[PDF] Fonctions spéciales et polynˆomes orthogonaux arXiv:2011.06410

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R ´epublique Alg´erienne D´emocratique et Populaire

Minist

`ere de l"Enseignement Sup´erieur et de la Recherche Scientifique

Universit

´e Mustapha Stambouli de Mascara

Facult

´e des sciences exactes

Polycopi

´e de Cours

Fonctions sp

´eciales et polynˆomesorthogonaux

Pr

´esent´e par

Benaoumeur Bakhti

Cours destin

´e aux´etudiants de la troisi`eme ann´ee licence physique Algerie 2020arXiv:2011.06410v2 [math.HO] 4 Mar 2021

A mes parents, Meriem et Abdelkader.

Table des Mati

`eres

Liste des figures v

Avant-propos vi

1 Les fonctions eul

´eriennes gamma et bˆeta 1

1.1 Fonction gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 D

´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 Relation de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.3 D"autre repr

´esentations de la fonction gamma . . . . . . . 3

1.1.4 Relation de gamma avec fonctions trigonom

´etriques . . . 4

1.1.5 Formule de Weierstrass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.1.6 Formule de compl

´ement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.7 Formule de duplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.8 Formule de Stirling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.1.9 Fonction gamma incompl

`ete . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.1.10 D

´eriv´ee logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2 Fonction b

ˆeta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.1 D

´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.2 Relation entre les fonctions gamma et b

ˆeta . . . . . . . . 14

1.2.3 Propri

´et´es de la fonction bˆeta . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2 Les fonctions de Bessel 22

2.1 D ´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.1.1 Fonction de Bessel de deuxi

`eme esp`ece . . . . . . . . . . 24

2.1.2 Propri

´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.1.3 Fonction g

´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.1.4 Repr

´esentations int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

2.1.5 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.2 Fonctions de Hankel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

2.3 Fonctions de Bessel modifi

´ees . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3.1 Propri

´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

2.3.2 Repr

´esentations int´egrales . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 iii

2.3.3 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4 Fonctions de Bessel sph

´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5 Fonctions de Hankel sph

´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.5.1 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2.6 Comportement asymptotique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

2.7 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3 Fonction erreur et int

´grales de Fresnel 49

3.1 Fonction erreur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.1.1 Propri

´et´es de la fonction erreur . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.1.2 Repr

´esentation en s´erie de la fonction erreur . . . . . . . . 50

3.2 Int

´egrales de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.2.1 Properi

´et´es des fonctions de Fresnel . . . . . . . . . . . . 52

3.2.2 Repr

´esentaions en s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

4 Exponentielle int

´egrale, sinus int´egral et cosinus int´egral 56

4.1 Exponentielle int

´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.1.1 Propri

´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

4.2 Logarithme int

´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3 Sinus int

´egral et cosinus int´egral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.1 Propri

´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.3.2 Repr

´esentations en s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

5 Les polyn

ˆomes orthogonaux 66

5.1 Polyn

ˆomes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.1 Fonction g

´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.1.2 Formule de Rodrigues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.1.3 Repr

´esentation int´egrale de Laplace . . . . . . . . . . . . 73

5.1.4 Propri

´et´es des polynˆomes de Legendre . . . . . . . . . . . 74

5.1.5 Relation d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.1.6 S

´eries de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.1.7 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.2 Polyn

ˆome associ´e de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.2.1 Relation d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.3 Harmoniques sph

´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.3.1 Relation d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

5.3.2 Properi

´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.4 Polyn

ˆomes d"Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

5.4.1 Fonction g

´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5.4.2 Relation d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.4.3 Relations de r

´ecurrece . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

5.5 Polyn

ˆome de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

TABLE DES MATI

`ERESiv5.5.1 Fonction g ´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

5.5.2 Relation d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.5.3 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

5.6 Poly

ˆnome de Laguerre associ´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

5.6.1 Fonction g

´en´eratrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

5.6.2 Relation d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

5.6.3 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

5.7 Polyn

ˆome de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

5.7.1 Repr

´esentations en s´eries . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

5.7.2 Fonctions g

´en´eratrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

5.7.3 Relations d"orthogonalit

´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

5.7.4 Relations de r

´ecurrence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

5.8 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

6 Les fonctions hyperg

´eom´etriques 118

6.1 Fonction hyperg

´eometrique de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . 118 6.1.1 ´Equation hyperg´eom´etrique de Gauss . . . . . . . . . . . 119

6.1.2 Relation avec d"autres fonctions sp

´eciales . . . . . . . . . 119

6.1.3 Repr

´esentation int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.2 Fonction hyperg

´eom´etrique confluente . . . . . . . . . . . . . . . 122

6.2.1 Relation avec d"autres fonctions sp

´eciales . . . . . . . . . 123

6.2.2 Repr

´esentation int´egrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.3 Fonctions hyperg

´eom´etriques g´en´eralis´ees . . . . . . . . . . . . . 123

6.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

Liste des figures

1.1 Trac

´e de la fonction gamma le long de l"axe des r´eels. . . . . . . . 3

1.2 Le plantu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1 Trac

´e de la fonction de BesselJn(x) pourn=0;1;2;3;4. . . . . . 25

2.2 Trac

´e de la fonction de Bessel de deuxi`eme esp`eceYn(x) pourn=

0;1;2;3;4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.3 Trac

´e du module des fonctions de HankelH(1)n(z) dans le plan com- plexe pourn=0 (gauche) andn=1 (droite). . . . . . . . . . . . 34

2.4 Trac

´e du module des fonctions de HankelH(2)n(z) dans le plan com- plexe pourn=0 (gauche) andn=1 (droite). . . . . . . . . . . . 34

2.5 Trac

´es des fonctions de Bessel modifi´eesInpourn=0;1;2;3;4. . 35

2.6 Trac

´es des fonctions de Bessel modifi´eesKnpourn=0;1;2;3;4. . 36

2.7 Trac

´es des fonctions de Bessel sph´eriques de premi`eme esp`ece j n(x) pourn=0;1;2;3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.8 Trac

´es des fonctions de Bessel sph´eriques de deuxi`eme esp`ece y n(x) pourn=0;1;2;3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1 Fonction erreur et fonction erreur compl

´ementaire. . . . . . . . . 50

3.2 Fonctions de FresnelC(x) etS(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

4.1 Exponentielle int

´egrale Ei(x) etE1(x). . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.2 Sinus int

´egral Si(x) et cosinus int´egralCi(x). . . . . . . . . . . . . 59

5.1 Polyn

ˆomes de Legendre pourn=0;1;2;3;4. . . . . . . . . . . . 71

5.2 Polyn

ˆomes associ´es de LegendrePml(x) pourl=5 et 05.3 Harmoniques sph

´eriquesYml(;) pourl=0;1;2 et 0ml. . . 90

5.4 Polyn

ˆomes d"Hermite pourn=0;1;2;3;4. . . . . . . . . . . . . 93

5.5 Polyn

ˆomes de Laguerre pourn=0;1;2;3;4. . . . . . . . . . . . . 98

5.6 Polyn

ˆomes de Chebyshev de premi`ere esp`ece pourn=0;1;2;3;4. 108

5.7 Polyn

ˆomes de Chebyshev de deuxi`eme esp`ece pourn=0;1;2;3;4. 109

Avant-propos

Cet ouvrage est consacr

´e`a l"´etude des fonctions sp´eciales les plus utilis´ees en physique. Les fonctions sp ´eciales est une branche tr`es vaste de math´ematiques, de la physique th ´eorique et de la physique math´ematique. Elles sont apparues au xix emesi`ecle comme solutions d"´equations de la physique math´ematique, partic- uli `erement les´equations aux d´eriv´ees partielles d"ordre deux et quatre. Leur con- naisanceestindispensable actuels de la physique. Elles sont ´egalement li´ees`a l"art du calcul scientifique de la physique et des math ´ematiques. Les fonctions sp´eciales sont incluses dans de nombreux logiciels de calcul formel tels que le Matlab, le Mathematica et le Maple et les ´etudiants sont fortement encourag´es de prendre part`a ce d´eveloppement qui est devenu indispensable pour le traitement presque de tous les probl `emes actuels de la physique. Conforme aux programmes LMD (Licence-Master-Doctorat), l"ouvrage con- tient six chapitres.

Dans le premier chapitre, nous d

´ecrivons les fonctions gamma et bˆeta qui sont importantes pour leur propre int ´erˆet math´ematique et aussi parce que toutes les autres fonctions sp ´eciales d´ependent essentiellement de ces deux fonctions. Ces deux fonctions ont de nombreuses applications. En physique et en particulier en th ´eorie des cordes, la fonction bˆeta (et la fonction gamma associ´ee) est utilis´ee pour calculer et reproduire l"amplitude de diusion en fonction des trajectoires de

Regge dans le "mod

`ele`a double r´esonance". En th´eorie des probabilit´es, elles sont utilis ´ees dans le processus d"attachement pr´ef´erentiel ou en g´en´eral dans le processus stochastique d"urne. Le chapitre deux traite les fonctions de Bessel et leurs propri

´et´es principales.

Les fonctions de Bessel ont

´et´e introduites et´etudi´ees d"abord par Euler, Lagrange et Bernoulli. Mais elles ont ´et´e utilis´es pour la permi`ere fois par Friedrich Wil- helm Bessel pour expliquer le mouvement de trois corps, o `u la fonction de Bessel a ´emerg´ee dans le d´eveloppement en s´erie de la perturbation plan´etaire. Les fonc- tions de Bessel sont extr ˆemement utiles en physique et en ing´enierie. Elles se sont av

´er´esˆetre la solution de l"´equation de Schr¨odinger dans une situation de sym´etrie

cylindrique. L" ´equation di´erentielle de Bessel d´ecoule de la d´etermination de solutions s ´eparables de l"´equation de Laplace et de l"´equation de Helmholtz en co- ordonn ´ees sph´eriques et cylindriques. Les fonctions de Bessel sont´egalement tr`es importantes pour de nombreux probl `emes de propagation des ondes, de potentiels vii statiques et dans la th ´eorie de la diusion en m´ecanique quantique. En ing´enierie, elles sont utiles dans de nombreux probl `emes tels que la conduction thermique, les ondes ´electromagn´etiques dans un guide d"onde, le traitement du signal, les modes de vibration d"une membrane artificielle et dans l"acoustique. Nous allons pr ´esenter dans ce chapitre toutes les variantes des fonctions de Bessel qui sont les fonctions de Bessel de premi `ere esp`ece et de deuxi`eme esp`ece (appell´ee aussi fonctions de Neumann), les fonctions de Bessel modifi

´ees, les fonction de Bessel

sph ´eriques ainsi que les fonctions de Hankel et les fonctions de Hankel sph´eriques.

Nous donnerons des solutions d

´etaill´ees des´equations de Bessel en utilisant la m ´ethode de Frobenius ainsi que les d´emonstrations de toutes leurs propri´et´es prin- cipales.

Les chapitres trois et quatre sont consacr

´es`a d"autres fonctions d´efinies par

des int ´egrales qui sont: la fonction erreur, int´egrales de Fresnel, exponentielle int ´egrale, sinus int´egrale, cosinus int´egrale et logarithme int´egrale. Ses fonctions sont beaucoup utilis ´ees en physique, par exemple dans le domaine de l"optique et de l" ´el´ecrtomagnetisme et dans le domaine des probabilit´es et statistiques.

Le chapitre cinq est consacr

´e`a l"´etude des polynˆomes orthogonaux. Nous etudionsnotammentlespolynˆomesdeLegendre, d"harmoniquessph´eriques, d"Her- mite, deLaguerreetdeChebyshev. Cespolyn

ˆomessontdessolutionsdes´equations

di´erentielles ordinaires d"ordre deux. Ces´equations surviennent tr`es souvent lorsqu"un probl `eme poss`ede une sym´etrie sph´erique. De tels probl`emes peuvent survenir, par exemple, en m ´ecanique quantique, en th´eorie de l"´electromagn´etisme, en hydrodynamique et en conduction thermique. En ing

´enierie, les polynˆomes or-

thogonaux apparaissent dans de nombreuses applications, telles que la th

´eorie des

lignes de transmission, la th ´eorie des circuits´electriques, la physique des r´eacteurs nucl

´eaires et en sismologie.

Dansledernierchapitre, noustraitonsend

Ces dernieres ont

´et´e introduites par Gauss comme une g´en´eralisation de la s´erie g ´eom´etrique. Nous traitons surtout les fonctions hyperg´eom´etriques les plus im- portantes qui sont les fonction hyperg

´eom´etrique de Gauss et les fonctions hy-

perg ´eom´etriquesconfluentes(appell´eesaussifonctionsdeKummer). L"importance de ces fonctions est que toutes les fonctions pr

´esent´ees pr´ec´edemment (Bessel,

polyn ˆomes orthogonaux,:::) peuventˆetre exprim´ees en termes de fonctions hy- pergom ´etriques. Les fonctions hypergom´etriques ont´et´e utilis´ees dans une large gammedeprobl `emesenphysiqueclassiqueetquantique, ening´enierieetenmath´e- matiques appliqu ´ees. En physique, elles sont tr`es utiles dans les probl`emes de forcescentrales, parexempledansl" harmonique en m ´ecanique quantique. Leur int´erˆet pour les math´ematiques r´eside dans le fait que de nombreuses ´equations (bien connues) aux d´eriv´ees partielles peuvent ˆetre r´eduites`a l"´equation hyperg´eom´etrique de Gauss par s´eparation des variables.

Cet ouvrage s"adresse principalement aux

´etudiants de la troisi`eme ann´ee li-

cence Sciences de la Mati `ere (SM). Mais il sera utile`a un cercle de lecteurs tr`es etendue:´etudiants en math´ematiques et en sciences techniques. Il est conc¸u de

Avant-proposviiifac¸on

`a aplanir au mieux les dicult´es inh´erentes au discours scientifiques tout en conservant la rigueur n ´ecessaire. Cet ouvrage pr´esente l"ensemble des notions de bases abord ´ees au cours "M´ethodes Mathematiques" durant la troisi´eme ann´ee de

Licence SM. Aussi, des exercices corrig

´es sont propos´es`a la fin de chaque chapitre permettant `a l"´etudiant de tester ses connaissances et de se pr´eparer aux tests de controle et aux examens. Il est est le fruit de quelques ann

´ees d"enseignement

du cours "M ´ethodes Math´ematiques pour la Physique" dispens´e au d´epartement de Physique, facult ´e des sciences exactes de l"Universit´e Mustapha Stambouli de

Mascara.

Enfin, je tiens

`a remercier vivement mes amis Mohammed Elamine Sebih (Uni- versit ´e Mustapha Stambouli de Mascara) et Mohamed Reda Chellali (Karlsruhe Institute of Technology) ansi que les examinateurs Prof. Boucif Abdesselam (Cen- tre universitaire Ain Temouchent), Dr. Gherici Beldjilali et Dr. Abdelkader Seg- res (Universit ´e Mustapha Stambouli de Mascara) qui ont contribu´es au perfection- nement de cet ouvrage par la lecture attentive du manuscrit et par leurs commen- taires et propositions.

Mascara, 2020B.Bakhti

Chapitre 1

Les fonctions eul

´eriennes gamma

et b

ˆeta

1.1 Fonction gamma

1.1.1 D

´efinition

La fonction gamma (not

´e) a´et´e introduite par Euler en 1729, elle est d´efinie par l"int

´egrale

(x)=Z 1 0 ettx1dt;x>0 (1.1) o `uxpeutˆetre r´eel ou complexe avecRe(x)>0. L"int´egrale (1.1) appel´e aussi l"int ´egrale d"Euler de premi`ere esp`ece n"´existe que sixest strictement positif. Pour montrer cela, divisons l"intervalle d"int

´gration en deux parties: de 0`a <<1 et de

`a l"infini. On obtient (x)=Z 0 ettx1dt+Z 1 ettx1dt txx 0+Z 1 ettx1dt Dans le premier terme de droite, nous avons utilis

´e le fait queettx1'tx1pour

t<<1. On remarque que le termetx=xn"est fini que sixest strictement positif, sinon l"intquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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