[PDF] Devoir Maison - Thalès et sa réciproque 1 - Correction

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Exercice 1 :

Les mesures sont données en cm.

a) Calcul de EG : Dans un premier temps ( voir aide ), nous allons déterminer la mesure du segment [AB].

Dans les triangles AEF et ABC,

· E

Î [AB]

· F

Î [AC]

· Les droites (EF) et (BC) sont parallèles.

donc, d"après le théorème de Thalès, nous avons : EF BC AF AC AE AB== Soit 1,2 6 AF AC 1 AB==

Calcul de AB :

1,2 6 1

AB= soit AB = 5112512

12 60
1,2

6=´´==

Calcul de EG :

Nous avons : AB = AE + EG + GB

donc 5 = 1 + EG + 2,5

5 - 1 - 2,5 = EG

Soit EG = 1,5

EG = 1,5 ( cm )

b) Calcul de DE :

DEVOIR :

THALES ET

SA RECIPROQUE 1

Correction

Dans les triangles GDE et GBC,

G Î [EB]

G Î [DC]

Les droites (DE) et (BC) sont parallèles.

donc, d"après le théorème de Thalès, nous avons : BC DE GC GD GB GE== Soit 6 DE GC GD 2,5 1,5==

Calcul de DE :

6 DE 2,5 1,5= Soit

DE2,561,5=´

DE =

3,61036

25
218
5 18 5 63
0,55

60,53==´´==´=´´´ DE = 3,6 ( cm )

Exercice 2 :

Positions relatives des droites (BC) et

(MN) :

BROUILLONBROUILLONBROUILLONBROUILLON

Comme I est un point de la droite (BC) ( c"est le milieu de [BC] ) , nous pouvons essayer de Comme I est un point de la droite (BC) ( c"est le milieu de [BC] ) , nous pouvons essayer de Comme I est un point de la droite (BC) ( c"est le milieu de [BC] ) , nous pouvons essayer de Comme I est un point de la droite (BC) ( c"est le milieu de [BC] ) , nous pouvons essayer de

démontrer que les droites (IC) et (MN) sont

démontrer que les droites (IC) et (MN) sont démontrer que les droites (IC) et (MN) sont démontrer que les droites (IC) et (MN) sont parallèles.parallèles.parallèles.parallèles.

Pour démontrer que ces deux droites sont parallèles, nous pourrions tenter d"utiliser la réciproque Pour démontrer que ces deux droites sont parallèles, nous pourrions tenter d"utiliser la réciproque Pour démontrer que ces deux droites sont parallèles, nous pourrions tenter d"utiliser la réciproque Pour démontrer que ces deux droites sont parallèles, nous pourrions tenter d"utiliser la réciproque

de Thalès ( le dessin nous invite à penser à cette réciproque )de Thalès ( le dessin nous invite à penser à cette réciproque )de Thalès ( le dessin nous invite à penser à cette réciproque )de Thalès ( le dessin nous invite à penser à cette réciproque )

Pour utiliser cette réciproque, nous devons démontrer l"égalité de deux Pour utiliser cette réciproque, nous devons démontrer l"égalité de deux Pour utiliser cette réciproque, nous devons démontrer l"égalité de deux Pour utiliser cette réciproque, nous devons démontrer l"égalité de deux rapports. rapports. rapports. rapports. Par exemple les Par exemple les Par exemple les Par exemple les

rapports rapports rapports rapports

AMAMAMAM

AIAIAIAI et ANANANAN

ACACACAC . AC est connu ( AC = 8 ) , AN est connu ( AN = AC + CN = 12 ), AM . AC est connu ( AC = 8 ) , AN est connu ( AN = AC + CN = 12 ), AM . AC est connu ( AC = 8 ) , AN est connu ( AN = AC + CN = 12 ), AM . AC est connu ( AC = 8 ) , AN est connu ( AN = AC + CN = 12 ), AM

est connu ( AM = 7,5 ) . Il manque seulement AI.

est connu ( AM = 7,5 ) . Il manque seulement AI.est connu ( AM = 7,5 ) . Il manque seulement AI.est connu ( AM = 7,5 ) . Il manque seulement AI.

Pouvons nous

Pouvons nous Pouvons nous Pouvons nous calculer AI? calculer AI? calculer AI? calculer AI?

I est le milieu de [BC] , d

I est le milieu de [BC] , dI est le milieu de [BC] , dI est le milieu de [BC] , donc (AI) est la médiane issue de A dans le triangle ABC. Or , il onc (AI) est la médiane issue de A dans le triangle ABC. Or , il onc (AI) est la médiane issue de A dans le triangle ABC. Or , il onc (AI) est la médiane issue de A dans le triangle ABC. Or , il existeexisteexisteexiste

un théorème concernant, dans un triangle rectangle ( ABC est rectangle ) un théorème concernant, dans un triangle rectangle ( ABC est rectangle ) un théorème concernant, dans un triangle rectangle ( ABC est rectangle ) un théorème concernant, dans un triangle rectangle ( ABC est rectangle ) lllla médiane relative à a médiane relative à a médiane relative à a médiane relative à

l"hypoténuse . Sa longueur est la moitié de la longueur de l"hypoténuse. l"hypoténuse . Sa longueur est la moitié de la longueur de l"hypoténuse. l"hypoténuse . Sa longueur est la moitié de la longueur de l"hypoténuse. l"hypoténuse . Sa longueur est la moitié de la longueur de l"hypoténuse.

Mais nous ne

Mais nous ne Mais nous ne Mais nous ne connaissons pas la valeur de BC. Avec le théorème de Pythagore, il est facile de la connaissons pas la valeur de BC. Avec le théorème de Pythagore, il est facile de la connaissons pas la valeur de BC. Avec le théorème de Pythagore, il est facile de la connaissons pas la valeur de BC. Avec le théorème de Pythagore, il est facile de la

calculer dans le triangle ABC rectangle en A. Commençons alors la rédaction !calculer dans le triangle ABC rectangle en A. Commençons alors la rédaction !calculer dans le triangle ABC rectangle en A. Commençons alors la rédaction !calculer dans le triangle ABC rectangle en A. Commençons alors la rédaction !

? Calcul de BC :

Dans le triangle ABC rectangle en A,

nous avons, d"après le théorème de Pythagore :

BC² = AB²+ AC²

BC² = 6² + 8² = 36+ 64 = 100

BC =

100 = 10

? Calcul de AI :

Dans un triangle rectangle, la médiane relative à l"hypoténuse a pour longueur la moitié de la longueur

de l"hypoténuse. Dans la triangle ABC rectangle en A, la droite (AI ) passe par le sommet A et par le milieu I de l"hypoténuse [BC] . La longueur de cette médiane est donc égale à la moitié de BC. AI = 52
10 2 BC==

Remarque : Une autre façon, sans y faire mention, d"utiliser ce théorème de la médiane dans un

triangle rectangle est de remarquer que :

ABC est un triangle rectangle en A. Son cercle circonscrit est le cercle de diamètre [BC] ( et donc de

centre le milieu I ). Le segment [AI] est alors un rayon. Donc :

AI = 52

10 2 BC== ? Positions relatives des droites (IC) et (MN) : Les points A, I , M et A , C , N sont alignés dans le même ordre. 3 2 3 25 2 25 75
50
7,5 5 AM

AI=´´===

3 2 3 4 2 4 12 8 48
8 AN

AC=´´==+=

Donc AN AC AM AI=

Donc, d"après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (IC) et (MN) sont parallèles.

Comme les points B, I et C sont alignés, les droites (IC) et (BC) sont confondues. ( BC)et (MN) sont parallèles.

Exercice 6 :

AB MN CB CN CA

CM== donc AB

MN CB 3

3 4,5

4,5==+

CB 3 7,5

4,5= donc ( produit en " croix " ) CB 4,5´= 3 7,5´

Et par suite : CB =

533353

9 5

3 15 5

45
3 75 4,5

3 7,5=´´´=´´´=´=´

? De plus BN = CB - CN = 5 - 3 = 2 PR MN KR KM KP

KN== donc PR

MN 6 15 9 KN==

Donc KN =

22,52
45
32
33 15
6

915==´´´==´=

Les points B, M , C et N, M , A sont alignés dans le même ordre 9 7 MC MB= 9 7 9 5 7 5 45 5
35 5
225
175
22,5
17,5 MA

MN=´´=´´===

Donc MA MN MC MB= Donc, d"après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AC) et (BN) sont parallèles.

Les points figurant au

numérateur ( ou au dénominateur) n"appartiennent pas à un des deux triangles KMN ou KPR.

RM et PN ne sont pas des

côtés des triangles utilisés.

Les points figurant au

numérateur ( par exemple ) n"appartiennent pas à un des deux triangles MBN ou MAC.

Les points figurant au

numérateur n"appartiennent pas à un des deux triangles

KMN ou KPR.

Les points A, O , C et B , O , D sont alignés dans le même ordre

OC = 3 OA donc

3OA OC=

OD = 3 OB donc

3OB OD= Donc OB OD OA OC= Donc, d"après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (CD) et (AB) sont parallèles.

Donc ABCD est un trapèze de bases [AB] et [CD]

Les droites -AB) et (CD) étant parallèles, nous pouvons alors utiliser le théorème de Thalès qui ( avec une rédaction rapide ) nous permet d"écrire : AB CD OB OD OA OC== Soit AB

CD33==

Soit 3 AB = CD , soit AB =

´3 1 CD

Remarque :

La figure ABCD est-elle un parallélogramme ?

Nous pouvons en utilisant une rédaction analogue à celle qui figure ci-dessus ( utilisation non plus de la

réciproque , mais de la contraposée du théorème de Thalès ) démontrer que les droites (BC) et (AD) ne

sont pas parallèles. Il existe un autre moyen ( hors programme du Collège ). Ce type de démonstration s"appelle démonstration par l"absurde

Nous allons supposer que la figure ABCD est un parallélogramme. Le but est de démontrer que cette

supposition conduit à une contradiction, à une absurdité. Si ABCD est un parallélogramme, alors les diagonales [AC] et [BD] ont même milieu. Ce qui est contraire à l"hypothèse ( OC = 3 OA et non OC = OA ). La supposition est donc fausse et par conséquent ABCD n"est pas un parallélogramme

Remarque :

Dans la rédaction de vos démonstrations, n"utilisez jamais le mot SI

ABCD est un parallélogramme

Les diagonales [AC] et [BD]

ont même milieu OUI

NON ABCD n"est pas un

parallélogrammequotesdbs_dbs50.pdfusesText_50

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