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Université de Rennes 1 Année 2019-2020

L1 - SPM OM 2Feuille d"exercices de OM2 : Les développements limités

I Tests de compréhension

Les tests sont à faire pour vérifier que vous comprenez le cours, les réponses se trouvent en fin de feuille

de TD.

Troncature

Test 1.Le formulaire donne la formule suivante :

sin(x) =xx33! +x55! x77! +x99! +x9"(x);limx!0"(x) = 0 (a)

En déduire un dév eloppementlimité à l"ordre 5 de sin(x)quandx!0, et donner sa partie régulière.

(b)

Même ques tionà l"ordre 4.

Test 2.Donner le développement limité d"ordre2en0du polynômeP(x) =x42x3+ 5x23.

Substitution

Test 3.Donner le développement limité en0des fonctions suivantes (a)ln(1 +x)etln(1x);à l"ordre3(b)2cos(x)etcos(2x);à l"ordre3

Test 4.Donner le développement limité en0de

(a)

3p1 + 3xà l"ordre2(b)4p1 +x2à l"ordre4

Test 5.Soitf(x) = 1 +xx2+x2"(x):Déterminer le développement limité à l"ordre maximum possible

en0def(x3). Test 6.A l"aide de développements limités, déterminerlimx!0ln(1 +x)sinxII Exercices Sommes et produits de développements limités Exercice 1.Calculez le développement limité quandx!0des fonctions suivantes : (a)sin(2x)2cos(x);à l"ordre4(b)(x+x2)2+ cos(x);à l"ordre3 (c)p1 + 2x3p1 + 3x;à l"ordre2 Exercice 2.Calculez le développement limité à l"ordre 3 quandx!0des fonctions suivantes : (a)(1 +x2)2cosx(b)exsin(x)(c)cos2x(d)e2xln(1 +x)

Exercice 3(Pour aller plus loin).Calculer le développement limité en0def(x)g(x)à l"ordre maximum

possible, sachant que :f(x) =xx2+x2"1(x),limx!0"1(x) = 0, etg(x) = 2x+x2+x2"2(x),limx!0"2(x) = 0.

Réponse.En suivant la méthode générale (troncature à l"ordre2du produit), on trouvef(x)g(x) = (x

x

2)(2x+x2) +x2"(x) = 2x2+x2"(x). Mais on peut faire mieux :f(x) =x(1x+x"1(x)),g(x) =

x(2 +x+x"2(x)doncf(x)g(x) =x2[(1x)(2 +x) +x"3(x)] =x2(2x+x"(x)) = 2x2x3+x3"(x). 1 Se ramener à des développements limités connus

Exercice 4(Attention au piège).On veut calculer le développement limité dee1+xà l"ordre 2 quand

x!0. (a) Que v a-t-onobtenir si on fait la substitution u= 1 +xdans le développement limité deeuen0? (b)

En utilisan tque ea+b=eaeb, déterminer le développement limité dee1+xà l"ordre 2 quandx!0.

Exercice 5(Exercice important).Calculer les développements limités suivants à l"ordre 2 quandx!0en

se ramenant à des DL connus : (a)

14 + 3x(b)3x2(c)p2 +x

(d)

3p2 + 3x(e)ln(5 + 3x)(f)e3+2x

Composition de développements limités

Exercice 6.Calculez le developpement limité à l"ordre 3 quandx!0des fonctions suivantes : (a)sin(ln(1 +x))(b)ln(1 + sin(2x)) Exercice 7.Calculez le développement limité à l"ordre2au voisinage de0def(x) = ln(cos(x)).

Exercice 8(Attention au piège).Calculez le développement limité à l"ordre2au voisinage de0de

f(x) =ecos(x) Exercice 9.Calculez le développement limité à l"ordre2au voisinage de0de (a) pe x+ cos(x)(b)lnex2 + sinx

Quotient de DL

Exercice 10.Déterminer le développement limité def(x) =x+ 3x+ 2en calculant le développement limité de

1x+ 2et en multipliant parx+ 3.

Exercice 11.Calculez le développement limité à l"ordre 2 quandx!0des fonctions suivantes : (a) excos(x)(b)11sin(x)(c)exp1 + 2x Exercice 12(attention!).Calculez le développement limité à l"ordre 2 quandx!0de f(x) =ln(1 + 2x)sin(2x):

Formules de Taylor-Young (complément)

Exercice 13.(a)Utiliser la form ulede T aylor-Youngp ourécrire le dév eloppementlimité à l"ordre 4

quandx!0de(1 +x): (b) En déduire le dév eloppementlimité à l"ordre 3 quand x!0dep1 +x: Exercice 14.Utiliser la formule de Taylor-Young en4 pour écrire le développement limité à l"ordre 2 quand x!4 desin(x): Primitive d"un développement limité (complément)

Exercice 15.

(a) Déterminer le dév eloppementlimité à l"ordre 6 quand x!0de la fonctiong(x) =11 +x2. (b)

En se rapp elantque la dériv éede arctan(x)est11 +x2, déduire un développement limité à l"ordre 7

quandx!0dearctan(x) 2

Limites en0

Exercice 16.À l"aide de développements limités, déterminer les limites suivantes : (a)limx!0cos(x)1x+x2(b)limx!0e x1xx 2+x3 Exercice 17.Utiliser les développements limités pour calculer les limites suivantes :

2+x3(c)limx!0+e

xcos(x)sin(x)ln(1 +x)

Exercice 18(Pour aller plus loin).

(a) Calculez le dév eloppementlimité en 0à l"ordre1de1x ln(1 +x): (b)

En déduire limx!0(1 +x)1x

(c) Déterminer le dév eloppementlimité en 0à l"ordre 1 de(1 +x)1x Droite tangente, position de la courbe relativement à la tangente, extremum

Exercice 19.Pour chacune des fonctions suivantes dont on donne le développement limité , déterminer une

équation de sa droite tangente en0et la position relative de la courbe et de sa droite tangente au voisinage

de0. Dire s"il s"agit d"un extremum local. f

1(x) = sin(2x)2cos(x) =2 + 2x+x2+x2"(x)f2(x) = ln(1 +x) +ex= 1 + 2x+12

x3+x3"(x) f

3(x) =pcos(x) = 114

x2+x2"(x)

Asymptotes en1

Exercice 20.On considère la fonction

f(x) =x3+x2+xx 2x+ 1 Déterminer le dév eloppementlimité à l"ordre 2 de hf(1h )lorsqueh!0,h >0.

En p osanth=1x

, en déduire l"equation de la droite asymptote au graphe defen+1. Quelle est la p ositiondu graphe de fpar rapport à l"asymptote?

Exercice 21.Soitf(x) =xsin(1x

):En étudianthf(1h )lorsqueh!0, trouver l"équation de la droite asymptote au graphe defau voisinage de+1, et déterminer la position du graphe defpar rapport a l"asymptote.

Exercice 22.Soitf(x) =e1x

px 2+ 1 (a) Déterminer le dév eloppementlimité en à l"ordre 2quandh!0dehf(1h (b) En déduire l"équation de l"asymptote oblique de fen+1. (c) Déterminer la p ositionrelativ ede la courb ede fpar rapport à cette asymptote. (d) Même ques tionsen 1.III Exercices supplémentaires Vous trouverez les réponses à ces exercices en fin de feuille de TD.

Sommes, produits, quotients, compositions

Exercice 23.Calculez le développement limité en0des fonctions suivantes : (a)ln(1 +x) +ex;à l"ordre3(b)ex+ex;à l"ordre3 (c)ln1 +x1x ;à l"ordre3 3

Exercice 24.Calculer le développement limité def(x) +g(x)à l"ordre maximum possible au voisinage de

0, sachant que :f(x) = 2 +xx2+ 2x3+x3"1(x);limx!0"1(x) = 0etg(x) = 13x+ 2x2+x2"2(x);

lim x!0"2(x) = 0. Exercice 25.Calculez le développement limité en0des fonctions suivantes : (a)(exex)sin(x);à l"ordre3(b)sin(x)cos(x);à l"ordre3 (c)sin2(x);à l"ordre4 Exercice 26.Calculez le développement limité en0des fonctions suivantes : (a)(1 + 2x2x2)1=2;à l"ordre 2 (b)sin(sin(3x));à l"ordre 3 (c) pcos(x);à l"ordre 2 (d)ep1+x;à l"ordre 2

Limites, tangentes, et asymptotes

Exercice 27.À l"aide de développements limités , déterminer les limites suivantes : (a)limx!0+p1 + 2x1x

2(b)limx!0ln(1 +x)xcos(x)1

Exercice 28.Utiliser des développements limités pour calculer les limites suivantes : (a)limx!0cos(x)cos(2x)sin

2(x)(b)limx!0e

sin(x)cos(x)sin(x)(c)limx!03tanx3xx 3+x2

Exercice 29.Pour chacune des fonctions suivantes dont on donne le développement limité , déterminer une

équation de sa droite tangente en0et la position relative de la courbe et de sa droite tangente au voisinage

de0. Dire s"il s"agit d"un extremum. f

1(x) =p1 + 2x2x2= 1 +x32

x2+x2"(x)f2(x) = sin(x)(exex) = 2x2+x2"(x) f

3(x) = 3tanx3x=x3+x3"(x)f4(x) = 1x4+x4"(x)

Exercice 30.(a)Utiliser la form ulede T aylor-Youngp ouréc rirele d éveloppementlimité d"ordre 2en

1def(x) = arctan(x).

(b)

En déduire une équatio nde la droite tangen teen 1à la courbe defainsi que la position relative de

la courbe et la tangente.

Exercice 31.Soitf(x) =xln(1 +1x

En calculant un développement limité à l"ordre 2 def(1h )quandh!0, déterminer l"équation de l"asymp- tote defen+1, et la position du graphe defpar rapport a l"asymptote au voisinage de+1. (Complément) En déduirelimx!+1(1 +1x )x:

Exercice 32.Soitf(x) =px

2+ 4x+ 2

(a) Déterminer le dév eloppementlimité en 0à l"ordre2dehf(1h (b) Déduire l"équation de l"asymptote oblique de fen+1et la position relative de la courbe defet l"asymptote. (c) Même questi onsen 1.IV Réponses aux tests et exercices supplémentaires

Réponse au test 1.(a)sin(x) =xx33!

+x55! +x5"2(x);limx!0"2(x) = 0 (b)sin(x) =xx33! +x4"3(x);limx!0"3(x) = 0 Réponse au test 2.P(x) =3 + 5x2+x2(2x+x2) =3 + 5x2+x2"(x)aveclimx!0"(x) = 0.

Réponse au test 3.

(a)ln(1 +x) =x+12 x213 x3+x3"(x).

Le DL deln(1 +u)avecu=xdonneln(1x) =x12

x213 x3+x3"(x). (b)2cos(x) = 2x2+x3"(x). cos(2x) = 12x2+x3"(x). 4 Réponse au test 4.(a) Utiliser le DL de(1+u)avec= 1=3etu= 3x. On trouve1+xx2+x2"(x). (b) Utiliser le DL de(1+u)(l"ordre 2 suffit!) avec= 1=4etu=x2. On trouve1+14 x+332 x2+x2"(x). Réponse au test 5.f(x3) = 1 + (x3)(x3)2+ (x3)2"(x3) = 1 +x3x6+x6"1(x).

Réponse au test 6.

ln(1 +x)sinx=xx2=2 +x2"1(x)x+x2"2(x)=x(1x=2 +x"1(x)) x(1 +x"2(x))x!0!11 = 1 Réponse à l"exercice 23.(a)ln(1 +x) +ex= 1 + 2x+12 x3+x3"(x). (b)ex+ex= 2 +x2+x3"(x). (c)ln 1+x1x = ln(1 +x)ln(1x) = 2x+23 x3+x3"(x).

Réponse à l"exercice 24.On ne connait que le DL à l"ordre 2 degen0, donc on ne peut déterminer que

le DL à l"ordre 2 def+g. On af(x) = 2 +xx2+x2"3(x), donc(f+g)(x) = 32x+x2+x2"4(x). Réponse à l"exercice 25.(a)(exex)sin(x) = 2x2+x3"(x). (b)sin(x)cos(x) = (x16 x3)(112 x2)+ x

3"(x)) =x23

x3+x3"(x). (c)sin2(x) =x213 x4+x4"(x). Réponse à l"exercice 26.(a)p1 + 2x2x2= 1+x32 x2+x2"(x)(b)sin(sin(3x)) = 3x9x3+x3"(x) (c)pcos(x) =q112 x2+x2"(x) = 114 x2+x2"(x). (d)ep1+x=e+e2 x+x2"(x).

Réponse à l"exercice 27.(a)+1. (b)1

Réponse à l"exercice 28.(a)cos(x)cos(2x)sin

2(x)=x2(32

+"(x))x

2(1 +"(x))!32

(b) esin(x)cos(x)sin(x)=x(1 +"1(x))x(1 +"2(x))=1 +"1(x)1 +"2(x)!1. (c)

3tanx3xx

3+x2=x3(1 +"(x))x

2(1 +x)=x1 +"(x)1 +x!0.

Réponse à l"exercice 29.Avertissement. On ne connait que le comportement de"(x)proche de0, donc

on peut étudier la position relative de la courbe et de sa tangente que proche de0. (a) équation de la tangente :y1= 1 +x; la courbe est en dessous dey1proche de0. (b) équation de la tangente :y2= 0; la courbe est au-dessus; on a un minimum local en0. (c) équation de la tangente :y3= 0; la courbe est au-dessus de la tangente six >0et en dessous si x <0(proche de0); ce n"est pas un extremum. (d) équation de la tangente :y4= 1; la courbe est en dessous; on a un maximum local en0.

Réponse à l"exercice 30.arctan(x) =4

+12 (x1)14 (x1)2+ (x1)2"(x1),limx!1"(x1) = 0:

L"équation de la tangente est doncy=4

+12 (x1). La courbe est en dessous de sa tangente au voisinage de1.

Réponse à l"exercice 31.f(1h

) =1h ln(1+h) =1h (h12 h2+h2"(h)) = 112 h+h"(h), oùlimh!0"(h) = 0.

Donc en posanth=1x

, on af(x) =xln1 +1x = 112 1x +1x "(1x ), oùlimx!+1"(1x ) = 0. On en déduit lim x!+1f(x) = 1doncy= 1est asymptote horizontale en+1. De plus,f(x)1 =1x (12 +"(1x ))<0 pourxsuffisamment grand.

On en déduit que1 +1x

x=ef(x)!e1=e. Réponse à l"exercice 32.(a)hf(1=h) = 1 + 2hh2+1h

2"(h).

(b)f(x) =x+ 21x +1x "(1x )): y=x+ 2est asymptote oblique en+1et la courbe est en-dessous de l"asymptote. (c) Six <0,px

2=x. Doncf(x) =x2 +1x

+1x "(1x )).y=x2est asymptote et la courbe est encore en-dessous de l"asymptote. 5

Formulaire de développements limités en0

Développements limités classiques en0, à connaître par coeur.(Chaque fonction"(x)vérifielimx!0"(x) = 0.)

e x= 1 +x1! +x22! +x33! ++xnn!+xn"(x) =nX k=0x kk!+xn"(x) sin(x) =x1! x33! +x55! x77! + (1)nx2n+1(2n+ 1)!+x2n+1"(x) =nX k=0(1)kx2k+1(2k+ 1)!+x2n+1"(x) cos(x) = 1x22! +x44! x66! + (1)nx2n(2n)!+x2n"(x) =nX k=0(1)kx2k(2k)!+x2n"(x)

11x= 1 +x+x2+x3++xn+xn"(x) =nX

k=0x k+xn"(x)

11 +x= 1x+x2x3+x4 + (1)nxn+xn"(x) =nX

k=0(1)kxk+xn"(x) ln(1 +x) =xx22 +x33 x44 + (1)n+1xnn +xn"(x) =nX k=1(1)k+1xkk +xn"(x) (1 +x)= 1 +1! x+(1)2! x2+(1)(2)3! x3++ n x n+xn"(x) =nX k=0 k x k+xn"(x)

Rappel :n! = 123 n, et

n =(1)(2):::((n1))n!.

Quelques exemples

e x= 1 +x1! +x22! +x33! +x44! +x55! +x5"(x) ln(1 +x) =xx22 +x33 x44 +x55 +x5"(x) sin(x) =x1! x33! +x55! x77! +x99!quotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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