[PDF] Nombres rationnels

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Chapitre n°3 Nombres rationnels

1) Notion de nombre rationnel

a) Partage

Activité :

Placer les nombres

et sur la demi-droite graduée ci-dessous. · On partage le segment [OA] en 8 parties égales, chaque partie est égale à = 4× , on reporte 4 huitièmes à partir du point O. b) Quotient

Activité :

Léo a 12 euros dans son porte-monnaie. Combien peut-il acheter de places de cinéma sachant que la place coûte 4 euros ?

12 ¸ 4 =

= 3 -> Léo peut acheter 3 places de cinéma.

Définition : On considère a et b, deux entiers avec b différent de zéro. Le quotient de a par

b est le nombre, qui multiplié par b, donne a.

On le note a : b ou avec la fraction

et on dit qu'il s'agit d'un nombre rationnel. Exemples : Les nombres suivants sont des nombres rationnels : (entier) ; 9,2 (décimal) ; (ni entier ni décimal).

Remarque

: Il existe des nombres irrationnels, exemple le nombre.

Vocabulaire :

12 ¸ 4 = 3 =

dénominateur dividende diviseur quotient Remarque : Lorsque le dénominateur d'une fraction est 10, 100, 1000... on parle de fractions décimales.

Exercices Sésamath 4 et 5 p22 ; 2 p24

A O numérateur 2 c) Exprimer une proportion (ou une fréquence)

Dans une classe de 5ème, il y a 20 élèves sur un total de 27 qui prennent le bus pour venir au

collège.

On dit que la

proportion ou la fréquence d'élèves prenant le bus est2027. ≃0,74 (valeur approchée arrondie au centième). La proportion s'exprime aussi par le nombre 0,74 ou le pourcentage 74%.

Exercice

2) Égalité de quotients (et des produits en croix)

Propriété (admise): un quotient ne change pas de valeurs si on multiplie (ou on divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

× avec k ≠ 0 et

Exemple :4

7=4×37×3=1221 ; =÷÷=

Sésamath exercices 1, 2 et 3 p24

Remarque 1

: On peut simplifier une fraction en écrivant une fraction qui lui est égale avec un numérateur et un dénominateur plus petit.

Exemple :

36

24=36÷224÷2=1812

Définition

: Une fraction est dite irréductible quand on ne peut pas la simplifier.

Exemple :

Critères de divisibilité : à connaître par Un nombre est divisible par 2 si le chiffre des unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8. Un nombre est divisible par 5 si le chiffre des unités est 0 ou 5. Un nombre est divisible par 10 si le chiffre des unités est 0. Un nombre est divisible par 3 si la somme de tous ses chiffres est divisible par 3. Un nombre est divisible par 9 si la somme de tous ses chiffres est divisible par 9. Un nombre est divisible par 4 si les deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4

Sésamath exercices 1, 2 et 3 p25

Remarque 2

: Pour diviser un nombre par un nombre décimal on peut multiplier le numérateur et le dénominateur par 10 ; 100 ; 1000... pour rendre le dénominateur entier.

On ne peut plus simplifier la fraction,

elle est irréductible. 3

Exemple : 0,36÷ 1,2 ,

= 0,3 Propriété (égalité des produits en croix) : Soit quatre nombres a, b, c et d (avec b et d différents de zéro). Dire que

équivaut à dire que a×d=b×c.

Démonstration : On a

× et

donc dire que

équivaut à dire que

. En multipliant les deux membres par b×d on a est équivalent à a×d=c×b.

Exemple : Les fractions et

sont-elles égales ? Oui, car 34×3=2×51=102.

Exercice

3) Comparaison de fractions

Propriété 1 (admise) : Soient a, b et c trois entiers positifs avec c ≠0. Si deux quotients ont le même dénominateur, le plus grand est celui qui a le plus grand numérateur. Si ! < # alors

Exemple: comparer

et →3 < 6 donc Si on a les mêmes numérateurs avec des dénominateurs différents ?

Exemple : comparer

et → 12 < 27 donc Remarque : Si deux quotients ont des dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur puis on les compare.

Exemple : Comparer

et1 3 . , 2<7 donc donc

Sésamath Exercices 4 et 7 p26 11, 13 et 15p27

4 Propriété 2(admise) : Soient a et b deux nombres positifs (b≠0)

· Si a >b, alors

>1

· Si a <1

· Si a =b, alors

=1

Exemple comparer les nombres suivants : 1 ;6

7; . < 1 car 6 < 7 et > 1 car 15>12 donc < 1 <.

Sésamath exercices 1 et 2 p26.

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