[PDF] Sans titre n u u. + = + . Démontrer





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S Amérique du Sud novembre 2016

La suite (un) est définie par : u0=0 et pour tout entier naturel n un+1= 1. 2?un . 1.a. A l'aide du calcul des premiers termes de la suite (un)



Sans titre

n u u. + = + . Démontrer par récurrence pour tout entier naturel n 1. 2 n u Exercice 7. 1) La suite ( )n u est définie sur N par. 2n n u n.



SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES

pour tout entier n on a : 1 n n u. u r. + = + . Le nombre r est appelé raison 2) La suite (vn) définie par : v n = n2 + 3 est-elle arithmétique ? 1) u.



Suites

Montrer que pour tout entier naturel n on a ?n k=0. 1 ukuk+1. = n+1 Soient (un) et (vn) les suites définies par la donnée de u0 et v0 et les relations ...



S Nouvelle Calédonie mars 2017

(un) est la suite déterminer par u0=0 et pour tout entier naturel n un+1= 1. 2?un . En considérant le tableau les valeurs de un (pour les 11 premières valeurs 



Chapitre 1 Suites réelles et complexes

La suite de Syracuse d'un nombre entier N est définie par récurrence de la mani`ere suivante : u0 = N et pour tout entier n ? 0 : un+1 = { un. 2.



Modèle mathématique.

La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison. ?. La suite des entiers naturels Le nombre de termes de la somme u p up 1 …



Sans titre

et un+ 1= un (2 – un). 1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n



SUITES ARITHMETIQUES ET SUITES GEOMETRIQUES

pour tout entier n on a : 1 n n u. u r. + = + . Le nombre r est appelé 1) La suite (un) définie par : 7 9 n u n. = ? est-elle arithmétique ? 2) La ...



S Amérique du Sud novembre 2018

On considère la suite (un) définie par u0=1 et u1=k et pour tout entier naturel n par : un+2= un+1. 2. k un . On admet que tous les termes de la suite (un) 



LES SUITES (Partie 1) - maths et tiques

On considère la suite (u n) définie par ! *=2 et pour tout entier n! "#$=4! " Cette suite est croissante et admet pour limite +? Voici un algorithme écrit en langage naturel : En appliquant cet algorithme avec A = 100 on obtient en sortie n = 3 A partir du terme u 3 la suite est supérieure à 100

  • Sommaire

    Les bases des suites Représentation graphique Construction graphique Les suites de base Suite ni arithmétique ni géométrique Monotonie Suite majorée, minorée, bornée Les limites Propriété importante sur les limites Théorème sur les limites Théorème des gendarmes Suites adjacentes Principe de récurrence Méthodes de calcul pour l’hérédité Annales de ...

  • 2ème Méthode : on Part d’une Partie de p

    Nous allons prendre l’exemple suivant : Et il faut montrer que pour tout n ? 0 Pour l’initialisation c’est facile, pour n = 0 : Donc P(0) est vraie. Soit n appartenant à N, supposons P(n). Il faut montrer On ne va pas partir de P(n) comme tout à l’heure. Ici, on va partir d’une partie de ce qu’on veut montrer : on va partir du membre de gauche (un+...

Comment calculer la suite d'un ?

On considère la suite (un) définie par u0=0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 3 un-2n + 3. 1. - Nosdevoirs.fr On considère la suite (un) définie par u0=0 et, pour tout entier naturel n, un+1 = 3 un-2n + 3.

Quels sont les termes de la suite ?

Les termes de la suite (u n) sont tels que u = -2 ; u 1 = -3 ; u 2 = 0 ; … ; u 20 = 18 ; u 20 est le terme d’indice 20, c’est le 21 e terme de la suite puisque le premier terme est uo. La suite (v n) définie par v n =? (n-4) n’est définie que pour n ? 4. On la note (v n) n?4.

Quelle est la limite d’une suite ?

La suite (Un )n ? N^* définie par Un=1+1/ (n+2) a pour limite l=1. Dire qu’une suite (Un ) a pour limite +? quand n tend vers +? signifie que tout intervalle ]A ;+? [ , avec A réel , contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang. La suite (Un ) ( n ? N) définie par Un=n² a pour limite +?.

Comment représenter une suite dans un plan ?

Dans un plan, on représente la suite par des points, puisque la suite n’est définie que pour 0, 1, 2, 3… contrairement à une fonction. Pour les suites récurrentes (u n+1 en fonction de u n ), il est possible de construire graphiquement la suite ! Cela est souvent demandé.

7

Chapitre 1- Les suites numériques.

I. Exercices

1. Énoncés

Raisonnement par récurrence

Exercice 1

= 1 + 2 3 + 3 3 +..........+ n 3 21
2nn

Exercice 2

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, le nombre 2 2n 1 est divisible par 3.

Exercice 3

Soit (u

n ) la suite numérique définie par : 0 1 0 21
nn u uu Montrer par récurrence, que pour tout entier naturel n, u n = 2 n 1.

Exercice 4

Démontrer par récurrence pour tout entier naturel n 1, 2 21
n n.

Exercice 5

On considère la suite (u

n) d'entiers naturels définie par: u0 = 1 et 1 1 nn uu Démontrer par récurrence pour tout entier naturel n, 12n u.

Sens de variation d'une suite

Exercice 6

On considère la suite (u

n) d'entiers naturels définie par: u0 = 1 3 et un+ 1= un (2 - un)

1) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, 0 u

n 1.

2) En déduire le sens de variation de la suite u.

Exercice 7

1) La suite ()

n u est définie sur N par 2 n n un.

Déterminer le sens de variation de la suite u.

3 1kn k k 8

2) Étudier de même la monotonie de la suite ()

n u définie sur N* par n u 2 n n

Suites arithmétiques et géométriques

Exercice 8

Soit n uune suite arithmétique de premier terme 0

3u telle que

0 156
2 n k k nnu . Déterminer la raison de la suite () n u.

Exercice 9

Soit (u

n) la suite définie sur N par : 0 1 1 167
nn u uu

Soit (v

n) la suite définie sur N par : 7 nn vu.

1) Démontrer que la suite (v

n) est une suite géométrique dont on déterminera le premier terme et la raison.

2) En déduire l'expression de

n uen fonction de n

3) Déterminer la limite de la suite (u

n).

Limites d'une suite

Exercice 10

Étudier les limites des suites données ci-dessous a) u n = n² 2n + 3 b) u n = n²-3 c) u n = d) u n = e) u n = f) u n = g) u n = h) 2 3 nn u i) 1 3 2 n n n u 4j)3 n n u

Exercice 11

On considère la suite (u

n) définie sur N par: 2 3cos2 21
n nun

1) Montrer que, pour tout entier n, on a :

23
21 21
n unn.

2) En déduire la limite de la suite (u

n).

Exercice 12

On considère la suite (u

n) définie sur N par: 2 3 n un n n . 1n 1 2n n 3n n

²5 1

21nn
n 36

²3 5n

nn 3 3 2 5n n 9

1) Vérifier que, pour tout entier n, un 2n.

2) En déduire la limite de la suite (u

n).

Exercice 13

Soit f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +[ par :

5() 61fxx

1.a) Étudier le sens de variation de la fonction f sur l'intervalle [0 ; +[.

b) Résoudre dans l'intervalle [0 ; +[[ l'équation f (x) = x.

On note Į la solution.

c) Montrer que si x appartient à l'intervalle [0 ; Į], alors f (x) appartient à l'intervalle [0 ; Į].

2) On considère la suite (u

n) définie par u0 = 0 et pour tout n : un+1 = f (un). a) Démontrer, par récurrence, que, pour tout entier naturel n, 0 u n un+1 Į. b) En déduire que la suite (u n) est convergente et déterminer sa limite.

Exercice 14***

Soit deux suites u et v telles que :

,0 1 ,0 1 lim 1 n n nn n nN u nN v uv Démontrer que les suites u et v sont convergentes et que lim lim 1 nnnn uv

Exercice 15***: sommes télescopiques

Partie A : étude d'un exemple.

On considère la suite définie sur N* par :

n unn

1) Vérifier que, pour tout entier n non nul,

1! ! n un n

2) On note

n

S la somme

1kn nk k Su . Montrer que, pour tout entier n non nul, 1! 1 n Sn.

Partie B : somme télescopique.

Soit (a

n)nN une suite de nombres. On appelle somme télescopique associée à la suite (a n) la somme 1 0 in ii i aa

1.a) Calculer, pour tout entier n, la somme

1 0 in ii i aa b) Soit p un entier naturel fixé, calculer, pour tout entier n, tel que: np, 1in ii ip aa

Exercice 16***: suites adjacentes

Partie A : Définition de deux suites adjacentes.

Deux suites

n u et n vsont adjacentes si elles vérifient les 3 conditions suivantes : (1) la suite n u est croissante 10 (2) la suite n v est décroissante (3) lim 0 nnn uv

1) Démontrer que si les suites

n u et n v sont adjacentes, alors pour tout entier n, on a : nn uv.

2) En déduire que deux suites adjacentes sont convergentes et qu'elles convergent

vers la même limite.

Partie B :

On définit deux suites a et b par a

0 = 2, b0 = 4 et pour tout entier naturel n :

1 1 134
134
nnn nnn aab bab

1) On appelle c la suite définie pour tout entier naturel n par : c

n = bn an. a) Montrer que c est une suite géométrique dont on précisera la raison. b) Déterminer la limite de la suite c.

2.a) Montrer que la suite a est croissante.

b) Montrer que la suite b est décroissante.

3) Montrer que les suites a et b convergent et qu'elles ont alors même limite que

l'on appellera l .

4) On appelle t la suite définie pour tout entier naturel n par : t

n = an + bn. a) Montrer que t est une suite constante. Déterminer cette constante. b) Déterminer alors la valeur de l.

5) Déterminer, pour tout entier naturel n,

n a et n b en fonction de n.

2. Corrigés des exercices 1 à 16

Exercice 1

Initialisation: pour n=1,

2133
1 12112
k k k

P(1) vraie.

Hérédité: supposons qu'il existe un rang n tel que P(n) vraie.

Pour tout entier n,

221333 3 2

11 (1)(1) 1 (1) (1)22 kn kn kk nn nkkn n n n 2 2

12²4n4(1)22nn

nn On a ainsi montré que: pour tout entier naturel non nul n, P(n) vraie (P(n+1) vraie.

Conclusion: pour tout entier non nul n,

3 1kn k k 2 (1) 2nn

Exercice 2

Initialisation: pour n = 0, 2

2n

1 = 0 donc il est divisible par 3. P(0) vraie.

Hérédité: supposons qu'il existe un rang n tel que 2 2n

1 soit divisible par 3.

Il existe donc un entier relatif k tel

que 2 2n

1 = 3k.

11

Pour tout entier n :

2

2(n+1)

1 = 2 2n

4 1 = 2

2n (3 + 1) 1 = 2 2n 3 +2 2n 1 = 2 2n

3 + 3k = 3(2

2n + k).

Donc 2

2(n+1)

1 est divisible par 3.

On a ainsi montré que: pour tout entier naturel n, P(n) vraie (P(n+1) vraie. Conclusion : pour tout entier naturel n, le nombre 2 2n

1 est divisible par 3.

Exercice 3

Initialisation: pour n = 0, 2

n

1 = 0 = u0 P(0) vraie.

Hérédité: supposons qu'il existe un rang n tel que un = 2 n 1.

Pour tout entier n :

1 1

21221121

nn nn uu On a ainsi montré que: pour tout entier naturel n, P(n) vraie (P(n+1) vraie.

Conclusion : pour tout entier naturel n, u

n = 2 n 1.

Exercice 4

Initialisation : n =3

3 32
2

211021339

donc P(3) est vraie. Hérédité : supposons qu'il existe un rang n 3 tel quequotesdbs_dbs26.pdfusesText_32
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