[PDF] PRODUIT SCALAIRE 1ère SPÉCIALITÉ MATHÉ

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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES03-PRODUIT SCALAIREPRODUIT SCALAIRE A BCDP

RMQNPremière-Chapitre 3Table des matières

IIntroduction et norme d"un vecteur2

1)Exercice de motivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2)Norme d"un vecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

3)Projeté orthogonal d"un point, d"un vecteur. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

IIPremières expressions du produit scalaire3

1)Une première expression : à partir du projeté orthogonal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2)Une deuxième expression : pour des vecteurs colinéaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3)Une troisième expression : avec les normes et un angle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

IIIPropriétés du produit scalaire4

1)Produit scalaire et orthogonalité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2)Produit scalaire et opérations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

IVAutres expressions du produit scalaire6

1)Une quatrième expression : avec des normes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2)Une cinquième expression : avec des coordonnées. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

VApplications du produit scalaire pour le calcul de longueurs et de mesures d"angles7

1)Théorème de la médiane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2)Théorème d"Al-Kashi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

VIApplications du produit scalaire en géométrie analytique8

1)Retour sur la notion d"équation de droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2)Produit scalaire et équation de droite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3)Équation d"un cercle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Polycopié de cours de N. PEYRATP age1 sur11 Lycée Sain t-Charles

1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES03-PRODUIT SCALAIREIIntro ductionet no rmed"un vecteur 1) Exercice de motivation SoitABCun triangle tel queAB=4,AC=3et?BAC=70°. CalculerBC. Problème :on ne peut pas utiliser le théorème de Pythagore car le triangle n"est pas rectangle. On verra, à la fin de ce chapitre, que le produit scalaire offre une solution à ce problème en généralisant le théorème de Pythagore

à tout triangle.

2)

No rmed"un vecteur Soit

⃗uun vecteur du plan, etAetBdeux points du plan tels que⃗u=?→AB.

La norme du vecteur

⃗u, notée??⃗u??, est la longueur du segment[AB]. On a :??⃗u??=???→AB??=AB.DÉFINITION

Dans un repère orthonormé, si

⃗ua pour coordonnées(x;y), alors??⃗u??=?x

2+y2.REMARQUE

Soient

⃗uet⃗vdeux vecteurs du plan. ?Pour tout réelk, on a :??k⃗u??=?k?×??⃗u??. On a notamment??-⃗u??=??⃗u??. ???⃗u+⃗v??⩽??⃗u??+??⃗v??(inégalité triangulaire) 3)

Projeté o rthogonald"un p oint,d"un vecteur

SoitMun point du plan etdune droite du plan. On appelle projeté orthogonal du pointMsur la droitedle pointM′de la droitedtel que les droites(MM′)etdsoient perpendiculaires. En particulier, siM?d, alors son projeté orthogonal surdest lui-même.DÉFINITION Cette définition du projeté orthogonal peut être étendue à un vecteur : SoientAetBdeux points du plan etdune droite de ce plan. SoientA′etB′les projetés orthogonaux respectifs des pointsAetBsur la droited.

Alors on dit que le vecteur??→A′B′est le projeté orthogonal du vecteur?→ABsur la droited.DÉFINITION

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES03-PRODUIT SCALAIREIIPremières exp ressionsdu p roduitscalaire

1)

Une p remièreexp ression: à pa rtirdu p rojetéo rthogonalSoientO,AetBtrois points du plan, avecOetAdistincts, etHle projeté orthogonal deBsur la

droite(OA). On appelleproduit scalairede?→OApar?→OBleréelnoté?→OA??→OB, égal à :

OA??→OB=?→OA???→OH

Si ?→OAet??→OHsont de même sens, alors

OA???→OH=OA×OHSi

?→OAet??→OHsont de sens contraire, alors

OA???→OH=-OA×OHDÉFINITION

Si l"un des deux vecteurs est nul, on a

?→OA??→OB=0REMARQUE

SoitABCDun carré de centreO, avecAB=4.

??→DC=-CD×12

CD=-4×2=-8.EXEMPLE

2) Une deuxième exp ression: p ourdes vec teurscolinéaires

Compte tenu de la définition, si deux vecteurs

?→uet?→vsont colinéaires, on peut calculer directement le produit scalaire?→u??→v:Soient ⃗uet⃗vdeux vecteurs du plan. Si ⃗uet⃗vsontcolinéaires et de même sens, alors u?#»v=??⃗u??×??⃗v?? Si ⃗uet⃗vsontcolinéaires et de sens contraire, alors

On a alors

#»u?#»u=???→u??2. On le note parfois?→u2mais c"est moche et ambigu...REMARQUE

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES03-PRODUIT SCALAIRE3)Une troisième exp ression: avec les n ormeset un angle

SoientA,BetCtrois points distincts du plan. Alors on a : # »AB?# »AC=AB×AC×cos?BACPROPRIÉTÉ

On sait que

?→AB??→AC=# »AB?# »AH, oùHest le projeté orthogonal deCsur(AB).?SiH?[AB), alors les vecteurs?→ABet??→AHsont de même sens,

donc# »AB?# »AC=# »AB?# »AH=AB×AH.

Orcos?BAC=AHAC

, doncAH=AC×cos?BAC. Donc

?→AB??→AC=AB×AC×cos?BAC.?SiH?[AB), alors les vecteurs?→ABet??→AHsont de sens contraire,

donc# »AB?# »AC=# »AB?# »AH=-AB×AH.

Orcos(π-?BAC)=AHAC

Donc =AB×AC×cos?BAC.DÉMONSTRATION

En notant(⃗u,⃗v)l"angle formé par les vecteurs⃗uet⃗v(on parle alors d" " angle orienté », car cet angle est muni

d"un sens : de

⃗uvers⃗v), on peut réécrire la propriété précédente avec des vecteurs :Soient

⃗uet⃗vdeux vecteurs non nuls du plan. Alors on a : III

Prop riétésdu p roduitscalair e

1)

Pro duitscalaire et o rthogonalité

a

V ecteursorthogonaux Soient

⃗uet⃗vdeux vecteurs non nuls du plan, etA,B,CetDquatre points tels que⃗u=?→ABet⃗v=??→CD.

Les vecteurs

⃗uet⃗vsont dits orthogonaux si et seulement si les droites(AB)et(CD)sont perpendi- culaires.DÉFINITION Le vecteur nul est considéré comme orthogonal à tout vecteur du plan.REMARQUE

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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES03-PRODUIT SCALAIREbLien a vecle pro duitscalaire

Soient

⃗uet⃗vdeux vecteurs du plan.

Les vecteurs

⃗uet⃗vsont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul : u?⃗v??#»u?#»v=0THÉORÈME u??→v=???→u??×???→v??×cos(?→u ,?→v). D"où :?→u??→v=0????→u??=0ou???→v??=0oucos(?→u ,?→v)=0. ?→u??→v=0??→u=?→0ou?→v=?→0ou(?→u ,?→v)=π2 +k×π,k?Z 2)

Pro duitscalaire et op érations

Symétrie du produit scalaire :soient?→uet?→vdeux vecteurs du plan. Alors?→u??→v=?→v??→u.PROPRIÉTÉ

u??→v=???→u??×???→v??×cos(?→u ,?→v).

Or on sait que pour tout réelx,cos(-x)=cos(x). Donccos(?→u ,?→v)=cos(?→v ,?→u).

Donc

?→u??→v=???→v??×???→u??×cos(?→v ,?→u)=?→v??→u.DÉMONSTRATION

Pour tous vecteurs

⃗u,⃗vet⃗w, et tout nombre réelk, on a : 1.

Soient

⃗uet⃗vdeux vecteurs du plan.

Les démonstrations se font rapidement à l"aide de la propriété précédente.DÉMONSTRATION

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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES03-PRODUIT SCALAIREIVAutres exp ressionsdu p roduitscalaire 1) Une quatrième exp ression: avec des no rmesSoient ⃗uet⃗vdeux vecteurs du plan. Alors : u?#»v=12 Ces deux expressions sont appelées lesformules de polarisation.REMARQUE On utilise les identités remarquables vues au-dessus :

⃗u+⃗v)2=⃗u2+2⃗u?⃗v+⃗v2, donc2⃗u?⃗v=(⃗u+⃗v)2-⃗u2-⃗v2, donc⃗u?⃗v=12

⃗u-⃗v)2=⃗u2-2⃗u?⃗v+⃗v2, donc2⃗u?⃗v=⃗u2+⃗v2-(⃗u-⃗v)2, donc#»u?#»v=12

SoitABCun triangle tel queAB=4,AC=5etBC=6. Calculer?→AB??→AC.EXEMPLE 2) Une cinquième exp ression: avec des co ordonnées

Soient

⃗u(x;y)et⃗v(x′;y′)deux vecteurs du plan muni d"un repèreorthonormé(O;⃗i,⃗j), avecx,x′,

yety′des réels. Alors :

On sait que

#»u?#»v=12 Le repère étant orthonormé,??⃗u??2=x2+y2et??⃗v??2=x′2+y′2.

De plus,

⃗u+⃗va pour coordonnées(x+x′;y+y′), donc??⃗u+⃗v??2=(x+x′)2+(y+y′)2.

Ainsi,

#»u?#»v=12 ?Cette expression du produit scalaire est appelée l"expression analytique. ?Attention, l"expression analytique n"est valablequedans un repèreorthonormé!REMARQUES

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES03-PRODUIT SCALAIREVApplications du p roduitscalaire p ourle calcul de

longueurs et de mesures d"angles 1) Théo rèmede la médiane SoientAetBdeux points du plan etIle milieu du segment[AB].

Pour tout pointMdu plan, on a :

MA

2+MB2=2MI2+12

MA AB2. MA

AB2.DÉMONSTRATION

2)

Théo rèmed"Al-Kashi

SoitABCun triangle quelconque. Alors on a :

AB

2=AC2+BC2-2×AC×BC×cos?ACB

AC

2=AB2+BC2-2×AB×BC×cos?ABC

BC AB Si l"un des angles du triangle est droit, on retrouve le théorème de Pythagore.REMARQUE

On peut donc enfin (ouf !) répondre au problème de motivation énoncé en début de chapitre !

SoitABCun triangle tel queAB=4,AC=3et?BAC=70°.

CalculerBC.EXERCICE

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES03-PRODUIT SCALAIREVIApplications du p roduitscalaire en géomét rieana-

lytique Dans toute cette partie, le plan est muni d"un repère orthonormé. 1)

Retour sur la notion d"équation de droite

a équation réduite, équations cartésienn esSoitaetbdeux réels. L"ensemble des pointsM(x;y)tels quey=ax+best une droite. L"égalitéy=ax+best appeléel"équation réduitede la droite. Elle est unique.

aest appeléle coefficient directeurde la droite, etbsonordonnée à l"origine.PROPRIÉTÉ & DÉFINITION

?Une équation de droite est donc une égalité vérifiée par les coordonnées de tous les points appartenant

à cette droite : sidest une droite d"équationy=ax+b, alorsA(xA;yA)?d??yA=axA+b. ?Sib=0, alors la droite d"équationy=axpasse par l"origine du repère. ?Sia=0, alors la droite d"équationy=best parallèle à l"axe des abscisses. ?Une droite parallèle à l"axe des ordonnées a pour équationx=c, oùcest un réel. ?y=ax+b??ax-y+b=0. Une telle équation est appeléeéquation cartésienne. Elle n"est pas unique. Par exemple,2x+y+5=0et4x+2y+10=0sont deux équations cartésiennes d"une même droite.REMARQUES b Déterminer une équation de droite a vecle co efficientdirecteur SoientAetBdeux points d"abscisses distinctes dans le plan. Alors le coefficient directeur de la droite(AB)esta=yB-yAx

B-xA.PROPRIÉTÉadmise

Cas particulier : sixA=xB, la droite(AB)est parallèle à l"axe des ordonnées, et n"a pas de coefficient

directeur.REMARQUE

On considère les pointsA(3;2),B(-1;4)etC(3;4).

Déterminer l"équation réduite de chacune des droites suivantes :(AB),(AC)et(BC).EXERCICE c Déterminer une équation de droite a vecun v ecteurdirecte ur On appellevecteur directeurd"une droitedtout vecteur non nul dont la direction est celle de la droited.DÉFINITION

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES03-PRODUIT SCALAIRE?Une droite a une infinité de vecteurs directeurs, tous colinéaires deux à deux.

?SiAetBsont deux points distincts de la droited, alors le vecteur?→ABest un vecteur directeur de

la droited. ?Soitdune droite passant par un pointAet de vecteur directeur?→u. Alors pour tout pointMded, les vecteurs??→AMet?→usont colinéaires. (Faire une figure)REMARQUES

Soienta,betctrois réels.

L"ensemble des pointsM(x;y)tels queax+by+c=0est une droite de vecteur directeur?→u(-b;a).PROPRIÉTÉadmise

Déterminer une équation cartésienne de la droitedpassant par le pointA(4;5)et de vecteur directeur?→u(-1;3):

M(x;y)?d????→AM⎛

⎝x-4 y-5⎞ ⎠et?→u⎛ ⎝-1

3⎞

⎠sont colinéaires. y-5 3? ??3(x-4)-(-1)(y-5)=0 ??3x-12+y-5=0 ??3x+y-17=0EXEMPLE 1.

Déterminer une équation cartésienne de la droite ∆passant par le pointA(-2;3)et de vecteur

directeur?→u(1;4) 2. Soit dla droite d"équation cartésienne-3x+2y+5=0. (a)

Le p ointB(1;-1)appartient-il à la droited?

(b) Donner les co ordonnéesd"un v ecteurdir ecteurde la droite d. (c) Donner une autre équation de la droite d, et son équation réduite. (d) La droite d′?6x-4y+1=0est-elle parallèle à la droited?EXERCICE 2)

Pro duitscalaire et équation de droite

a Définition d"un v ecteurnormal à une droite Soitdune droite de vecteur directeur⃗u. Unvecteur normalà la droitedest un vecteur non nul orthogonal au vecteur⃗u.DÉFINITION Soitdune droite passant par un pointAdu plan et de vecteur normal⃗n. Alors la droitedest l"ensemble des pointsMtels que??→AM?⃗n=0.PROPRIÉTÉadmise

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èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES03-PRODUIT SCALAIREbÉquation d"une droite de v ecteurnormal

Soitaetbdeux nombres réels non nuls tous les deux (c"est-à-dire tels que(a,b)≠(0,0).

La droitedadmet le vecteur⃗n(a;b)pour vecteur normal si et seulement si elle admet une équation

cartésienne de la formeax+by+c=0aveccun réel.THÉORÈME SoitA(xA;yA)un point dedet⃗nun vecteur normal dedde coordonnées(a;b).

Le plan est muni d"un repère orthonormé.

Soitdla droite passant par le pointS(5;8)et de vecteur normal⃗n⎛ ⎝-1

2⎞

1. Déterminer une équat ioncartésienne de d. 2. (a) Démon trerque le p ointR(-11;0)appartient à la droited. (b)

Que p eut-onalors dir edu v ecteur

?→RSpour la droited? (c) En déduire, sans calcul, la v aleurde # »RS?#»n. 3.

Le p ointT(-9;2)appartient-il à la droited?

4.

Déterminer une équation cartésienne de la droite d′, droite parallèle àdet passant parT, de

deux façons différentes. 5. Soit d2la droite d"équation-x+2y+3=0. Démontrer qued2etdsont parallèles. 6. Soit d3la droite d"équation4x-8y+5=0. Démontrer qued3etdsont parallèles. 7. Soit d4la droite d"équation6x+3y-1=0. Démontrer qued4etdsont perpendiculaires.EXERCICE Le plan est muni d"un repère orthonormé. Soient les pointsA(-1;1),B(5;6)etC(8;-3). SoitHle projeté orthogonal du pointAsur la droite(BC). 1. Réaliser une figure et conj ecturerpar lecture g raphiqueles co ordonnéesdu p ointH. 2. On c hercheà déterminer par le calcul les co ordonnéesde H: (a)

Déterminer une équ ationde la droite (BC).

(b) Déterminer une éq uationcartésien nede la droite (AH). (c) En déduire les co ordonnéesdu p ointH.EXERCICE

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1 èreSPÉCIALITÉ MATHÉMATIQUES03-PRODUIT SCALAIRE3)Équation d"un cercle

SoitCle cercle de centreA(xA;yA)et de rayonR.

Une équation cartésienne deCest :

(x-xA)2+(y-yA)2=R2PROPRIÉTÉ

1)Dans le plan muni d"un repère orthonormé, on considère le pointA(3;-5)et le cercleCde centre

Aet de rayon2.

1. Déterminer une équat ioncartésienne de C. 2.

Le p ointB(2;5)appartient-il au cercleC?

3. Déterminer les co ordonnéesd"un p ointDappartenant au cercleC. Attention :il faut choisir astucieusement une valeur dex(ou dex) qui aboutit à une équa- tion admettant au moins une solution. Une valeur simplifiant l"un des deux carrés fonctionnera toujours.

2)Dans le plan muni d"un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du cercle trigono-

métriqueC.

3)Dans le plan muni d"un repère orthonormé, on considère l"ensembleEdes pointsM(x;y)tel que

x

2+y2-4x+6y+1=0.

L"ensembleEest-il un cercle? Si oui, préciser son rayon et les coordonnées de son centre.EXERCICES

Le cercleCde diamètre[AB]est l"ensemble des pointsMtels que??→MA???→MB=0.PROPRIÉTÉ

Dire queMappartient au cercleCsignifie queMest confondu avecAouB, ou que(MA)?(MB), Dans le plan muni d"un repère orthonormé, on considère les pointsA(4;-5)etB(2?0). 1. Déterminer une équat ioncartésienne du ce rcleCde diamètre[AB]. 2. Déterminer les co ordonnéesdu cen treΩde ce cercleC, et le rayon du cercleC.EXERCICE

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