[PDF] PRODUIT SCALAIRE sont deux représentants des





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Fondamentaux des mathématiques 1

Apprendre ses cours et s'entraîner : en mathématiques le talent a ses Deux nombres réels a et b non nuls sont dits inverses l'un de l'autre si ab = 1.



VECTEURS ET DROITES

Deux vecteurs non nuls u réel k tel que u ... Toute droite D admet une équation de la forme ax + by + c = 0 avec a ; b. ( )? 0;0.



PRODUIT SCALAIRE

sont deux représentants des vecteurs non nuls u Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple u.



Les intervalles de IR cas de 3ème humanités secondaire

5 janv. 2021 I.6. Encadrement de l'inverse d'un nombre. Préliminaire. Si a et b sont deux réels non nuls de même signe : a> b = 1. b.



Cours de mathématiques - Exo7

Leur somme C = A+ B est la matrice de taille n× p définie pas A = 0 ou B = 0. Il peut arriver que le produit de deux matrices non nulles soit nul.



PRODUIT SCALAIRE

1ère SPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES Soient u et v deux vecteurs non nuls du plan et A



Cours danalyse 1 Licence 1er semestre

on arrive au cas o`u au moins un des deux entiers a ou b est impair. On notera tr`es souvent R? l'ensemble des réels non nuls. L'ensemble des réels R ...



Exercices de mathématiques - Exo7

Soit A et B deux parties de E f et g leurs fonctions caractéristiques. Les nombres a



Exercices de mathématiques - Exo7

Raisonner par double inclusion revenir aux vecteurs. Indication pour l'exercice 6 ?. 1. On pensera à poser un système. 2. Trouver un vecteur non-nul 



PUISSANCES Cours 1) Puissance dexposant positif Définition

2) Produit de deux puissances d'un même nombre Règle de calcul : Soient n un entier a et b deux nombres non nuls. (a × b)n = an × bn.

1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frPRODUIT SCALAIRE La notion de produit scalaire est apparue pour les besoins de la physique. Le concept relativement récent et a été introduit au milieu du XIXe siècle par le mathématicien allemand Hermann Grassmann (1809 ; 1877), ci-contre. Il fut baptisé produit scalaire par William Hamilton (1805 ; 1865) en 1853. I. Définition et propriétés 1) Norme d'un vecteur Définition : Soit un vecteur

u et deux points A et B tels que u =AB . La norme du vecteur u , notée u , est la distance AB. 2) Définition du produit scalaire Définition : Soit u et v deux vecteurs du plan. On appelle produit scalaire de u par v , noté u .v , le nombre réel définit par : - u .v =0 , si l'un des deux vecteurs u et v est nul - u .v =u ×v

×cosu

;v , dans le cas contraire. u .v se lit " u scalaire v ". Remarque : Si AB et AC sont deux représentants des vecteurs non nuls u et v alors : u .v =AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

2YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frExemple : Vidéo https://youtu.be/CJxwKG4mvWs Soit un triangle équilatéral ABC de côté a.

AB .AC =AB

×AC

×cosBAC

=a×a×cos60° =a 2

×0,5

a 2 2 Attention : Le produit scalaire de deux vecteurs est un nombre réel. Ecrire par exemple u .v =0

est une maladresse à éviter ! 3) Propriété de symétrie du produit scalaire Propriété : Pour tout vecteur

u et v , on a : u .v =v .u

Démonstration : On suppose que

u et v sont non nuls (démonstration évidente dans la cas contraire). u .v =u ×v

×cosu

;v =v ×u

×cosu

;v =v ×u

×cos-v

;u =v ×u

×cosv

;u =v .u

4) Opérations sur les produits scalaires Propriétés : Pour tous vecteurs

u v et w , on a : 1) u .v +w =u .v +u .w 2) u .kv =ku .v , avec k un nombre réel. - Admis -

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr 5) Identités remarquables Propriétés : Pour tous vecteurs

u et v , on a : 1) u +v 2 =u 2 +2u .v +v 2 2) u -v 2 =u 2 -2u .v +v 2 3) u +v u -v =u 2 -v 2

Démonstration pour le 2) :

u -v 2 =u -v u -v =u .u -u .v -v .u +v .v =u 2 -2u .v +v 2

II. Produit scalaire et norme Soit un vecteur

u , on a : u .u =u ×u

×cosu

;u =u 2

×cos0=u

2 et u .u =u 2

On a ainsi :

u 2 =u .u =u 2quotesdbs_dbs42.pdfusesText_42
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