[PDF] [PDF] Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011

View - Download [PDF] Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011

Previous PDF

Next PDF

Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011 1

Exercice 1

Calculer f"(x) en précisant pour quelles valeurs le calcul est valable. 1) f(x) = 2 - x²

2 + x²

2) f(x) = 1 x²sin x. 3) f(x) = x - 4 4) f(x) = cos((( )))2x + p 3

Exercice 2

: Déterminer une fonction polynôme f est une fonction polynôme du second degré, C sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i ; j ). Le point A de coordonnées (1;6) est un point de C, la tangente T à C au point d"abscisse 2 est parallèle à la droite d"équation y = 10x - 5 et f(2) = 13.

Objectif

: Déterminer, si elle existe, la fonction f. 1) Un polynôme est entièrement déterminé par la donnée de ses coefficients. On pense donc à écrire f(x) = ax² + bx + c, avec a, b, c réels (a

¹ 0).

Savoir si f existe revient à savoir si on peut trouver trois nombres a, b, c qui répondent aux exigences de l"énoncé. a) Pourquoi les données permettent-elles de calculer f(1) et f"(2) ?

Préciser ces valeurs.

b) Prouver que le problème posé est équivalent à : existe-t-il des nombres a, b, c, a

¹ 0, tels que :

Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011 2 ????4a + b = 10 a + b + c = 6

4a + 2b + c = 13 ?

2) Vous n"avez pas l"habitude de résoudre un tel système ... Mais la première équation ne contient que deux des trois inconnues. Elle permet alors, par exemple, d"exprimer b en fonction de a. a) Vérifier alors que le système est équivalent à : ????b = 10 - 4a -3a + c = -4 -4a + c = -7 b)

Calculer alors a et c, puis en déduire b.

c)

Conclure.

Exercice 3

: Tangentes à une courbe passant par un point

Dans un repère (O;

i ; j ), C est la courbe représentative de la fonction f : x → x² 2 -2x + 3 et A le point de coordonnées (1;-1).

Objectif

: Déterminer, si elles existent, les tangentes à C passant par A. 1) L"utilisation d"un graphique peut permettre de mieux saisir la situation. a) A l"aide d"un traceur de courbe ou de la calculatrice, commencer par tracer C puis placer A. b) Le point A est-il sur C ? Conjecturer le nombre de tangentes à C passant par A. 2) Il s"agit en fait de trouver le (ou les) point(s) N de C en lesquels la tangente à C passe par A. Pour connaître un point de C, il suffit de Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011 3 connaître son abscisse. On choisit donc comme inconnue l"abscisse n de N. a) Trouver en fonction de n une équation de la tangente Tn en N à C. b) Démontrer que "Tn passe par A" équivaut à "n² - 2n - 4 = 0". c) Résoudre cette équation. Combien trouvez-vous de tangentes Tn ? Concluer en plaçant les points trouvés et en traçant les tangentes. Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011

CORRECTION

4

Exercice b + c = 1

1) f est du type u

v avec u(x) = 2 - x² et v(x) = 2 + x² )))u v " = u"v - uv" v²

Or u"(x) = -2x et v"(x) = 2x

Donc f"(x) =

-2x

´(2 + x²) - (2 - x²)´2x

(2 + x²)² = -2x (2 + x² + 2 - x²) (2 + x²)² = -8x (2 + x²)² f" est définie comme f sur ?. 2) f = uv avec u(x) = 1 x² et v(x) = sin(x) f" = u"v + uv"

Or u"(x) = -

2 x

3 et v"(x) = cos(x)

Donc f"(x) = -

2 x

3 sin(x) + 1

x²cos(x) f" est définie comme f sur ? 3) f(x) = u(3x - 4) avec u(x) = x

Donc f"(x) =

3 2

3x - 4

f est définie sur 4

3 , +¥ et f" sur ???

???4

3 , +¥ .

4) f(x) = u((( )))2x + p

3 avec u(x) = cos(x)

Donc f"(x) = -2 sin

)))2x + p 3 f et f" sont définies sur ?. Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011

CORRECTION

5

Exercice 2

1) a) Si A(1;6) Î C alors f(1) = 6

La tangente T à C au point d"abscisse 2 étant parallèle à la droite d"équation y = 10x - 2, ces deux droites ont le même coefficient directeur

10 et f"(2) = 10.

b)

Si f(x) = ax² + bx + c alors f"(x) = 2ax + b

????f"(2) = 10f(1)=6f(2)=13  ?????4a + b = 10 a + b + c = 6

4a + 2b + c = 13

2) a) En substituant b = 10 - 4a dans les deux dernières équations on obtient le système équivalent suivant : ?????b = 10 - 4a a + 10 - 4a + c = 6

4a + 20 - 8a + c = 13 ?

?????b = 10 - 4a -3a + c = -4 -4a + c = -7 b) Les deux dernières équations de ce système forme un système de deux équations à deux inconnues a et c.

D"où : -3a + 4a = -4 + 7

Soit a = 3.

On en déduit facilement : c = -4 + 3a = -4 + 9 = 5.

Puis b = 10 - 4a = 10 - 12 = -2

c) Le polynôme est donc déterminé : f(x) = 3x² - 2x + 5 Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011

CORRECTION

6

Vérification graphique

Exercice 3 : Tangentes à une courbe passant par un point 1) a) Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011

CORRECTION

7 b) Le point A n"appartient pas à C car f(1) = 1,5 ¹ -1. Il semble qu"il y ait deux tangentes à C passant par A (une de pente négative et une de pente positive) 2) a) Une équation de Tn est : y = f"(n)(x - n) + f(n)

Or f"(n) = n - 2 et f(n) =

n² 2 - 2n + 3.

Une équation de T

n est donc : y = (n - 2)(x - n) + n²

2 - 2n + 3

b) T n passe par A ? -1 = (n - 2)(1 - n) + n²

2 - 2n + 3

? -1 = - n² 2 + n + 2n - 2n - 2 + 3 ? -2 = - n² + 2n + 2 ? n² - 2n - 4 = 0 c)

D = (-2)² + 4´4 = 20 = (25)²

D"où n =

2 - 2 5

2 = 1 - 5 ou n = 1 + 5

Il existe donc deux tangentes T

n. Première S Exercices sur la dérivation 2010-2011

CORRECTION

8quotesdbs_dbs7.pdfusesText_13

[PDF] fonction circulaire réciproque exercice corrigé pdf

[PDF] carnet de bord stage bts

[PDF] exemple d'un journal de stage

[PDF] journal de bord stage licence

[PDF] exemple journal de bord stage 3eme

[PDF] journal de bord stage en entreprise 3ème

[PDF] journal de bord stage exemple

[PDF] portrait d'un héros

[PDF] heros redaction

[PDF] description d un héros imaginaire

[PDF] inventé un super hero

[PDF] examen math 2 st pdf

[PDF] cours math 3 st pdf

[PDF] première formule de la moyenne démonstration

[PDF] cours math 1 st pdf