[PDF] Feuille dexercices n°12 : Développements limités

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ECE2-B2018-2019Feuille d"exercices n°12 : Développements limités

Exercice 1.(☀)

Calculer les limites des fonctions suivante aux points indiqués.

1.f1:x7!ln(x) +x1x+ex

en0+et en+1.

2.f2:x7!lnex+x2

en0+et en+1.

3.f3:x7!xex+ 1e

x+ 1en0+en+1et en1.4.f4:x7!x4epx en+1.

5.f5:x7!xln(x) + ln(x)px+ 1

en0+et en+1.

6.f6:x7!x1x

en0+et en+1.

Exercice 2.(☀)

À l"aide d"équivalents ou de développements limités, déterminer les limites suivantes.

1.limx!0(ex1)2xln(1 +x)

2.limx!+1xln

1 +1x

3.limx!0(1 +x)1x

4.limx!0ln(1 +x)x2x25.limx!+1xln(x+ 1)xln(x)

6.limx!01e

x11x

7.limx!01x(1 +x)ln(1 +x)x

2

8.limx!0p1 +x2p1x22xExercice 3.(☀)

Dans cet exercice, on considère la fonctionfdéfinie sur]1;1[comme suit : f(0) = 1et:8x2] 1;1[n f0g; f(x) =x(1x)ln(1x)

1.Montrer quefest continue sur] 1;1[.

2. a) Déterminer le développement limité de la fonction:x7!ln(1x)à l"ordre2au voisinage de0. b)En déduire quefest dérivable en0puis vérifier quef0(0) =12 3. a) Montrer quefest dérivable sur] 1;1[n f0g, puis calculerf0(x) pour tout réelx2] 1;1[n f0g. b)Déterminer le signe de la quantitéln(1x)+xlorsquex2]1;1[. c)En déduire les variations def. d)Déterminer les limites defaux bornes de son domaine de définition, puis dresser son tableau de variation.

4.Tracer l"allure de la courbe représentative defdans un repère ortho-

normé.

5.En utilisant les questions2.b)et3.a), montrer quefest de classeC1sur

] 1;1[.

Exercice 4.(☀)

Étudier la continuité et la dérivabilité des fonctions suivantes.

1.f1(x) =xln(x2)2xsix6= 0

0six= 0

2.f2(x) =8

:x

21e2xsix6= 0

0six= 03.f3(x) =8

:xln(x)x1six2]0;+1[n f1g

0six= 1

4.f4(x) =8

:xex1exsix6= 0

1six= 0(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 1

ECE2-B2018-2019Exercice 5.(☀)

Soitfla fonction définie sur]1;+1[par :f(x) =e2xln(1 +x).

1.Calculer le développement limité d"ordre2en0def.

2.En déduire l"équation de la tangente en0ainsi que la position de la courbe

par rapport à cette tangente au voisinage de0.

Exercice 6.(☀)

1.Déterminer un équivalent des fonctions suivantes aux points indiqués.

a)f1(x) =ex1xln(1 +x)x2en0et en+1. b)f2(x) = ln1 +x2en0et en+1. c)f3(x) =exexe x+exen+1et en0.

2.Déterminer :limx!1

1 +x2 xx1(indication : on pourra posert=x1).

Exercice 7.(☀)

1.Montrer :

8n2N;8x2R;ex=nP

k=0(1)kxkk!+ (1)n+1Zx

0(xt)nn!etdt

2.En écrivant l"égalité précédente pourn= 2, puisn= 3, montrer :

8x2R+;x22

x36

6x1 +ex6x22

3.En déduire un équivalent dex1 +exen0.

4.Retrouver le résultat précédent sans calculs.Exercice 8.(☀)

On notef:R!Rl"application définie, pour toutx2R, par : f(x) =8 :xe x1six6= 0

1six= 0

1.Montrer quefest continue surR.

2.Justifier quefest de classeC1sur] 1;0[et sur]0;+1[, et calculer

f

0(x)pour toutx2] 1;0[[]0;+1[.

3.Montrer :f0(x)!x!012

4.Établir quefest de classeC1surRet préciserf0(0).

Exercice 9.(☀)

Soitfla fonction définie sur[0;+1[par :

f:x7!8 :x 1+1x =e(1+1x )ln(x)six >0 0 six= 0 On désigne parCla courbe représentative defdans le plan muni d"un repère orthonormé. 1. a) Montrer quefest continue en0. b)Étudier la dérivabilité defen0. 2. a) Montrer que, pour tout réelxstrictement positif :ln(x)6x+ 1. b)Calculerf0(x)pourx >0et déterminer son signe.

Préciser le sens de variation def.

3. a) Déterminer la limite defen+1. b)Déterminer un équivalent def(x)xen+1.

En déduire la nature de la branche infinie deCen+1.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 2

ECE2-B2018-2019Exercice 10.(☀)

Dans ce problème, la lettrendésigne un entier naturel non nul.

On notefnla fonction définie surRpar :

8x2R; fn(x) =xenx

etfn(0) = 0 On note(Cn)la courbe représentative defndans un repère orthonormé (O;~i;~j). 1. a) Montrer quefnest continue à droite en 0. b)Montrer quefnest dérivable à droite en 0 et donner la valeur du nombre dérivé à droite en 0 defn. 2. a) Montrer quefnest dérivable sur] 1;0[et sur]0;+1[. Pour tout réelxnon nul, calculerf0n(x)puis étudier son signe. b)Calculer les limites defnen+1,1et0, puis donner le tableau de variations defn. 3. a) Rappeler le développement limité à l"ordre2de eulorsqueuest au voisinage de 0. b)En déduire que, lorsquexest au voisinage de+1, on a : f n(x) =xn+n22x+o x!+1 1x

Que dire au voisinage de1?

c)En déduire qu"au voisinage de+1, ainsi qu"au voisinage de1,(Cn) admet une asymptote oblique(Dn)dont on donnera une équation. Préciser la position relative de(Dn)et(Cn)aux voisinages de+1 et de1. d)Donner l"allure de la courbe(C1).Énoncés de concours Exercice 11.(☀☀☀)(d"aprèsESSEC II 2016)

SoitXune v.a.r. à valeurs dansN.

On suppose qu"il existe un réelstrictement positif tel que pour tout entier natureljon ait :

P([X > j]) =1(j+ 1)()

0.Montrer que pour tout entier natureljnon nul :

P([X=j]) =P([X > j1])P([X > j])

Par une série de questions, on démontrait alors queXadmet une espé- rance si et seulement si la série de terme généralP([X > j])converge.

De plus, dans ce cas :E(X) =+1P

k=0P([X > j]). (on pourra utiliser ce résultat dans la suite)

1.Légitimer que()définit bien une loi de probabilité d"une variable aléa-

toire à valeurs dansN.

2.Montrer queXadmet une espérance si et seulement siest strictement

supérieur à 1.

3.Montrer que pour tout entier natureljnon nul :

P([X=j]) =1j

11(1 +

1j 4. a) Étudier les variations def:x7!1(1 +x)xsur[0;1]. b)Montrer que pour tout entier natureljnon nul :

P([X=j])6j

1+

5.Montrer, en utilisant le résultat de3., que :

lim j!+1j+1P([X=j]) =

6.Montrer queXadmet une variance si et seulement si >2.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 3

ECE2-B2018-2019Exercice 12.(☀)(d"aprèsECRICOME 2018)

Pour tout entier naturelnnon nul, on pose :

u n=nP k=11k ln(n)etvn=un1n

1.Soitfla fonction définie surR+parf(x) =1x+ 1+ ln(x)ln(x+ 1).

a)Déterminerlimx!0f(x)etlimx!+1f(x). b)Étudier les variations de la fonctionfsurR+et dresser son tableau de variations. c)Démontrer que :8n2N; un+1un=f(n). d)En déduire la monotonie de la suite(un)n2N. e)Écrire une fonction d"en-tête :function y = u(n)qui prend en ar- gument un entier naturelnnon nul et qui renvoie la valeur deun. 2. a) Montrer que :8n2N,vn+1vn=1n ln 1 +1n b)Montrer que pour tout réelxpositif :ln(1 +x)6x.

En déduire que la suite(vn)n2Nest croissante.

c)Donner le développement limité d"ordre 2 deln(1+x)en0. En déduire que : v n+1vnn!+112n2 d)Déterminer la nature de la série de terme généralvn+1vn. On note =+1P n=1(vn+1vn). e)Pourn>2, simplifier la somme partielle :n1P k=1(vk+1vk).

En déduire que la suite(vn)n>2converge vers

.3.a) Déterminerlimn!1un. b)Montrer que :

8n2N; vn6

6un puis que :

8n2N;un

61n
c)On rappelle que l"instructionfloor(x)renvoie la partie entière d"un réelxet on suppose que la fonctionude la question1.e)a été correc- tement programmée. Expliquer l"intérêt et le fonctionnement du script ci-dessous :1eps = input("Entrer un réel strictement positif :")

2n = floor(1/eps) + 1

3disp(u(n))

Exercice 13.(?)(d"aprèsECRICOME 2017)

On note pour toutx2]1;1[,'(x) =p1 +x.

1.Justifier que la fonction'est de classeC2sur]1;1[, et déterminer les

valeurs de'0(0)et'00(0).

2.En utilisant la formule de Taylor-Young pour'en0à l"ordre2, déterminer

un réelnon nul tel que : p1 +x= 1 +12 x+x2+x2"(x)aveclimx!0"(x) = 0:

3.On noteP(x) = 1 +12

x+x2la fonction polynomiale de degré2ainsi

obtenue. Développer(P(x))2.(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 4

ECE2-B2018-2019Exercice 14.(☀☀)(d"aprèsEDHEC 2017) On désigne parnun entier naturel non nul et parX1;:::;Xndes variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé, indépendantes et suivant la même loi queV, c"est à dire la loiE(1). On considère la v.a.r.Yndéfinie parYn= max(X1;X2;:::;Xn), c"est à dire que pour tout!de , on a :Yn(!) = max(X1(!);X2(!);:::;Xn(!)). On admet queYnest une variable aléatoire à densité. 2. a) Montrer que la fonction de répartitionFYndeYnest définie par : F

Yn(x) =0six <0

(1ex)nsix>0 b)En déduire une densitéfYndeYn. 3. a) Donner un équivalent de1FYn(t)lorsquetest au voisinage de+1, puis montrer que l"intégraleZ +1 0 (1FYn(t))dtest convergente. b)Établir l"égalité suivante :

8x2R+;Z

x 0 (1FYn(t))dt=x(1FYn(x)) +Z x 0 tf

Yn(t)dt

c)Montrer que :limx!+1x(1FYn(x)) = 0. d)En déduire queYnpossède une espérance et prouver l"égalité :

E(Yn) =Z

+1 0 (1FYn(t))dt 4. a) Montrer, grâce au changement de variableu= 1et, que l"on a :

8x2R+;Z

x 0 (1FYn(t))dt=Z 1ex

01un1udu

b)En déduire que :Z x 0 (1FYn(t))dt=nP k=1(1ex)kk puis donner E(Yn)sous forme de somme.Exercice 15.(☀☀)(d"aprèsEDHEC 2018) On considère la fonctionfqui à tout réelxassocie :f(x) =Z x 0 ln(1+t2)dt. 1. a) Déterminer le signe def(x)selon le signe dex. b)Justifier quefest de classeC1surRet calculerf0(x)pour tout réel x. c)En déduire les variations defsurR(on ne cherchera pas à calculer les limites def). 2. a) Montrer quefest impaire. b)Étudier la convexité de la fonctionfet donner les coordonnées des éventuels points d"inflexion de la courbe représentative defdans un repère orthonormé. 3. a) Déterminer les réelsaetbtels que :

8t2R;t21 +t2=a+b1 +t2

b)En déduire, grâce à une intégration par parties, que, pour tout réelx, on a : f(x) =xln(1 +x2)2+ 2Z x

011 +t2dt

4.Recherche d"un équivalent def(x)au voisinage de+1.

a)Montrer queZ +1

011 +t2dtest une intégrale convergente.

b)En déduire quef(x) x!+1xln(1 +x2). c)Vérifier que, pour tout réelxstrictement positif, on a : ln(1 +x2) = 2ln(x) + ln 1 +1x 2 , puis établir l"équivalent suivant : f(x)

x!+12xln(x)(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 5

ECE2-B2018-2019d)Donner sans calcul un équivalent def(x)lorsquexest au voisinage de1.

5.Recherche d"un équivalent def(x)au voisinage de0.

a)Montrer quefest de classeC3surR. On admet la formule de Taylor-Young à l"ordre3au voisinage de0pour la fonctionf, c"est à dire : f(x) =f(0) +x11! f0(0) +x22! f00(0) +x33! f(3)(0) +o x!0(x3) c)En déduire alors un équivalent def(x)au voisinage de0(on trouve f(x) x!0x 33

6.On rappelle qu"enScilab, la commandegrand(1, 1,"unf", a, b)si-

mule une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur[a;b]. Compléter le scriptScilabsuivant pour qu"il calcule et affiche, à l"aide de la méthode de Monte-Carlo, une valeur approchée def(1):1U = grand(1, 100 000,"unf", 0, 1)

2V = log(1 + U .

^^^2)

3f = -----

4disp(f)

(?): application directe du cours, (☀): pas de difficulté majeure, (☀☀): plus difficile, (☀☀☀): costaud 6

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