[PDF] Décimal / Non décimal 44 La règle des signes du produit 46 La

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Cours de mathématiques

Classe de Quatrième Nombres et opérationsPage 43CHAPITRE 3NOMBRES ET OPERATIONSDécimal / Non décimal44La règle des signes du produit46

La division des relatifs47

Nombres et opérations.48

Addition

des fractions52

Somme de relatifs53

Sommes algébriques54Réduction d'une écriture littérale55

Calculs Fiche n°156Calculs Fiche n°257

Calculs Fiche n°358

Utilisation de la machine59

Équations60

Cours de mathématiques Classe de Quatrième

Fiche d'activité Page 44Nombres et opérationsDECIMAL / NON DECIMALPartie 1 : introductionPoser et effectuer les divisions suivantes jusqu'à ce que le reste soit nul, ou jusqu'à être sûr

qu'elle ne s'arrêteront jamais.

99 : 3643 : 7Il y a donc deux types de quotients :

Écriture finie : nombre décimal

Écriture infinie : nombre non-décimalPartie 2 : Les nombres décimauxIl s'agit de mettre au point une méthode qui permet de prévoir si un quotient (présenté

sous forme de fraction) est décimal.

Par exemple pour la fraction 99

36:

1. Simplification de la fraction : 99

36
=. La fraction obtenue est ........................ Rappelons la règle de transformation des fractions : ......05

2. Transformation de la fraction ...205205205...205205205... en fraction décimale, puis en écriture

décimale :

3. Une fraction décimale est une fraction dont le dénominateur est une puissance de 10,

qui n'est donc obtenu qu'en multipliant des 2 et des 5. Il faut donc qu'au dénominateur de la fraction initiale on ait un nombre qui soit un produit de facteurs égaux à 2 ou à 5. Par exemples : 2 ou 4(car 4 = ...205) ou 5 ou 8 (car 8 = ...205205205205). Rechercher tous les dénominateurs possibles de ce genre inférieurs à 50. Application :Déterminer, parmi les fractions suivantes, celles qui sont des nombres décimaux : 49
2839
75172
6836
91115
46

Cours de mathématiques Classe de Quatrième

Fiche d'activité Nombres et opérationsPage 45Partie 3 : Les nombres non-décimauxÉcriture périodique d'un quotient non-décimalDans le calcul du quotient de 43 par 7, un même nombre réapparaît au reste, qui fait

réapparaître le même chiffre dans l'écriture du quotient. A partir de ce moment, on est sûr

que la division ne s'arrêtera jamais, car la même séquence va se reproduire infiniment.

On dit que l'écriture est périodique; la période est de 6 pour le quotient de 43 par 7. cenombre 6 indique que le même groupe de 6 chiffres peut être répété à l'infini dansl'écriture.

On ne peut donc pas écrire ce nombre, mais on peut savoir quels sont tous ses chiffres.

Par exemple, on est sûr que c'est le chiffre 1 qui occupe la première place après la virgule,

mais aussi la 7°, la 13°, la 19°, ..............................05 Quel est le chiffre qui occupe la 27° place après la virgule ? Quel est le chiffre qui occupe la 1 203° place après la virgule ? Quel est le chiffre qui occupe la 27 000° place après la virgule ?

Valeurs approchées ; encadrements et arrondisPuisque l'on ne peut pas donner une écriture décimale de ces nombres, on ne pourra qu'en

donner des valeurs approchées.

Poser la division de 24 par 13.A chaque pas de la division, écrire l'encadrement le plus simple, placer les deux valeurs

qui encadrent ce quotient sur l'axe, ainsi que le "milieu" de ces deux nombres. Situer le quotient par rapport aux trois nombres placés. Et choisir parmi les deux valeurs qui encadrent celle qui est la pus proche du quotient. (on appelle q le quotient) Exemple : au premier pas :2413Encadrement à l'unité: 1 < q < 2111 Le "milieu" s'appelle en réalité la moyenne : la moyenne de 1 et 2 est 1,5; on la calcule en ajoutant les deux nombres et en divisant par 2 q est plus grand que 1,5 car le reste 11 est plus grand que la moitié de 13.(il revient au même de dire que le double du reste 11 est plus grand que le diviseur 13 ) Conclusion : q est plus proche de 2 que de 1. Donc 2 est l'arrondi de q à l'unité.

Écriture en fraction d'un nombre

écriture

périodique :Appelons a le nombre à écriture infinie , de période 4, dont l'écriture commence par :

342,567567567...

Alors (1 000 ´ a) a une écriture infinie, de période 4, qui commence par : 342 567,567567

En calculant la différence (1 000 ´ a - a) les chiffres après la virgule vont disparaître et

on obtient un nombre entier égal à 342 225. Or (1 000 ´ a - a) est égal à 999 ´ a. D'où l'égalité : 999 ´ a = 342 225. Conclusion : le nombre a est égal au quotient : 342225

999qui est simplifiable par 27 et est

égal à la fraction irréductible : 12675

37

Rechercher de même quel quotient donne :

8,1441 1441 1441...205

22,99261 999261 992611,521q

Cours de mathématiques Classe de Quatrième

Fiche d'activité Page 46Nombres et opérationsLA REGLE DES SIGNES DU PRODUITProduit par (- 1)Rappelons que l'écriture 3 ´ 5 est une écriture simplifiée pour la somme : 5 + 5 + 5.

De la même manière, la somme (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) peut être remplacée par le produit : .....................205....... On peut donc écrire l'égalité : (- 1) ´ ...205 = ......

De la même manière, on peut écrire :

(- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) = (- 1) ´ ...... = ...... (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) + (- 1) = (- 1) ´ ...... = ...... (- 1) ´ 4 = ............25...205... = ...25

D'où la règle suivante :· Le produit d'un nombre a par (- 1) est égal à ...205.........205...25............... .(Œ)

· L'opposé de a peut s'écrire sous la forme du produit : ...205............205....... ()

Produit d'un négatif par un positif.(- 5) ´ (+ 3) =()= (- 1) ´ (+ 5) ´ (+ 3) =(- 1) ´ (+ 15) =(Œ)= (- 15)

(+ 7) ´ (- 2) =()=(- 1) ´ ( ......) =(Œ)= ...25

Conclusion :Le produit de deux nombres de signes contraires ...205.........0520......05...205......25...25(Ž)

Produit de deux négatifs.(- 5) ´ (- 3) =()= (- 1) ´ (+ 5) ´ (- 3) =(Ž)(- 1) ´ (- 15) =(Œ)= (+ 15)

(- 7) ´ (- 2) =()=(Ž)(- 1) ´ ( ...25) =(Œ)= ......

Généralisation

à un produit quelconque :En groupant les facteurs deux par deux, déterminer le signe de chacun de ces produits :

P

1 = (- 5) ´ (+ 9) ´ (- 4) ´ (- 7) ´ (- 3) ´ (+ 2) ´ (+ 11)

P

2 = (- 5) ´ (+ 10) ´ (+ 9) ´ (- 4) ´ (- 3) ´ (- 7) ´ (+ 1)

P

3 = (+ 3) ´ (+ 5) ´ (+ 8) ´ (+ 8) ´ (+ 9) ´ (- 12) ´ (- 37) ´ (- 2)

Conclusion :Le signe d'un produit ...205.........205............05052020......0505...205......20525.........0505......

Cours de mathématiques Classe de Quatrième

Fiche d'activité Nombres et opérationsPage 47LA DIVISION DES RELATIFSNombres relatifs inverses :

Compléter les égalités suivantes :()()()

()3 26
6 15 945
45
17 428
28
1 11 319
1718
2171
5 314
13151

01´==´==´==

´=Définition :

On appelle nombres inverses, deux nombres dont le produit est égal à 1. Remarques :· 0 est le seul nombre .....................205......... · Deux nombres inverses ont ...05..................20520...

Quotient de deux nombres :Définition :

Le quotient q de a par b est le nombre tel que q ´ b = a. On écrit : qa bsiqba=´=,8

24428105

521521105=´==´=,:,:carcar

Division des fractions :Compléter :

5 3 113
25
33
25
33
2 6 5114
96
54
96
54
9 11 3115
411
35
411
35

4´=´=´´=´=

´=´=´´=´=etdoncet

etdoncet etdoncet: Conclusion : A partir de ce qui précède, compléter : 3 2 534
9 655
4

113===

Quels sont les calculs qui ont permis d'obtenir ces quotients?

Cours de mathématiques

Classe de Quatrième Page 48Nombres et opérationsNOMBRES ET OPERATIONS.

1. Différents types de nombres .482. Addition des fractions .483. Somme de nombres relatifs494. Opposé d'une somme ; règle des parenthèses.495. Réduction d'une écriture littérale .496. La multiplication497. La division508. Bilan des propriétés des opérations511. Différents types de nombres .

Un nombre relatif est composé de deux parties :· Un signe qui indique sa relation à 0 (+ pour un nombre plus grand que 0 et - pour unnombre plus petit que 0) .

· Un nombre appelé valeur absolue ( qui représente la distance de ce nombre à 0).Les nombres sans signe sans classés en fonction de ce que l'on peut en écrire :

· On appelle nombre rationnel tout nombre qui peut s'écrire comme le quotient de deuxentiers (Un nombre qui n'est pas rationnel est un nombre irrationnel)

· Parmi les nombres rationnels, certains ont une écriture finie ( on peut en écrire tous leschiffres ) : ce sont des nombres décimaux .· Parmi les décimaux, certains nécessitent l'utilisation d'une virgule.

· Ceux qui s'écrivent sans virgule sont des nombres entiers.Exemples : - 12 est un entier négatif . ¾ est un décimal positif (qui peut s'écrire 0,75 en écriture décimale) Le quotient de 24 par 17 est un rationnel positif non décimal p est un nombre irrationnel .

Remarque importante : Les nombres qui ne sont pas décimaux ne pourront être utilisés quedans leur écriture exacte, ou, si c'est nécessaire, on pourra en donner un arrondi, unevaleur approchée ou un encadrement. Il sera alors nécessaire de le faire savoir en utilisant

le signe adéquat : »

2. Addition des fractions .Voir fiche d'exercices : Addition des fractions

Cours de mathématiques

Classe de Quatrième Nombres et opérationsPage 493. Somme de nombres relatifs

La somme de deux nombres est le nombre obtenu en additionnant deux nombres donnésappelés les termes de la somme . Cette somme peut être ou non effectuée .Exemple : 18 + 13 est la somme non effectuée des deux termes 18 et 13 .31 est la même somme , mais effectuée .

Définition: On appelle nombres opposés deux nombres dont la somme est égale à 0 .Exemples : + 3 et -3 sont opposés car : + 3 - 3 =0-12,687 et +12,687 également.Généralisation : - a désigne l'opposé du nombre représenté par a .Règle de la soustraction : Soustraire un nombre , c'est ajouter son opposé .Exemples :(+ 7) - (+ 5) = (+ 7) + (- 5) = + 2.(- 34) - (- 16) = (- 34) + (+ 16) = - 18Généralisation : a - b = a + (- b)En application de cette règle, on peut donc traiter ensemble ces deux opérations (addition

et soustraction) en une seule à laquelle nous donnons le nom de somme algébrique .Exemples : Voir fiche d'exercices : Somme de relatifs.4. Opposé d'une somme ; règle des parenthèses.

L'opposé d'une somme est égal à la somme des opposés de chacun des termes .

Ce qui se traduit par les écritures suivantes :- ( a + b ) = - a - b et - ( a - b ) = - a + b .On résume parfois cette règle en disant que l'on change tous les signes lorsque l'on

supprime des parenthèses précédées du signe - .

5. Réduction d'une écriture littérale .Exemples :Voir fiche d'exercices : Réduction d'une écriture littérale6. La multiplication

Règle des signes :

Le produit de deux nombres de même signe est positif . Le produit de deux nombres de signes contraires est négatif. Exemples :(- 5) ´ (+ 6) = - 30 ; (- 8 ) ´ ( - 7) = + 56

Cours de mathématiques

Classe de Quatrième Page 50Nombres et opérationsGénéralisation :

Le signe d'un produit dépend du nombre de facteurs négatifs .

S'il est pair , le produit est positif.

S'il est impair , le produit est négatif.

Remarque: Le produit d'un nombre par (-1) est l'opposé de ce nombre .Produit de fractions : (simplifications préalables) .CalculsMéthodes

A=-ae

÷´-ae

÷´7

324
1339

35S'occuper d'abord du signe : 2 signes moins :

produit positifA=´´´´ ´7 338
13313

75Faire apparaître les facteurs présents dans les

différents nombresA=´´´´7 73
313
1383

5En déplaçant les facteurs , faire apparaître des

fractions unité.A=24

5Donner le résultat sous forme irréductible .

7. La division

Définition :

Tout nombre non nul admet un inverse.

Deux nombres sont inverses si leur produit est égal à 1.

Remarques :

1. Un produit ayant un facteur égal à 0 est lui-même nul.

2. Deux nombres inverses sont de même signe .3. Plus un nombre est grand, plus son inverse est petit ( en valeur absolue)

4. 0 est le seul nombre qui n'a pas d'inverse.

Lien entre la division et la multiplication :Si ab=p , alors a=p b et b´= ==´=p a Si a bq alors abq et ba q,. Règle de la division :Diviser par un nombre , c'est multiplier par son inverse .

Exemples:

Cours de mathématiques

Classe de Quatrième Nombres et opérationsPage 515

851
85
76
56

7=´=´= ; 5

7 56

Généralisation

a babad bc=´=´=1 ; a b cda bd c8. Bilan des propriétés des opérations

AdditionMultiplication

écriture

littérale

a + b = sa ´ b = pVocabulairea et b sont les termes de la somme sa et b sont les facteurs du produit p .Commutati

vité a + b = b + aa ´ b = b ´ aAssociativit (a + b) + c = a + (b + c )a ´ (b ´ c) = (a ´ b) ´ célément neutre a + 0 = aa ´ 1 = aéléments

symétriquesDeux opposés ont une somme nulle :a + ( -a ) = 0Deux inverses ont un produit égal à 1:a ´ 1/a = 1Opération

associéeSoustraire un nombre , c'est ajouterson opposé . a - b = a + ( - b)Diviser par un nombre , c'estmultiplier par son inverse a/b = a ´ 1/b

Cours de mathématiques Classe de Quatrième

Fiche d'exercices Page 52Nombres et opérationsADDITION DES FRACTIONSMéthode1. Simplifier les fractions

2. Les mettre au même dénominateur

3. Addition des numérateurs

4. Simplifier le résultat lorsque c'est possible

ExempleCalculer A=+45

16228
96

Commencer par simplifier les fractions :

45
16259
1895
1874
2447
247

24=´

´=+ et 28

96 d'où A=5

18

Mettre les fractions au même dénominateur :

7218424354

18420
7273
24321
72

217241

72=´=´=´

+= donc 5

18 et 7

24
D 'où A = 2072

Recherche du dénominateur communLe dénominateur commun est le plus petit multiple commun aux dénominateurs initiaux

Pour le trouver rapidement (par exemple pour 18 et 24) : On cherche dans les multiples du plus grand le premier qui est aussi multiple de l'autre . Les multiples de 24 :24 n'est pas un multiple de 18

48 n'est pas un multiple de 1872 est un multiple de 18 , donc c'est le nombre cherché .

Exercices : CalculerG

L=- =-77 84176
165
91
41635
336
55
13235
9066
36
56
4821
2852
117
16 6049
63
45
7020
1618
48
115
254
Hquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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