[PDF] Densité de D complétude de R et analyse réelle - Première approche

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Bb KmHiB@/Bb+BTHBM`v QT2M ++2bb

`+?Bp2 7Q` i?2 /2TQbBi M/ /Bbb2KBMiBQM Q7 b+B@

2MiB}+ `2b2`+? /Q+mK2Mib- r?2i?2` i?2v `2 Tm#@

HBb?2/ Q` MQiX h?2 /Q+mK2Mib Kv +QK2 7`QK

i2+?BM; M/ `2b2`+? BMbiBimiBQMb BM 6`M+2 Q` #`Q/- Q` 7`QK Tm#HB+ Q` T`Bpi2 `2b2`+? +2Mi2`bX /2biBMû2 m /ûT¬i 2i ¨ H /BzmbBQM /2 /Q+mK2Mib b+B2MiB}[m2b /2 MBp2m `2+?2`+?2- Tm#HBûb Qm MQM-

Tm#HB+b Qm T`BpûbX

.2MbBiû /2 .- +QKTHûim/2 /2 _ 2i MHvb2 `û2HH2 @

S`2KB`2 TT`Q+?2

Gm`2Mi oBpB2`- oBpBM2 .m`M/@:m2``B2`

hQ +Bi2 i?Bb p2`bBQM,

Gm`2Mi oBpB2`- oBpBM2 .m`M/@:m2``B2`X .2MbBiû /2 .- +QKTHûim/2 /2 _ 2i MHvb2 `û2HH2 @ S`2KB`2

TT`Q+?2X 6B`bi +QM72`2M+2 Q7 AMi2`MiBQMH L2irQ`F 7Q` .B/+iB+ _2b2`+? BM lMBp2`bBiv Ji?2KiB+b-

J` kyRe- JQMiT2HHB2`- 6`M+2X ?H@yRjjd33d

Densité de D,

Viviane Durand1

1Université de Montpellier, Institut

à étudier la question des interrelations entre la conceptualisation des nombres rée données analysées des R limites N R continuité, co

INTRODUCTION

recherch D Q réelle enseign ur déjà émise par Bloch int es réels nombreuses années, ne propose pl accentué sont extrêmement fragiles (Vivier, 201 es nombres ré principaux concepts 1 réelle. , à la densité de D R

Dans cette

D part parce que dans le curri enseignement explicite problématique, les représentations graphiques non discrètes renvoyant directement à crayon (Longo, ion définie sur D. n ={N/10n NN}, n,D 1 ) on), épistémologique circonscrite que nous avons conduite (Durand

Nous présentons ici

la densité de D R différents ensembles de nombres, N, D, R, aux connaissances mobilisées par en jeu D, Théorème des Valeurs Intermédiaires (TVI) D, aspects apparaissent dans les réponses des é

Analyse a priori rapide des questions

LaN D Q1 En justifiant rapidement votre réponse, donnez, si possible, un intervalle qui a. exactement 1 élément de N. b. N. exactement 1 élément de D. d. D.

R. Une justification est

parle sN,D Q. D éléments de D, rendant impossible de produire un intervalle de D n. Pas aet b (nous ne c, seul un singleton est correct comme {2}, d} ou encore [2,2] et [2,5

D. Néanmoins, cette nécessité

s réponses erronées telles que n t une infinité de d, la réponse correcte est " c: [0,2 c). Un dessin peut être fait pour illustrer ou justifier. La densité dans le registre des représentations graphiques

Q5 On donne ci

f f(x)=2 admet une solution dans Nb. dans Qd

Pour chacune des questions il fallait

Dans cette question, nous cherchons à tester la compréhension de la densit plus haut R f(x)=2 admet une unique solution, dont on peut problème et donnera lieu à des a. Deux réponses correctes possibles N

1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0

x y 5 -2 -1 1 2 3 4 6 b. La réponse correcte ONPPS peut être justifiée par la valeur approchée donnée par f(x) c comme c. traitement entre décimal (écriture décimale) et fraction (écriture fractionnaire). d. Seule la réponse Vrai est atten

Réponses des étudiants

Pour les items a et b , effectivement, aucun

b d, pour les intervalles c d D R D c d, soit qui répondent dans D0 D1 c d, de manière cohérente. On trouve aussi des c d) ainsi que des réponses avec des c d). D D1 (la solution est égale à 1,2 ou 1,3). Il est à noter que D e équation.

DÉPASSER LA VISUALIS

Une des spécificités de la visualisation en analyse est que ce processus doit être sur les signes donnés par un instrument en jeu sont selon les propriétés de la fonction.

Analyse a priori rapide des

Q2 a b. Le tableur a une

a b, à savoir a b? Entourez la ou les bonnes réponses les sept réponses proposées étaient données à la suite). a=b: deux nombres égaux jusque la douzième dé différents, le tableur aurait donné des résultats différentspresque égaux machine ab: deux lettres différentes, donc ils s a>b aOn suppose que f , strictement

On suppose que f

En a et b

(f a f y=x ni x=1), pour faire gagner du temps à a, la sérieuse la table de valeurs, sauf peut x f(x)

0,00 0,71

0,05 0,63

0,10 0,45

0,15 0,30

0,20 0,27

0,25 0,25

0,30 0,22

0,35 0,18

0,40 0,14

0,45 0,19

0,50 0,22

0,55 0,27

0,60 0,45

0,65 0,49

0,70 0,54

0,75 0,55

0,80 0,56

0,85 0,66

0,90 0,91

0,95 0,99

1,00 0,92

y=x 2 a, chacune d b, les réponses correctes sont Faux e la réponse " cas a et b, part du (s en acte. a b continuité

Réponses des étudiants

Tous les étudiants répondent à Q2, mais seulement 22 répond . Il ne semble pas y avoir de lien avec Q1 qui donnée, sans autre réponse, par 4 étudiants visualisation directe. Mais on relève également autre réponse ème a b) sées2, a b, point fixe

CONCLUSION

Dans cette communication, nous nous proposons de rendre compte des conceptualisation des nombres réels et apprentissage de principaux concept

é nos premières analyses sur la

D premiers un ti

D perçueD -

n discret et nsemble dans lui des entretiens et des observations i point fixe fonction croissante

R D des

Q pas vérifié . Nous faisons didactique. Ceci est argumenté dans un texte soumis pour un numéro spécial de la 2 2

REFERENCES

real numbers. International Journal of Mathemati , 41(227.

Perspectives ,

Unive Etude didactique des nombres réels, idécimal , Thèse, Université J. Fourier, Grenoble.

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Des mathématiques à la

, Faculté des

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Natur , E

Repères IREM

fonctions, Annales de Didactique et de Sciences Cognitives, 16, 149

Petit,

Sur la route des réels. Point de vue sémiotique, praxéologique, les Recherchesquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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