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Polynésie 2015. Enseignement spécifique. Corrigé

EXERCICE 1

1)

--→AG=-→AB+--→AD+-→AE=6-→AI+4-→AJ+2-→AK. Donc, les coordonnées du pointGsont(6,4,2).

D"autre part, les coordonnées respectives des pointsIetJsont(1,0,0)et(0,1,0). Les coordonnées du vecteur-→IGsont

(5,4,2)et les coordonnées du vecteur-→JGsont(6,3,2).

S"il existe un réelktel que-→JG=k-→IG, alorsk=1(à partir de la troisième coordonnée) et aussik=3

4( à partir de la

deuxième coordonnée. Ceci est impossible et donc les vecteurs-→IGet-→JGne sont pas colinéaires ou encore les pointsI,

JetGne sont pas alignés. On en déduit que les pointsI,JetGdéfinissent un unique plan. -→n.-→IG=2×5+2×4+ (-9)×2=10+8-18=0 et -→n.-→JG=2×6+2×3+ (-9)×2=12+6-18=0.

Le vecteur

-→nest orthogonal aux vecteurs-→IGet-→JGqui sont deux vecteurs non colinéaires du plan(IJG). Donc, le

vecteur-→nest un vecteur normal au plan(IJG).

2)Le plan(IJG)est le plan passant parI(1,0,0)de vecteur normal-→n(2,2,-9). Une équation du plan(IJG)est donc

2(x-1) +2(y-0) -9(z-0) =0

ou encore2x+2y-9z-2=0. 3)

-→AB=6-→AIet donc les coordonnées du pointBsont(6,0,0).-→AF=-→AB+--→AD=6-→AI+2-→AKet donc les coordonnées du pointFsont(6,0,2).

Les coordonnées du vecteur-→BFsont donc(0,0,2). La droite(BF)est la droite passant parB(6,0,0)et de vecteur directeur1

2-→BF(0,0,1). Une représentation paramétrique

de la droite(BF)est ?x=6 y=0 z=t, t?R.

SoitM(6,0,t),t?R, un point de la droite(BF).

9.

Pourt=10

9, on obtient les coordonnées du pointL:

L

6,0,10

9?

4) Graphique.(La droite d"inetrsection des plans(IJG)et(DCH)est parallèle à la droite(IL)).

ABC DE F GH IL J K http ://www.maths-france.fr 1 c?Jean-Louis Rouget, 2015. Tous droits réservés.

EXERCICE 21)SoitMun point du plan d"affixez.

Minvariant?z?=z?z2+4z+3=z

?z2+3z+3=0.

Le discriminant de l"équationz2+3z+3=0estΔ=32-4×1×3= -3 < 0. Donc l"équationz2+3z+3=0admet

deux solutions complexes non réelles conjuguéesz1=-3+i⎷ 3

2etz2=-3-i⎷

3 2. Donc, il existe exactement deux points invariants, le pointM1d"affixez1= -3

2+i⎷

3

2etz2= -32-i⎷

3 2. Déterminons la forme trigonométrique dez1etz2. |z1|=???? -3 2? 2 3 2? 2 9

4+34=⎷3puis

z 1= -3

2+i⎷

3

2=⎷3?

-⎷3

2+12i?

=⎷3? cos?5π6? +isin?5π6?? =⎷3e5iπ6.

D"autre part,z2=

z1=⎷3e-5iπ6. z

1=⎷

3e5iπ6etz2=⎷3e-5iπ6.

2)On sait déjà queOA=|zA|=|z2|=⎷3etOB=|zB|=|z1|=⎷3. Enfin,

AB=|zB-zA|=?????

-3

2+i⎷

3

2+32+i⎷

3

2?????

i⎷3???quotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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