[PDF] Leçon 12: Volume de pyramide de cône

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Leçon 12: Volume de pyramide, de cône

Activitésl. Reproduire les figures suivantes puis fabriquer : a. une pyramide régulière à base triangulaire. b. une pyramide régulière à base carrée.

I c. Un cône de révolution

2. Dessiner les patrons de deux prismes à bases respectives des pyramides a et b ayant pour hauteurs

celles de ces deux pyramides. Construire ces prismes. t97

3.La pyramide à base rectangulaire et le prisme ont même base et même hauteur.

\ .tJ s,il La pyramide est remplie de sable.' On verse le sable contenu dans la pyramide, dans le prisme. I ,, i Combien de pyramides faudrait-il pour remplir le prisme ? 4. 5.

La pyramide régulière à base triangulaire et le prisme ont la même base et la même hauteur. La

pyramide est remplie de sable. On verse le sable contenu dans la pyramide, dans le prisme. Combien de pyramide(s) faudrait-il pour remplir le prisme ?

Le cylindre et le cône ont même base et même hauteur. Le cône est rempli de sable. On verse le

sable contenu dans le cône, dans le cylindre. Combien de cônes faudrait-il pour remplir le cylindre ?

Le cours

l.Volume de pyramide : Le volume V d'une pyramide est égal au tiers du produit de I'aire S de sa base par sa hauteur h. Volume de pyramid"= I " aire de la base x hauteurJ

IV =15]h. 9J:aire de labase

3 h : hauteur

Le prisme et la pyramide ont même base et même hauteur. Il faut trois pyramides pour remplir le

prisme. Conformément à la formule ci-dessus. Exemple l: Une pyramide à base rectangulaire de dimensions 6cm sur 8cm a une hauteur de l0cm. Quel est son volume ?

Solution:

ID'après la formule V =:B h , on a ;J

t

V =!x(O"a)" l0 =160 cm31\J

198
Exemple 2 : On considère deux pyramides à base carrée.

La grande a un volume 8 fois plus grand que

celui de la petite et sa hauteur est deux fois celle de la petite. È1 ', .,' pyramide sachant que I'aire de la base de la petite. estde 25cm2?

Solution : On suppose :

h , la hauteur de la petite pyramide. a, la mesure du côté de base de la grande pyramide.

2h ,la hauteur de la grande pyramide

(, le volume de la grande pyramide (, le volume de la petite pyramide

D'après la formule V =:B à , on a :

Jt^1V, :J-xa' x2h : V" :1x25xh'33

Puisque Vr =8V, on a donc :t (r \!ra, x2h:grl I x25xhl3 \3 ) o, -(s"zs'h)"f1) = roo\ 3 )\2h) l_llar r2h =gx(1x25xh)a.JJ. 2 (sxzsxh) (l)I a. =l_lxl_. 1:100\ 3 )\2h) Donc la mesure du côté de base de la grande pyramide est 10cm.

2. Volume de cônes de révolution

Le volume V d'un cône de révolution est égal au tiers du produit de I'aire B de sa base par sa

hauteur h.

Volume de cone = 1t uire de base x hauteur

3 v=lgft 3 r; ralon du disque de base h : hauteur

Le cylindre et le cône ont même base et même hauteur. Il faut trois cônes pour remplir le cylindre,

conformément à la formule ci-dessus. t97 .,1//

Exemple l: Un verre en

Calculer son volume.

papier de hauteur 9,4cm , a pour base un disque de diamètre 7 cm .

Solution:

D'après la formule : V = ]o.'f,J

Ona: V=l x3,l4x(3,5)t x9,4=120,5 cm3

3 ll00 1 -cm- 150
Exemple 2 : 150 petits cônes en feuille de bananier contiennent I l00cm3 de gâteau. Chaque

petit cône a une hauteur de 7cm . Calculer le diamètre du disque de base de ces petits cônes.

Solution:

. 150 cônes contiennent I l00c,rn3 de gâteaux. Un cône contient, I lffi cro' de eâteau c'est-à-dire le volume d'un cône est de150

D'après la forlnule V = lnr'h , on a:

3 ,' : 3Y : - llt too= = ^ -') =:0,95cttt d'ô t: J0.9s =0,98zuh l50xnx7 3,74x7 Donc le diamètre du disque de base est de : d:2r =l,96cr.rr

Aires et volumes de pyramides, de cônes

AireVolume

PwamideA: Aire laterale + aire de la baseY =Ltaire de la baserhauteur 3

CôneA = aerd + nr'= nr(d+r)

r: rayon de la base h : hauteur I

V = 1aerthaJ

r: rayon de la base h: hauteur 198
I

Exercices

Dans cet exercice, on considère des pyramides régulières.

Compléter le tableau suivant.

:T"*to"

à baseCôté de la base

(cm)

Aire de la base

- ("-t ) hauteur (cm) volume

Triangutairel043,39

caITee8,210,5 pentagonale7,39r,65641,6 carTee64320 hexagonale6

Une pyramide régulière en ciment à base triangulaire de l2cm de côté, a une hauteur de 20cm.

Combien faudrait-il de ciment pour fabriquer'cette pyramide ?o étant donné: . aire du triangle équilatéral 6 = ! u' i Ji =1,732

3. Calculer t" uotrr-" Oe chacune u".ofi*r", suivartes.

. ABCD est un rectangle . ASB est un triangle équilatéral . AB=8 cm . AD:4 cm

Un cristal formé de deux pyramides régulières accolées par deux bases carrées, est incluse dans un

cube de 1Ocm d'arrête. Les sommets du cristal sont les milieux des arrêtes du cube, comme le montre la figure ci-contre. Calculer le volume de ce cristal.

Un gâteau a la forme d'une pyramide régulière à base carrée de côté 4cm ayant 3cm de hauteur.

tgg'\ 4. 5. Calculer la masse de farine pour 100 gâteaux sachant qu'il faut 1 de farine pour un gâteau ( I kg = ldm3 1.J

6Un bâtiment a la forme d'un prisme surmonté d'une pyramide représenté sur la figure ci-dessous

(les mesures indiquées sont en cm). l5m . Pour construire ce bâtiment, il faut lYo de fer et de ciment. Combien faudrait-il de fer et de ciment pour construire cç bâtiment ? 30m

Dans cet exercice, on considère trois pyramides régulières à base carrée de locm2 d'aires : A, B et

C. Ranger par ordre croissant les volumes de ces trois

Pyramides sachant que :

. Pyramide A : a pour lOcm de hauteur' . Pyramide B : a pour lOcm d'arrête ; . Pyramide C : a pour l0cm d'apothème.

La pyramide de Clréops (25 siècles av.J.-C.)ILa pyramide est régulière. Elle a une hauteur de l38m et

une base carrée de230m de côté. a. Calculer son volume. b. Combien mesure I'arrête, lm près. c. Calculer I'aire des quatre faces triangulaires. (Anondir à l0m2 près)

9. La pyramide à Louvre (1988 apr. J.-C). C'est, elle aussi, une pyramide régulière dont la hauteur

mesure 2lm et dont la base carrée a 34m de côté. a. Calculer son volume.

b. Si vous avez traité la question a. de I'exercice 8, vous constatez que le volume de la pyramide du

Louwe est plus petit que celui de la pyramide de Chéops. Combien de fois est-il plus petit ? 7. 200

Combien mesure l'arrête à lm

près ?

Calculer I'aire totale des plaques

de verre qui recouvrent la pyramide du Louvre. (Arrondir

àlm2).

La tente indienne a uneforme d'un cône.ayant l,75cm de rayon de base et 3,25cm de hauteur.. Quel est le volume de cette tente ?

Deux bougies : l'une aune forme d'un cylindre ayant 3cm de diamètre de base et 5cm de hauteur.

L'autre a une forme d'un cône de révolution

ayant 2cm de rayon de base et 6cm de hauteur. Calculer le volume de chaque bougie.

Des cônes d'encens sont composés de la sciure et de I' arbre parfumé. Chaque cône d'encens a pour

lcm de hauteur et lcm de diamètre de base. Combien faudra-t-il de sciure pour fabriquer 50 000 cônes d'encens ? Un verre en papier a une forme d'un cône ayant lOcm de hauteur et 8cm de diamètre de base. Si

chaque élève d'une équipe de 50 élèves boit deux verres, un récipient de 2o litres d'eau est-il

suffisant ?

Pour dessiner le gâteau d'anniversaire, on

.;"':t' .. utilise une poclre à crème qui a la forme d'un i. Pour 15 roses.

180 roses ?

d. 10. I l. 12. 13. t4.

15.On considère un

hauteur (comme cône inscrit dans une pyramide régulière à base carrée 15cm le montre la figure). Calculer le volume de ce cône. de côté et l8cm de

Leçon 12: Volume de

201
pyramide,'de cône. 2. 3. l.

Exercices

Dans cet exercice, on considère des pyramides régulières.

Compléter le tableau suivant.

Une pyramide régulière'en ciment à base triangulaire de l2cm de côté, a une hauteur de 20cm.

Combien faudrait-il de ciment pour fabriquer cette pyramide ?' . étant donné: ^lz. aire du triangle équilatéral A = t:' a' ; Ji =1,7324 Calculer le volume de chacune des figures suivantes. . ABCD est un rectangle . ASB est un triangle équilatéral . AB:8 cm . AD:4 cm

Un cristal formé de deux pyramides régulières accolées par deux bases carrées, est incluse dans un

cube de lOcm d'arrêtd. /l ILes sommets du cristal sont les milieux des anêtes du cube, comme Ie montre la figure ci-contre. Calculer le volume de ce cristal.

5.Un gâteau a la forme d'une pyramide régulière à base canée de côté 4cm ayant 3cm de hauteur.

b. 4. Calculer la masse de farine pour 100 gâteaux sachant )qu'il faut a de farine pour un gâteau ( I kg = ldm3 ).J

6.Un bâtiment a la forme d'un prisme surmonté d'une pyramide représenté sur la figure ci-dessous

(les mesures indiquées sont en cm). l5m 202

Combien mesure I'arrête à lm

près ? Calculer l'aire totale des plaquesde verre qui recouvrent la pyramide du lnuvre. (Arrondir

àlm2).

Pour construire ce bâtiment, il faut lo de

fer et de ciment. Combien faudrait-il de fer et de ciment pour-construire ce bâtiment ?

Dans cet exercice, on considère trois pyramides régulières à base carrée de l0cm2 d'aires : A, B et

C. Ranger par ordre croissant les volumes de ces trois

Pyramides sachant que :

. Pyramide A : a pour 10cm de hauteur ; . Pyramide B : a pour 10cm d'arrête ; . Pyramide C : a pour lOcm d'apothème.

La pyramide de Chéops (25 siècles av.J.-C.)

La pyramide est régulière. Elle a une hauteur de l38m et une base carrée de 23Om de côté. a. Calculer son volume. b. Combien mesure I'arrête, lryr près. c. Calculer I'aire des quatre faces triangulaires. (Arrondir à l0m2 près)

La pyramide à L,ouvre (1988 apr. J.-C). C'est, elle aussi, une p)iramide régulière dont la hauteur

mesure 21m et dont la base carrée a34m de côté.

e. Calculer son volume.f. Si vous avez traité la question a. de I'exercice8, vous constatez qve le volume de la pyramide du

Louvre est plus petit que celui de la pyramide de Chéops. Combien de fois est-il plus petit ? h. 7. 8. 9. 203
t0. La tente indienne a une

I l. Deux bougies : I'une a une

.,i, _.

15. On considère.un

hâutéur (coinme forme d'un cône ayant l,75cm de rayon de base et3,25cm de hauteur.

Quel est le volume de cette tente ?

forme d'un cylindre ayant 3cm de diamètre de base et 5cm de hauteur.

L'autre a une forme d'un cône de révolution

ayant 2cm de rayon de base et 6cm de hauteur. Calculer le volume de chaque bougie. 12. 13. 14.

Des cônes d'encens sont composés de la sciure et de I' arbre parfumé. Chaque cône d'encens a pour

1lcm de hauteur et -cm de diamètre de base. Combien faudra-t-il de sciure pour fabriquer 50 000

cônes d'encens ? Un verre en papier a une forme d'un cône ayant lOcm de hauteur et 8cm de diamètre de base. Si

chaque élève d'une équipe de 50 élèves boit deux verres, un récipient de 2o litres d'eau est-il

suffrsant ?

Pour dessiner le gâteau d'anniversaire, on':'.''' utilise une poche à crème qui a la forme d'unt cône ayant 5cm de rayon et l0cm de hauteur, pour 15 roses..

Combien faudra-t-il de crème pour dessinér

180 roses ?

cône inscrit dans une pyramide régulière à base carrée l5cm de côté et 18cm de le montre la figure). Calculer le volume de ce cône. 204
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