 des fonctions : 1. cosx·expx à l'ordre 3.

Développements limités

30 janv. 2014 2.5 Corrigé du devoir . ... Maths en Ligne. Développements limités. UJF Grenoble. 1 Cours ... les calculs est un exercice conseillé.

USTV 2012/2013

11 févr. 2013 On a inclus dans ce texte nombreux exercices corrigés. ... Exercice 1.1 Somme et produit de développements limités.

Développements limités

2.2 Exercices . 2.5 Corrigé du devoir . ... Développements limités. UJF Grenoble. 1 Cours. 1.1 Polynômes de Taylor.

Corrigé de la feuille dexercices numéro 4 Développements limités

Remarques : L'idée générale est la suivante. On connait quelques développements limités (DL) de base grâce au cours. Puis on reconnait dans la fonction `a

Feuille dexercices n°12 : Développements limités

À l'aide d'équivalents ou de développements limités déterminer les limites ( ): application directe du cours

Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

5.3 Calcul de développements limités . Merci `a Michele Bolognesi pour la rédaction de quelques corrigés d'exercices. ... le cadre de ce cours.

Développements limités équivalents et calculs de limites

Exercice 24. 1. Déterminer le développement limité à l'ordre 3 au voisinage de 0

Universite Paris Saclay Annee 2020-2021

Licence Double Dipl^ome, S2

Module MDD151 : Calcul integral

Corrige de la feuille d'exercices numero 4

Developpements limites

Calculs de developpements limites en0

Remarques :L'idee generale est la suivante. On connait quelques developpements limites (DL) de base gr^ace au cours. Puis on reconnait dans la fonction a developper une somme, un produit, un quotient, une composee de fonctions dont on connait deja le developpement limite. Exercice 1.|[Sommes et produits]Indice : se servir des DL de exp, sin, cos,11xet (1+x). 1.

On soustrait les DL des deux fonc tions

11xetexa l'ordre 4 en 0 :

11xex=1 +x+x2+x3+x4+o(x4)

1 +x+x22!

+x33! +x44! +o(x4) 12 x2+56 x3+2324 x4+o(x4): 2. On ecritle DL en 0 de cos al'ordre 4 et de sin al'ordre 3 : cosx1 +x2 sinx= 1x22! +x44! +o(x4) 1 +x2 xx33! +o(x5) =124 x4+o(x4): 3. Ici on ecritle DL de u7!p1 +uen 0 a l'ordre 2 avecu(x) =x2(qui tend bien vers

0 en 0) :

p1 +u(x) = 1 +12 u(x) +12 112
2! u(x)2+o(u(x)2) = 1 + 12 x218 x4+o(x4): Enn (x+ 1)p1 +u(x) = 1 +x+x22 +x32 x48 +o(x4): 1

4.Le DL de sin xcosxest fait dans le poly de cours. Mais voici le detail : on ecrit les

DL de sin et cos a l'ordre 4

sinx=xx33! +o(x4) et cosx= 1x22! +o(x3):

Et en faisant le produit

cosxsinx=xx33! +o(x4) 12 13! x3+o(x4) =x23 x3+o(x4):

Remarque 1On peut aussi remarquer quesinxcosx=12

sin(2x)et ecrire le developpement de Taylor desin(2x)en sachant que les derivees d'ordre pair sont nulles. 5. On ecritle DL en 0 al'ordre 4 des deux facteurs du pro duit: e xp1 +x=

1 +x+x22

+x36 +x424 +o(x4) 1 +x2 x28 +x316

5x4128

+o(x4) = 1 +x+12 x2+16 x3+124 x4+o(x4) 12 x+12 x2+12 12 x3+12 16 x4+o(x4) 18 x218 x318 12 x4+o(x4) 116
x3+116 x4+o(x4) 5128
x4+o(x4) +o(x4) Donc e xp1 +x= 1 +32 x+78 x2+1748 x3+11128 x4+o(x4):

Exercice 2.|[Quotient et composition]

Indice : ecrire1 =cos comme le DL de11uen 0.

On ecrit deja le DL en 0 de sin et cos a l'ordre 4 ("et"tendent vers 0 en 0) tanx=sinxcosx=xx36 +o(x4)1x22 +124
x4+o(x4): 2

On remarque ensuite que

1cos(x)=11u(x)avec

u(x) =x22 124
x4o(x4): En ecrivant le DL en 0 a l'ordre 2 deu7!11uon obtient

1cosx= 1 +u(x) +u(x)2+o(u(x)2)

= 1 x22 x424 o(x4) x44 +o(x4) +o(x4) = 1 + x22 +5x424 +o(x4)

Puis en faisant le produit et une troncature

tanx=x+x33 +o(x4): On aurait aussi pu utiliser la formule de Taylor-Young. 2.

En p osantu(x) =xx2on a

11x+x2=11u(x)

= 1 +u(x) +u(x)2+u(x)3+u(x)4+o(u(x)4)

11x+x2= 1

+xx2 +x22x3+x4 x

33x4+o(x4)

+x4+o(x4) +o(x4) = 1 +xx3x4+o(x4) 3

3.On ecritle DL en 0 de sin al'ordre 4, et on l'injecte dans celui de exp :

exp(sin(x)) = 1 + sinx+(sinx)22 +(sinx)36 +(sinx)424 +o((sinx)4) = 1 +x16 x3+o(x4) 12 x216 x4+o(x4) 16 x3+o(x4) 124
x4+o(x4) +o(x4) =1 +x+x22 x48 +o(x4): 4.

On ecritle DL de sin en 0 al'ordre 5 d'o u

rsinxx =sxx36 +x5120 +o(x5)x =p1 +u(x) = 1 + 12 u(x)18 u(x)2+o(u(x)2) avec u(x) =x26 +x4120 +o(x4):

D'ou, on tronquant

rsinxx = 1 12 16 x2+12 1120
x4+o(x4) 18 16

2x4+o(x4)

+o(x4) =1x212 +x41440 +o(x4): Exercice 3.|[Integration]Le but de cette exercice est d'appliquer rigoureusement la Pro- position du cours sur l'integration des DL.quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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Licence Double Dipl^ome, S2

Module MDD151 : Calcul integral

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Developpements limites

Calculs de developpements limites en0

On soustrait les DL des deux fonc tions

11xetexa l'ordre 4 en 0 :

11xex=1 +x+x2+x3+x4+o(x4)

1 +x+x22!

0 en 0) :

4.Le DL de sin xcosxest fait dans le poly de cours. Mais voici le detail : on ecrit les

DL de sin et cos a l'ordre 4

Et en faisant le produit

Remarque 1On peut aussi remarquer quesinxcosx=12

1 +x+x22

5x4128

Exercice 2.|[Quotient et composition]

Indice : ecrire1 =cos comme le DL de11uen 0.

On remarque ensuite que

1cos(x)=11u(x)avec

1cosx= 1 +u(x) +u(x)2+o(u(x)2)

Puis en faisant le produit et une troncature

En p osantu(x) =xx2on a

11x+x2=11u(x)

11x+x2= 1

33x4+o(x4)

3.On ecritle DL en 0 de sin al'ordre 4, et on l'injecte dans celui de exp :

On ecritle DL de sin en 0 al'ordre 5 d'o u

D'ou, on tronquant

2x4+o(x4)