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Analyse Asymptotique 2 :

Les D´eveloppements Limit´es

MPSI Prytan´ee National Militaire

Pascal Delahaye

24 janvier 2018

1 D´efinitions

D´efinition 1 :DL

Soitf:I?→RavecIun intervalle et un pointx0?

I(fn"est donc pas n´ecessairement d´efinie enx0). On dit que la fonctionfadmet und´eveloppement limit´eenx0`a l"ordren(que l"on noteraDL(x0,n)) si?x?I,f(x) peut s"´ecrire sous la forme : f(x) =a0+a1(x-x0) +···+an(x-x0)n+o?(x-x0)n?au voisinage dex0 Le polynˆomeF(x) =a0+a1(x-x0) +···+an(x-x0)nest lapartie r´eguli`eredu DL. La diff´erenceR(x) =o?(x-x0)n?=f(x)-F(x) est lerestedu DL.

Remarque1.On peut interpr´eterF(x) comme le polynˆome de degr´enqui donne lameilleureapproximation def(x) au

voisinage dex0.

Forme normalis´ee

Tout d´eveloppement limit´e `a l"ordren+pau voisinage d"un pointx0s"´ecrit sous la forme : f(x) =hp(a0+a1h+···+anhn+o(hn)) avec???a 0?= 0 p, n?N h=x-x0

On a alors :f(x)≂x

0a0(x-x0)petf(x) est donc du signe dea0(x-x0)pau voisinage dex0.

Exemple 1.(?)Fonction non nulle dont tous les DL en0sont nuls

Soit la fonctionfd´efinie surR?parf(x) =e-1

x2etf(0) = 0.

1. Montrer que pour toutn?N, on af(x) =o(xn) au voisinage de 0.

2. Conclure.

Th´eor`eme 1 :Caract´erisation de la Continuit´e et de la d´erivabilit´eenx0

Soitfune fonction d´efinie surIcontenantx0.

1.fest continue enx0ssifadmet unDL(x0,0). Dans ce cas,f(x) =f(x0) +o(1)

2.fest d´erivable enx0ssifadmet unDL(x0,1). Dans ce cas,f(x) =f(x0)+f?(x0).(x-x0)+o(x-x0)

1 Cours MPSI-2017/2018 Les D´eveloppements Limit´es http://pascal.delahaye1.free.fr/

Preuve 1 :Les deux ´equivalences proviennent de la traduction des limites sousforme d"´egalit´es.

Remarque2.

1. Ce th´eor`eme prouve que toute fonction n"admet pas n´ecessairement unDL(x0,n).

En effet, si une fonction d´efinie enx0n"est pas d´erivable enx0, elle ne pourra pas admettre unDL(x0,n) lorsque

n?N?.

2. Attention, ces deux caract´erisations ne se g´en´eralisent pas!...

La fonctionftelle quef(x) =x+x3cos1

xetf(0) = 0 montre en effet qu"une fonction peut admettre unDL(0,2) sans pour autant ˆetre deux fois d´erivable en 0. Th´eor`eme 2 :Unicit´e d"un DL et applications

Soit une fonctionfadmettant unDL(0, n). Alors :

1. la partie r´eguli`ere est unique

3. Sifest paire (resp. impaire) sur un voisinage de 0, alorsFest un polynˆome pair (resp. impair).

Preuve 2 :

1. Imm´ediat par l"absurde!

2. En effet, le reste obtenu ainsi est bien uno(xk).

3. Facile par l"absurde!

Remarque3.Soitfune fonction qui admet un DL `a l"ordre (2n+ 2), alors son DL s"´ecrit :

1. Si la fonctionfest paire :f(x) =a0+a2x2+a4x4+···+a2nx2n+

o(x2n+1)

2. Si la fonctionfest impaire :f(x) =a1x+a3x3+a5x5+···+a2n+1x2n+1+

o(x2n+2) Remarque4.Par un changement de variablesh=x-x0, on peut toujours se ramener au cas o`ux0= 0. Dor´enavant, nous nous int´eresserons donc essentiellement aux DL en 0.

Exercice : 1

(?) D´eterminer les DL(0,3) des fonctionsfde classeC3au voisinage de 0 v´erifiant l"´equation fonctionnellef(x) =x2+f(2x)

pour toutx?R.

2 M´ethodes de recherche d"un DL(x0,n)

Pour obtenir des DL sous Python, vous pourrez utiliser la fonctionseries()de la biblioth`equesympy.

2.1 Premiers DL

Proposition 3 :DL de11-x

La fonction

f:R\{1} -→R x?→1

1-xadmet un DL(0, n) pour toutn?N?:

1. 1

1-x= 1 +x+x2+···+xn+xn+11-xavecxn+11-x=o(xn)

Pour cette fonction, on connaˆıtexplicitementle reste du DL. Preuve 3 :On applique la formule bien connue : 1 +x+x2+···+xn=...

Remarque5.En rempla¸cantxpar-x,x2ou-x2dans l"expression pr´ec´edente, on en d´eduit lesDL(0, n) des fonctions

suivantes : 2 Cours MPSI-2017/2018 Les D´eveloppements Limit´es http://pascal.delahaye1.free.fr/ 2.1

1+x= 1-x+x2-x3+···+ (-1)nxn+o(xn)

3. 1

1-x2= 1 +x2+x4+···+x2n+o(x2n)

4. 1

1+x2= 1-x2+x4+···+ (-1)nx2n+o(x2n)

2.2 Obtention par primitivation

Th´eor`eme 4 :Primitivation d"un DL

Soit un intervalleIcontenant 0 et une fonctionf:I?→Rde classeC0surI. On suppose que la fonctionfadmet unDL(0, n) de la forme f(x) =a0+a1x+···+anxn+o(xn) Alors toute primitiveFdefsur un voisinage de 0 admet unDL(0, n+ 1) obtenu en primitivant la partie r´eguli`ere et en ajoutantF(0) :

F(x) = F(0)

+a0x+a1x22+···+anxn+1n+ 1+o(xn+1) Preuve 4 :Il s"agit de prouver queg(x) =F(x)-(F(0) +a0x+a12x2+···+anxn+1n+1) est uno(xn+1). On a en ´evidenceg?(x) =o(xn), c"est `a direg?(x) xn---→x→00. On mq g(x)

xn+1---→x→00 en prenantx?Vuet en appliquant l"in´egalit´e des accroissements finis entre 0 etx?Vu.

Remarque6.AuV(x0), le th´eor`eme appliqu´e `af(x) =a0+a1(x-x0) +···+an(x-x0)n+o((x-x0)n) donne :

F(x) =F(x0) +a0(x-x0) +a1

2(x-x0)2+···+an(x-x0)n+1n+ 1+o((x-x0)n+1)

Ainsi, on obtient facilement :

5. ln(1 +x) =x-x22+x33-x44+···+ (-1)n+1xnn+o(xn) 6. arctanx=x-x33+x55+···+ (-1)nx2n+12n+1+o(x2n+2)

2.3 Obtention par Taylor-Young

Th´eor`eme 5 :Taylor-Young au voisinage dex0

Soit une fonctionfest de classeCnsur un intervalleIavecx0?I. Alorsfposs`ede unDL(x0, n) donn´e par

la formule de Taylor-Young : f(x) =f(x0) +f?(x0)(x-x0) +f??(x0)2!(x-x0)2+···+f(n)(x0)n!(x-x0)n+o((x-x0)n)

Preuve 5 :On d´emontre ce r´esultat par r´ecurrence en utilisant le th´eor`eme de primitivation d"un DL.

Remarque7.Ce th´eor`eme est en particulier un th´eor`eme d"existence que l"onpourra utiliser pour justifier l"existence d"un

DL `a l"ordren.

Remarque8.Au voisinage de 0 la formule de Taylor-Young est alors : f(x) =f(0) +f?(0)x+f??(0)2!x2+···+f(n)(0)n!xn+o(xn) 3 Cours MPSI-2017/2018 Les D´eveloppements Limit´es http://pascal.delahaye1.free.fr/

En appliquant le th´eor`eme de Taylor-Young, on obtient lesDL(0, n) suivants valables pour toutn?N?:

7. ex= 1 +x+x22!+···+xnn!+o(xn) 8. 9. chx= 1 +x22!+x44!+···+x2n(2n)!+o(x2n+1) 10. sinx=x-x33!+x55!+···+ (-1)nx2n+1(2n+1)!+o(x2n+2) 11. cosx= 1-x22!+x44!+···+ (-1)nx2n(2n)!+o(x2n+1) 12.

(1 +x)α= 1 +αx+α(α-1)2x2+α(α-1)(α-2)3!x3+···+α(α-1)...(α-n+1)n!xn+o(xn) o`uα?R

Deux cas particuliers lorsqueα=1

2etα=-12:

13. ⎷1 +x= 1 +x2-x28+o(x2) 14.

1⎷1+x= 1-x2+38x2+o(x2)

Par primitivation on obtient aussi les deux DL auV(0) suivants : 15. arcsinx=x+x36+o(x3) 16 . arccosx=π2-arcsinx=π2-x-x36+o(x3)

Exercice : 2

(?) D´eterminer un DL `a l"ordre 4 enx0= 2 de la fonction exp.

Exercice : 3

(?) D´emontrer que au voisinage de 0, on a : arctan(1x) =επ2-x+13x3+o(x3) o`u?ε= 1 six >0

ε=-1 six <0

R´eciproquement :

Un d´eveloppement limit´e enx0`a l"ordrend"une applicationCnsurI(avecx0?I) permet de d´eterminer

les valeurs def(x0),f?(x0) ...f(n)(x0). D"apr`es la formule de Taylor-Young et l"unicit´e duDL(0, n) on obtient : ?k?[[0,n]], f(k)(x0) =k!ak Exemple 2.(?) L"applicationfd´efinie parf(x) = ch(ln(1 +x)) admet pourDL(0,3) :f(x) = 1 +1

2x2-12x3+o(x3).

D´eterminer les valeurs def(0),f?(0),f??(0) etf(3)(0).

Exercice : 4

(??) D´eterminer les valeurs de arcsin(n)(0).

2.4 D´erivation d"un DL

Remarque9.On a vu qu"on pouvait primitiver sans soucis les d´eveloppements limit´es. En revanche, il faudra ˆetre tr`es prudent

avant de d´eriver un DL. 4 Cours MPSI-2017/2018 Les D´eveloppements Limit´es http://pascal.delahaye1.free.fr/ Th´eor`eme 6 :Soitfune fonctionC1au voisinage de 0.

Si?fadmet unDL(0, n)

f ?admet unDL(0, n-1),alors le DL def?s"obtient en d´erivant celui def. Preuve 6 :On exprime le DL(0, n-1) def?est on lui applique le th´eor`eme de primitivation.

Remarque10.Le th´eor`eme pr´ec´edent pourra par exemple s"appliquer dans lecas des fonctions de classeCnouC∞.

Remarque11.Le th´eor`eme pr´ec´edent sous-entend quefpeut admettre unDL(0, n) sans quef?admette unDL(0, n-1).

V´erifiez cela en consid´erant la fonction d´efinie par :f(x) =x2+x4.cos(1 x).

2.5 Op´erations sur les DL

2.5.1 Combinaison lin´eaire de DL

Th´eor`eme 7 :Combinaison lin´eaire de DL

Soient deux fonctionsfetgqui admettent desDL(0, n) de partie r´eguli`ere respectivesF(x) etG(x).

Soient deux scalaires (λ, μ)?R2.

La fonctionλf+μgadmet alors unDL(0, n) de partie r´eguli`ereλF(x) +μG(x).

Preuve 7 :Pas de difficult´e.

Exemple 3.(?) D´eterminer un DL(0, n) de la fonction d´efinie parf(x) =x2+3 x-1. Exemple 4.(?) Soitn?N. Retrouver les DL(0, 2n) des fonctions ch et sh.

2.5.2 Produit de DL

Th´eor`eme 8 :Produit de DL

Si deux fonctionsfetgadmettent desDL(0, n) de parties r´eguli`eresF(x) etG(x), alors la fonctionfgadmet

unDL(0, n) de partie r´eguli`ere obtenue en ne gardant que les termes de degr´e inf´erieur `andans le polynˆome

F(x)G(x).

Preuve 8 :Il suffit de l"´ecrire ...

Remarque12.Dans un produit de DL d"ordren, les termes de degr´e> nn"ont aucune signification!

Exercice : 5

(?) Prouver qu"au voisinage de 0 on a les DL suivants :

1. cos(x)⎷

1 +x= 1 +x2-58x2+o(x2)

2. sin(x)exp(x) =x+x2+x3

3+o(x3)3.

ln(1+x)

1-x=x+12x2+56x3+o(x3)

4. sinxshx ⎷1-x2=x2+12x4+o(x5)

Remarque13.

Pour obtenir unDL(0, n) d"un produitf.g, il n"est par toujours n´ecessaire de rechercher unDL(0, n) defet deg. En effet,

si par exemple le DL defpeut se factoriser parxk, on pourra se contenter pourgd"un DL `a l"ordren-k.

Exemple 5.(?) DL(0,5) def(x) = sin2x.arcsin(2x)

2.5.3 Composition de DL

Th´eor`eme 9 :Compos´ee de DL

Si???la fonctionfadmet unDL(0, n) de partie r´eguli`ereFquotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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