LE POINT DINFLEXION
Points d'Inflexion majeurs durant ces dix dernières années. Capacités : définir le groupe de société se trouve face à un Point d'Inflexion il se peut.
Terminale ES - Convexité et inflexion
Dire que la courbe représentative d'une fonction traverse sa tangente en un point cela signifie que la fonction change de convexité en ce point. Cela se traduit
COURBES PARAMETREES
1 nov. 2004 Si a est impair et b impair on parle de point d'inflexion. Dans ce cas
Le point dinflexion de la douleur
Point d'inflexion (P.i.). Page 3. 3. Effort relatif douleur. Relation entre l'intensité
Courbe pression–volume et recrutement alvéolaire au cours du
Le point d'inflexion inférieur représente une zone au-delà de laquelle l'augmentation linéaire de la courbe comprise entre les deux points d'inflexion
CONVEXITÉ
Définition : Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I. Un point d'inflexion est un point où la courbe traverse sa tangente en ce point. Remarque
etude-des-fonctions-cours-et-exercices-corriges.pdf
3) Un point d'inflexion est un point où s'opère un courbe convexe concave ou un point ... courbe de f et déterminer les points d'inflexions.
Choix des bons critères pour bien détecter le point déquivalence
point d'équivalence. Sur une courbe de titrage courante en forme de S (voir fig. 1)
fonctions usuelles dérivées première et seconde
https://quantique.u-strasbg.fr/lib/exe/fetch.php?media=fr:pageperso:ef:td_maths_fonctions_l1.pdf
Évaluation de la mécanique ventilatoire au cours du SDRA
point d'inflexion supérieur (fig. 74.2). La courbe pression/volume statique est un témoin des modifications de l'aération pulmonaire visibles au scanner.
COURBES PARAMETREES
P. Pansu
November 1, 2004
1 Motivation
La trajectoire d"un point qui se d´eplace dans un plan, c"estdonn´e par deux fonctionsx(t) ety(t)
du temps.2 Objectif
Lorsque les fonctionst?→x(t) ett?→y(t) sont donn´ees, on veut tracer la courbe `a la main.
On sait d´ej`a tracer des trajectoires particuli`eres, celles o`ux(t) =t. En effet, dans ce cas, la
courbe est le graphe d"une fonction d"une variable r´eelle.On va voir que le trac´e dans le cas g´en´eral
se d´eduit de ce cas particulier. Il y a deux nouveaut´es : le traitement des sym´etries, et celui des points singuliers. Notre exemple favori : la courbe d´ecrite parx(t) = sin(2t),y(t) = sin(3t) pourt?R.3 Sym´etries
Attention, il y a deux fonctions en jeu,x(t) ety(t), et non une,y=f(x). Ca change tout. Laparit´e/imparit´e des fonctionsx(t) ety(t) se traduit par exemple par les sym´etries suivantes.
•Lorsquexetysont impaires,c(-t) =-c(t) s"obtient `a partir dec(t) par une sym´etrie centrale. •Lorsquexest impaire etypaire,c(-t) s"obtient `a partir dec(t) par une sym´etrie par rapport `a l"axeOy. •Lorsquexetysont paires,c(-t) =c(t), donc la courbe revient sur ses pas. •Lorsquexest paire etyimpaire,c(-t) s"obtient `a partir dec(t) par une sym´etrie par rapport `a l"axeOx. Pas de recette `a apprendre par coeur, mais un raisonnement d"une ligne `a savoir refaire.Exemple.Dans l"exemplec(t) =?sin(2t)
sin(3t)? , la recherche de sym´etries conduit aux conclusions suivantes.Commex(t+2π) =x(t) ety(t+2π) =y(t), l"intervalle [0,2π] suffit `a param´etrer toute la courbe.
Commex(t+π) =x(t) ety(t+π) =-y(t), la portion de la courbe param´etr´ee par [π,2π]s"obtient `a partir de celle param´etr´ee par [0,π] par une sym´etrie par rapport `a l"axe 0x.
Commex(π-t) =-x(t) ety(π-t) =y(t), la portion de la courbe param´etr´ee par [π/2,π]
s"obtient `a partir de celle param´etr´ee par [0,π/2] par une sym´etrie par rapport `a l"axe 0y.
On ´etudie donc la courbe sur l"intervalle [0,π/2] et on compl`ete le trac´e par deux sym´etries.
14 Points singuliersUn pointc(t0) d"une courbecest ditsinguliersi la vitessec?(t0) = 0. On se demande quel est
l"aspect de la courbe au voisinage d"un point singulier. Pour cela, on utilise des d´eveloppements
limit´es. On pourra d´ecrire l"aspect de la courbe sous l"hypoth`ese que les d´eveloppements limit´es
n´ecessaires poss`edent des termes non nuls. Pour all´eger les notations, on supposera toujours quet0= 0.4.1 Proc´ed´e pratique
On suppose quec(t) poss`ede un d´eveloppement limit´e de la forme c(t) =c(0) +tav1+tbv2+tb?(t), o`ua < betv1etv2sontlin´eairement ind´ependants.Alors labranche sortante, i.e. pourtpositif petit, est contenue dans le quadrant d´elimit´e par
v1etv2et tangente `av2.
Labranche entrante, i.e. pourtn´egatif petit, est aussi tangente `av1, mais contenue dans l"un des 4 quadrants d´efinis parv1etv2. Lequel ? Cela d´epend des signes detaet detbpourt <0, i.e. de la parit´e deaet deb. 2vv 12vv 12vv 12vv 1On peut justifier le trac´e comme suit : il existe un changement de coordonn´ees tel que, dans les
nouvelles coordonn´ees, la branche sortante ait pour ´equationY=Xb/a. Dans le dernier cas, cela
ne suffit pas `a compl´eter le trac´e. Pour d´ecider si la branche entrante est plus proche ou moins
proche dev1que la branche sortante, il faut pousser le d´eveloppement limit´e plus loin, jusqu"`a ce
qu"un terme entc,cimpair, apparaisse.4.2 Terminologie
La terminologie suivante doit ˆetre connue.
D´efinition 11. Siaest pair etbimpair, on parle depoint de rebroussement de premi`ere esp`ece. Dans ce cas, la courbe poss`ede une demi-tangente de vecteur directeurv1.2. Siaest impair etbimpair, on parle depoint d"inflexion. Dans ce cas, la courbe poss`ede une
tangente de vecteur directeurv1.3. Siaest impair etbpair, on parle depoint ordinaire. Dans ce cas, la courbe poss`ede une
tangente de vecteur directeurv1.4. Siaest pair etbimpair, on parle depoint de rebroussement de deuxi`eme esp`ece. Dans ce
cas, la courbe poss`ede une demi-tangente de vecteur directeurv1. Exemple.Etude du point singulier ent= 0 de la courbe param´etr´ee parx(t) =t2,y(t) =t2+t3.Le d´eveloppement limit´e
c(t) =t2?12? +t3?01? +t3?(t) montre qu"il s"agit d"un point de rebroussement de premi`ere esp`ece. La courbe poss`ede une demi- tangente de vecteur directeur?12? 0.04 0.02Page 1
Rebroussement de premi`ere esp`ece
Exemple.Etude du point singulier ent= 0 de la courbe param´etr´ee parx(t) =-t3+t4, y(t) =t3.Le d´eveloppement limit´e
c(t) =t3?-1 1? +t4?10? +t4?(t) montre qu"il s"agit d"un point ordinaire, avec tangente de vecteur directeur?-1 1?0.20.1-0.1-0.20.2
0.1 -0.1 -0.2Page 1
Point ordinaire
Exemple.Etude locale de la courbe param´etr´ee d´efinie parx(t) = 3(sin(t)-t),y(t) =t3+t5.Le d´eveloppement limit´e
c(t) =t3?-1 21?+t5?1401? +t5?(t), montre qu"il s"agit d"un point d"inflexion, de tangente de vecteur directeur?-1 21?
0.20.1-0.1-0.20.2
0.1 -0.1 -0.2Page 1
Point d"inflexion
Exemple.Etude locale de la courbe param´etr´ee d´efinie parx(t) = 3(cos(t)-1),y(t) =t2+t4+t5.
Le d´eveloppement limit´e
c(t) =t2?3 21?+t4?-181? +t4?(t), montre qu"il s"agit d"un point de rebroussement de deuxi`eme esp`ece, de demi-tangente de vecteur directeur? 3 21?
-0.2-0.4-0.6-0.81 0.8 0.6 0.4 0.2
Page 1
Point de rebroussement de deuxi`eme esp`ece
5 Branches infiniesOn parle debranche infinielorsquettend verst0(´eventuellementt0=±∞) si l"une des fonction
x(t) ety(t) n"est pas born´ee au voisinage det0.Comme dans le cas des courbes repr´esentatives de fonctions, on dira qu"une courbe param´etr´ee
admet pourasymptotela droite d"´equationAx+By+C= 0 lorsquettend verst0(´eventuellement a=±∞) si l"une des fonctionx(t) ety(t) n"est pas born´ee au voisinage det0et si lim t→t0Ax(t) +By(t) +C= 0. Si|y(t)|tend vers l"infini etx(t) poss`ede une limite finieC, alors la droite affine d"´equation x-C= 0 est asymptote `a la courbe.Sinon, pour d´eceler la pr´esence d"une ´eventuelle asymptote pourtvoisin det0, on ´etudie le
rapport y(t) x(t). Si lim t→t0y(t) x(t)= +∞, on dit que la courbe admet unebranche parabolique de direction asymptotiqueOy. S"il admet une limite finieB, on ´etudie la diff´erencey(t)-Bx(t). Si limt→t0y(t)-Bx(t) =±∞, on dit que la courbe admet unebranche parabolique de direction asymptotique la droite vectorielle d"´equationy=Bx. Si limt→t0y(t)-Bx(t) =C est finie, on conclut que la droite affine d"´equationy-Bx-C= 0 est asymptote `a la courbe. Exemple.Etude des branches infinies de la courbe param´etr´ee d´efinie parx(t) =-4t2+ 4t, y(t) = 3t3-t.Comme lim
t→±∞y(t)/x(t) =?∞, la courbe pr´esente des branches paraboliques de directionOy.
Exemple.Etude des branches infinies de la courbe param´etr´ee d´efinie parx(t) = tan(t)+sin(t)
ety(t) = 1/cos(t).Par p´eriodicit´e, on peut prendret?[-π,π[. Les branches infinies correspondent aux valeurs de
tpour lesquellesx(t) ouy(t) n"est pas d´efini, soitt=-π/2 ett=π/2. Pourtvoisin deπ/2, les deux coordonn´ees tendent vers l"infini. Le rapporty(t)/x(t) = sint(1 + cost) tend vers 1. La diff´erencey(t)-x(t) = sint+ (sint-1)/costtend vers 1 donc la droite d"´equationy=x+ 1 est asymptote `a la courbe. Ent=-π/2, on trouve pour asymptote la droite d"´equationy=-x-1.6 Tableau de variation
Une fois d´etermin´ees les sym´etries, qui permettent de r´eduire l"intervalle d"´etude de la courbe, les
natures des points singuliers et des branches infinies, il nereste plus qu"`a ´etudier les variations des
fonctionsx(t) ety(t). En effet, cela permet de placer les points remarquables, `asavoir les pointssinguliers et les points o`u la tangente est parall`ele `a l"un des axes de coordonn´ees. Entre deux
valeurs remarquables, le vecteur vitesse pointe dans un quadrant constant (NE, NO, SO, SE), et il suffit de respecter cette r`egle pour obtenir un trac´e satisfaisant. Exemple.Etude de la courbe param´etr´ee d´efinie parx(t) =-4t2+ 4t,y(t) = 3t3-t.Tableau de variations :
t01/31/21 x"4+4/3+0--4 x0?8/9?1?0 y"-1-0+5/4--8 y0?-2/9?-1/8?2 On place d"abord les points et les tangentes correspondant aux valeurst= 0, 1/3, 1/2 et 1.Puis on compl`ete le dessin.
±2±1012
y ±1±0.8 ±0.6±0.4±0.2 0.20.40.6 0.81x
Exemple.Tracer la courbe d´ecrite parx(t) = sin(2t),y(t) = sin(3t) pourt?R.Comme vu plus haut, on ´etudie la courbe sur l"intervalle [0,π/2] et on compl`ete le trac´e par deux
sym´etries.Tableau de variations :
t0π/6π/4π/2 x"2+1+0--1 x0?⎷3/2?1?0 y"3+0-3⎷2/2-0 y0?1?⎷2/2?-1 On place d"abord les points et les tangentes correspondant aux valeurst= 0,π/6,π/4 etπ/2. Puis on relie ces points par des arcs ayant la bonne orientation, et on compl`ete le dessin par deux sym´etries.±1±0.50.5
1 ±1±0.50.51
L"´etude des variations dex(t) ety(t) r´ev`ele un point singulier ent=π. Les d´eveloppements
limit´es en fonction des=t-π x(t) =12s3+s3?(s), y(t) =-1-12s2+s3?(s)
montrent que le point singulier est un rebroussement de premi`ere esp`ece, avec demi-tangente verticale. x21-1-2y2 1 -1 -2Page 1
-0.92 -0.94 -0.96 -0.98 -1 -1.02 -1.04 -1.06 -1.08 Page 1Vue d"ensemble avec les asymptotes Zoom au point singulierquotesdbs_dbs48.pdfusesText_48[PDF] point d'intérêt gps
[PDF] point d'interrogation
[PDF] point d'interrogation ? l'envers
[PDF] point d'interrogation a la place des smiley
[PDF] point d'interrogation dessin
[PDF] point d'interrogation en anglais
[PDF] point d'interrogation espace
[PDF] point d'interrogation et point d'exclamation
[PDF] point d'interrogation mac
[PDF] point d'interrogation nekfeu
[PDF] point d'interrogation png
[PDF] point d'interrogation poesie
[PDF] point d'interrogation symbole
[PDF] point d'intersection 6eme