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3 Un développement limité de f en x0 à l'ordre n est la donnée d'un polynôme P de degré n tel que l'on

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6 D La fonction x ?? f(x)/x admet un développement limité d'ordre 3 en 0 7 M La fonction

Exo7 Calculs de limites, développements limités, développements asymptotiques * très facile ** facile *** difficulté moyenne **** difficile ***** très difficile I : Incontournable T : pour travailler et mémoriser le cours Exercice 1ITEtudier l"existence et la valeur éventuelle des limites suivantes 1. lim x!p=2(sinx)1=(2xp) 2. lim x!p=2jtanxjcosx 3. lim n!+¥cos(np3n+1)+sin(np6n+1)n 4. lim x!0(cosx)lnjxj 5. lim x!p=2cosx:e1=(1sinx) 6. lim x!p=32cos2x+cosx12cos

2x3cosx+1

7. lim x!01+tanx1+thx

1=sinx

8. lim x!e;x1xx1ln(1px 21)
10. lim x!+¥xln(chx1)x 2+1 11. lim x!0;x>0(sinx)xxsinxln(xx2)+xlnx 12. lim x!+¥ln(x+1)lnx x 13. lim x!1=p2 (arcsinx)2p2162x21 14. lim x!+¥cos(a+1x )cosa x(où cosa6=0) 1.

11x2x3(ordre 7 en 0)

1cosx(ordre 7 en 0)

3. arccos px tanx(ordre 3 en 0) 4. tan x(ordre 3 enp4

5.(chx)1=x2(ordre 2 en 0)

1 6.tan

3x(cos(x2)1) (ordre 8 en 0)

7. ln(1+x)x

2(ordre 3 en 1)

8. arctan (cosx) (ordre 5 en 0) 9. arctan qx+1x+2(ordre 2 en 0) 10. 1x

21arcsin

2x(ordre 5 en 0)

11. Rx2 x1p1+t4dt(ordre 10 en 0) 12. ln

å99k=0xkk!

(ordre 100 en 0) 13. tan

3p4(p3+x3) (ordre 3 enp)

1=x.

233p8x3+7x2+1.

2+3x+5x+1.

Equi valentsimple en 0, 1, 2 et +¥de 3x26x

Equi valentsimple en 0 de (sinx)xx2(xx2)sinx.

Equi valentsimple en +¥dexthx.

Equi valentsimple en 0 de tan (sinx)sin(tanx).

3deun=1n!ånk=0k!.

2. 2. Dév eloppementasymptotique à la précision 1x

3en+¥dexln(x+1)(x+1)lnx.

2 n. 1. Equi valentsimple quand ntend vers+¥defn(a+b)fn(a)fn(b). 2.

Même question pour eafn(a)1+a22n.

]. Pourn2N, on poseun+1=sin(un). 1. Montrer brièv ementque la suite uest strictement positive et converge vers 0. 2. (a) Déterminer un réel atel que la suiteuan+1uanait une limite finie non nulle. (b) En utilisant le lemme de C ESARO, déterminer un équivalent simple deun. simple deunquandntend vers+¥. naturel donné. On notexncette solution. 2. T rouverun dév eloppementasymptotique de xnà la précision1n 2. 1.

Montrer que l"équation x+lnx=kadmet, pourkréel donné, une unique solution dans]0;+¥[, notéexk.

2. Montrer que, quand ktend vers+¥, on a :xk=ak+blnk+clnkk +olnkk oùa,betcsont des constantes

à déterminer.

2six6=0 et 1 six=0.

1. Montrer que fadmet en 0 un développement limité d"ordre 2. 2.

Montrer que fest dérivable surR.

3. Montrer que f0n"admet en 0 aucun développement limité d"aucun ordre que ce soit. 3

1arcsinx(existence d"une tangente ?)

Equi valentsimple de arccos xen 1.

2. Soit aklek-ème coefficient. Montrer queakest le nombre de solutions dansN2de l"équationp+2q=k.

Correction del"exer cice1 N1.Si x2]0;p[, sinx>0, de sorte que la fonction proposée est bien définie sur un voisinage pointé dep2

(c"est-à-dire un voisinage dep2 auquel on a enlevé le pointp2 ) et de plus(sinx)1=(2xp)=eln(sinx)=(2xp).

Quandxtend versp2

, sinxtend vers 1 et donc ln(sinx)sinx1=

1cosp2

x 12 p2 x

2=(2xp)28

Donc, ln(sinx)2xp 2xp8 !0 et enfin(sinx)1=(2xp)=eln(sinx)=(2xp)!e0=1. lim x!p2 (sinx)1=(2xp)=1.2.Si x2]0;p[np2 ,jtanxj>0, de sorte que la fonction proposée est bien définie sur un voisinage pointé de p2 et de plusjtanxjcosx=ecosxln(jtanxj). Quandxtend versp2 lnjtanxj=lnjsinxjlnjcosxj lnjcosxj; puis cosxlnjtanxj cosxlnjcosxj !0 (car, quandutend vers 0,ulnu!0). Donc,jtanxjcosx= e cosxlnjtanxj!e0=1. lim x!p2 jtanxjcosx=1.3.Quand ntendvers+¥, cosnp3n+1+sinnp6n+1!cosp3 +sinp6 du type 1 +¥). Quandntend vers+¥, cos np3n+1=cos p3 1+13n 1! =cosp3 p9n+o1n 12 cosp9n+o1n +p3 2 sinp9n+o1n =12 1+o1n +p3 2 p9n+o1n 12 +p3p18n+o1n

De même,

sin np6n+1=sin p6 1+16n 1! =sinp6 p36n+o1n 12 cosp36n+o1n p3 2 sinp36n+o1n =12 p3p72n+o1n Puis, nln cosnp3n+1+sinnp6n+1 =nln

1+p3p24n+o1n

=n p3p24n+o1n =p3p24 +o(1); et donc 5 lim n!+¥cosnp3n+1+sinnp6n+1 n=ep3p=24.4.Quand xtendvers0, ln(cosx)cosx1x22 . Puis, lnjxjln(cosx)x22 lnjxj!0. Donc,(cosx)lnjxj! e 0=1. lim x!0(cosx)lnjxj=1.5.Quand xtend versp2 ,11sinxtend vers+¥. Posonsh=xp2 puise=sgn(h), de sorte que

Or, quandhtend vers 0,

+o(h2))(lnjhj+o(lnjhj))+1h 22
+o(h2)=1+o(1)h 22
+o(h2)2h 2; et donc, quandhtend vers 0, lnjsinhj+11cosh2h

2!+¥. Par suite,

lim

x!p=2;xp=2cos(x)e1=(1sinx)=¥.6.Pour x2R, 2cos2x3cosx+1= (2cosx1)(cosx1)et donc

8x2R;2cos2x3cosx+1=0,x2

p3 +2pZ [2pZ:

Pourx=2p3

+2pZ[2pZ, 2cos

2x+cosx12cos

et donc, lim x!p=32cos2x+cosx12cos

2x3cosx+1=12

+112
1=3. lim x!p=32cos2x+cosx12cos

2x3cosx+1=3.7.Quand xtend vers 0,

1+tanx1+thx=1+x+o(x)1+x+o(x)= (1+x+o(x)(1x+o(x)) =1+o(x):

Puis, quandxtend vers 0,

1sinxln1+tanx1+thx

Donc, lim x!01+tanx1+thx

1=sinx=1.6

8.Quand xtend versepar valeurs inférieures, ln(x)tend vers 1 et donc

ln(lnx)lnx1=lnxe xe 1=1e (ex); puis, ln(ex)ln(lnx) 1e (ex)ln(ex)!0; et donc(lnx)ln(ex)=eln(ex)ln(lnx)!1. lim x!exEnsuite,px

21 tend vers 0 et donc

ln(1px

21) px

21=p(x1)(x+1) p2(x1):

Finalement, quandxtend vers 1 par valeurs supérieures, x x1ln(1px 21)x1
p2(x1)=1p2 px1!0: lim x!1x>ex x1ln(1px

21)=0.10.Quand xtend vers+¥,

ln(chx1)ln(chx)lnex2 =xln2x; et donc xln(chx1)x

2+1xxx

2=1: lim x!+¥xln(chx1)x

2+1=1.11.Quand xtend vers 0 par valeurs supérieures,

ln(xx2)+xlnx=x+ln(1x) =x22 +o(x2) x22

Ensuite,

(sinx)x=exln(sinx)=exln(xx36 +o(x3))=exlnxexln(1x26 +o(x2))=xxex36 +o(x3)=xx 1x36 +o(x3) 7 et, x sinx=e(xx36 +o(x3))lnx=exlnxex3lnx6 +o(x3lnx)=xx

1x3lnx6

+o(x3lnx) Donc, (sinx)xxsinx=xx 1x36 +o(x3) xx

1x3lnx6

+o(x3lnx) =xxx3lnx6 +o(x3lnx) x3lnx6 et enfin !0: lim x!0x>0(sinx)xxsinxln(xx2)+xlnx=0.12.Quand xtend vers+¥, ln(x+1) =lnx+ln 1+1x =lnx+1x +o1x puis ln(x+1)lnx=1+1xlnx+o1xlnx

Ensuite,

xlnln(x+1)lnx =xln

1+1xlnx+o1xlnx

=1lnx+o1lnx !0: Donc, ln(x+1)lnx x=exp xlnln(x+1)lnx !e0=1. lim x!+¥ ln(x+1)lnx x =1.13.Quand xtend vers1p2 (arcsinx)2p216

2x21=12

arcsinx+p4 x+1p2 arcsinxp4 x1p2 12 p4 +p4 1p2 +1p2 arcsinxp4 x1p2 =p4 p2 arcsinxp4 x1p2 p4 p2 (arcsin)0(1p2 ) =p4 p2 1q 112
=p4 lim x!1=p2 (arcsinx)2p2162x21=p4 .8

14.Quand xtend vers+¥,

xln cosa+1x cosa! =xln cos1x tanasin1x =xln

1tanax

+o1x =x tanax +o1x =tana+o(1); et donc lim x!+¥ cos(a+1x )cosa x =etana. lim x!+¥ cos(a+1x )cosa x =etana.Correction del"exer cice2 N1.

11x2x3=x!01+(x2+x3)+(x2+x3)2+(x2+x3)3+o(x7) =1+x2+x3+x4+2x5+2x6+3x7+o(x7):

11x2x3=x!01+x2+x3+x4+2x5+2x6+3x7+o(x7).1

cosx=x!0 1x22 +x424 x6720 +o(x7) 1 =1+x22 x424 +x6720 +x22 x424 2 +x22 3 +o(x7) =1+x22 +x4 124
+14 +x61720 124
+18 +o(x7) =1+12 x2+524 x4+61720 x6+o(x7): 2.

1cosx=x!01+12

x2+524 x4+61720 x6+o(x7).3.Remarques. (a)

Pour x2p2

;p2 nf0g, on a 0La fonction x7!arccosxn"est pas dérivable en 1 et n"admet donc pas en 1 de développement limité

d"ordre supérieur ou égal à 1 (donc à priori, c"est mal parti). (d)

La fonction proposée est paire et, si elle admet en 0 un dév eloppementlimité d"ordre 3, sa partie

régulière ne contient que des exposants pairs.

• Recherche d"un équivalent simple de arccosxen 1 à gauche. Quandxtend vers 1 par valeurs inférieures,

arccosx!0 et donc, arccosxsin(arccosx) =p1x2=p(1+x)(1x)p2 p1x: • Déterminons un équivalent simple de arccos px tanxen 0. D"après ce qui précède, 9 arccos rx tanx sin arccos rx tanx =s1quotesdbs_dbs11.pdfusesText_17

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2x3cosx+1

1=sinx

11x2x3(ordre 7 en 0)

1cosx(ordre 7 en 0)

5.(chx)1=x2(ordre 2 en 0)

3x(cos(x2)1) (ordre 8 en 0)

2(ordre 3 en 1)

21arcsin

2x(ordre 5 en 0)

å99k=0xkk!

3p4(p3+x3) (ordre 3 enp)

233p8x3+7x2+1.

2+3x+5x+1.

Equi valentsimple en 0, 1, 2 et +¥de 3x26x

Equi valentsimple en 0 de (sinx)xx2(xx2)sinx.

Equi valentsimple en +¥dexthx.

Equi valentsimple en 0 de tan (sinx)sin(tanx).

3deun=1n!ånk=0k!.

3en+¥dexln(x+1)(x+1)lnx.

Même question pour eafn(a)1+a22n.

à déterminer.

2six6=0 et 1 six=0.

Montrer que fest dérivable surR.

1arcsinx(existence d"une tangente ?)

Equi valentsimple de arccos xen 1.

Quandxtend versp2

1cosp2

2=(2xp)28

De même,

1+p3p24n+o1n

Or, quandhtend vers 0,

2!+¥. Par suite,

8x2R;2cos2x3cosx+1=0,x2

Pourx=2p3

2x+cosx12cos

2x3cosx+1=12

2x3cosx+1=3.7.Quand xtend vers 0,

1+tanx1+thx=1+x+o(x)1+x+o(x)= (1+x+o(x)(1x+o(x)) =1+o(x):

Puis, quandxtend vers 0,

1sinxln1+tanx1+thx

1=sinx=1.6

8.Quand xtend versepar valeurs inférieures, ln(x)tend vers 1 et donc

21 tend vers 0 et donc

21) px

21=p(x1)(x+1) p2(x1):

21)=0.10.Quand xtend vers+¥,

2+1xxx

2+1=1.11.Quand xtend vers 0 par valeurs supérieures,

Ensuite,

1x3lnx6

1x3lnx6

Ensuite,

1+1xlnx+o1xlnx

2x21=12

14.Quand xtend vers+¥,

1tanax

11x2x3=x!01+(x2+x3)+(x2+x3)2+(x2+x3)3+o(x7) =1+x2+x3+x4+2x5+2x6+3x7+o(x7):

11x2x3=x!01+x2+x3+x4+2x5+2x6+3x7+o(x7).1

1cosx=x!01+12

Pour x2p2