Représentation des nombres flottants
Signe de la mantisse. Position du point décimalMantisse. Exposant. Signe de Avec 2 digits réservés au codage de l'exposant ... 3.14 En Binaire (approx):.
Correction du Travaux Dirigés N°2
Conversion de 8625 en binaire : 8
Représentation des nombres réels
En conséquence en binaire on ne peut représenter exactement Exemple: supposons la représentation suivante: signe exposant mantisse. 00111011.
Chapitre 2 : Représentation de linformation
l'information et sa représentation binaire Dans le système binaire pour exprimer n'importe quelle valeur ... Exposant. Mantisse normalisée.
Le codage des nombres
Avec la mantisse et l'exposant en binaire. • A la fin des années 70 chaque ordinateur avait sa propre représentation pour les nombres à virgule flottante.
Codage des nombres
7 fév. 2022 2 Représentation binaire d'un entier relatif ... Ici la mantisse est 01011 codée sur 5 bits et l'exposant est 100 codé sur 3 bits.
4. Représentation des réels et caractères.key
Convertir 125 en binaire sur 32 bits avec IEEE 754. Écrire la réponse en hexadécimal. (signe) 1
Représentation de nombres réels
Pour le codage de nombres en virgule flottante en binaire on peut apporter quelques améliorations signe mantisse exposant mantisse normalisée.
IEEE-754 : Aide Mémoire
Si un nombre ne peut pas exactement être représenté en binaire flottant Exposant. Mantisse. 1 bit. 4 bits. 11 bits. 2 Codage d'un flottant.
1.8 Exercices
pour la mantisse normalisée (le premier bit de la mantisse normalisée a) Donner les valeurs binaires et décimales de tous les exposants pos-.
[PDF] Représentation des nombres flottants
Signe de la mantisse Position du point décimalMantisse Exposant Signe de Avec 2 digits réservés au codage de l'exposant 3 14 En Binaire (approx):
[PDF] Chapitre 2 : Représentation binaire des nombres réels
Il reste maintenant à voir comment sont codés la mantisse et l'exposant Codage de la mantisse Pour représenter les flottants la base choisie est la base 2 (
[PDF] Les nombres flottants - Université de Genève
exposant: 127–2 = 125 = 01111101 en binaire mantisse: 01010101010101010101010 Représentation IEEE sur 32 bits: [0 01111101 01010101010101010101010]
[PDF] Représentation numérique de linformation Séquence 4 : Nombres
Exemple : conversion de 288625 en binaire M : mantisse écrite en virgule fixe en base b Exposant Partie fractionnaire mantisse
[PDF] Correction du Travaux Dirigés N°2 Représentation de linformation
Conversion de 8625 en binaire : 8625 => 1000101 car o Pseudo mantisse sur 23 bits : 000 1010 00000000 00000000 Signe Exposant biaisé
[PDF] Représentation de nombres réels
Représentation comprenant : un bit de signe un exposant biaisé de 3 bits et une mantisse de 3 bits avec utilisation du bit caché Code Valeur binaire Valeur
[PDF] IEEE-754 : Aide Mémoire
On décale donc les bits de la mantisse du nombre ayant le plus petit exposant d'autant de bits vers la droite que la différence entre les exposants sans
[PDF] Le codage des nombres
Avec la mantisse et l'exposant en binaire • A la fin des années 70 chaque ordinateur avait sa propre représentation pour les nombres à virgule flottante
[PDF] Cours dalgorithmique - Faculté des Sciences de Rabat
où M est la mantisse (virgule fixe) et E l'exposant (signé) Le codage en base 2 format virgule flottante revient à coder le signe la mantisse et l'exposant
[PDF] Virgule flottante
exposant mantisse format simple précision 0 31 S 22 mantisse exposant Binaire en virgule flottante Opérandes Alignés Résultat normalisé
Comment trouver la mantisse binaire ?
C'est un nombre flottant normalisé : la mantisse est la partie à droite de la virgule, complétée de 0 vers la droite pour obtenir 23 bits. Cela donne 110 1101 0100 0000 0000 0000 (on omet le 1 avant la virgule, qui est implicite). L'exposant est égal à 6, et nous devons le convertir en binaire et tenir compte du biais.Quel est le plus petit nombre représentable en virgule flottante format IEEE 754 normalisé ?
Comme vous l'avez remarqué, le plus petit exposant autorisé est ?126. Le plus petit nombre représentable est donc ( 1 , 00000000000000000000000 ) 2 × 2 ? 126 ? 1.17 × 1 0 ? 38 (1,00000000000000000000000)_2 \\times 2^{?126} \\approx 1.17 \\times 10^{?38} (1,00000000000000000000000)2??126?1.17??38.Comment coder un flottant ?
En informatique, on note les nombres flottants sous la forme suivante :
1zéro : 0.0 , ou parfois 0 comme pour les entiers, la conversion sera réalisée par le compilateur.23.14159265 , la virgule est remplacée par le point, il s'agit de la notation anglo-saxonne.Exemple : ?riture en nombre flottant du nombre décimal 10,375.
1On donne la forme normalisée de ce nombre : 10,37510 = 1010,0112 = (–1)0 × 1,010011 × 23.2Le nombre décimal est positif, le signe vaut donc 0.3On applique l'exposant « décalage + 127 » : 3 + 127 = 130 codé en binaire par 10000010.
Représentation des réelset caractèresGIF-1001 Ordinateurs : Structure et Applications, H2018 Jean-François LalondeSource image
Rappel: système décimal2Position3210,-1-2-3Valeur103 102101
100
,10-1 10-2 10-3 Symbole6431,986 =60004003010,90,086Décortiquons 6 431,986... Nombres rationnels•Une possibilité (16 bits): •mettons la virgule au milieu: • •8 premiers bits: 20
à 27
(0 à 255) •8 derniers bits: 2-1à 2-8
(1/256 à 255/256, 0.00390625 à 0.99609375) •Problèmes? •très limité! •quelle est la valeur maximale? •255 •quelle est la précision (ou la plus petite différence entre deux nombres)? •1/256327
2625
24
23
22
21
20 ,2-1 2-2 2-3 2-4 2-5 2-6 2-7 2-8 b15 b14 b13 b12 b11 b10 b9 b8 ,b7 b6 b5 b4 b3 b2 b1 b0
ValeurPosition
Nombres rationnels, en décimal•Rappelons-nous la notation scientifique (en décimal) •6500 = (+) 6,5x103
, ou 6,5E3 •Composantes: •signe (+): indique si le nombre est positif ou négatif •base (10): décimale •exposant (3): indique l'ordre de grandeur •significande (6,5): détermine la précision de la valeur représentée •caractéristique (6) •mantisse (0,5)4
Nombres rationnels, en binaire•La norme IEEE 754 a été adoptée universellement (2008) pour les fractions sur 32, 64, et 128 bits •Très similaire à la notation scientifique:
•Par exemple, sur 32 bits (simple précision): •signe: un bit •base: 2, donc binaire. Comme cette base est toujours 2, on n'a pas besoin de la stocker (c'est implicite) •exposant (décalé): 8 bits (donc de 0 à 255), mais on soustrait 127, donc de -127 à +128 •mantisse: 23 bits51 bit8 bits23 bitssigneexposantmantisse(signe) 1,mantisse x 2(exposant-127)
6IEEE754 vers décimal•Tout d'abord, convertissons en binaire
•Séparons la chaîne de bits en sections correspondants aux champs de l'IEEE754 (signe, exposant, mantisse)
•Analysons chaque champ indépendamment •Bit de signe: 0 donc positif (+) •Exposant: 0b10000001 = 129. 129 - 127 = 2. •Mantisse: 0b1010 000... 2-1
+ 2-3 = 0,5 + 0,125 = 0,625 •Résultat: •(+) 1,625 x 22= 6,540D00000Convertir 0x40D00000 (écrit en IEEE754) en décimal0100000011010000000000000000000001000000110100000000000000000000(signe) 1,mantisse x 2(exposant-127)
1 bit8 bits23 bitssigneexposantmantisse
Exercice #1: IEEE754 vers décimal7Convertir 0x411A0000 (écrit en IEEE754) en décimal.(signe) 1,mantisse x 2(exposant-127)
1 bit8 bits23 bitssigneexposantmantisse
411A0000Ex. 1, étape 1: hexadécimal vers binaire801000001000110100000000000000000Convertir 0x411A0000 (écrit en IEEE754) en décimal.HexadécimalBinaire00000100012001030011401005010160110701118100091001A1010B1011C1100D1101E1110F1111
Ex. 1, étape 2: binaire vers décimal•Bit de signe = 0, donc nombre positif •Exposant = 0b10000010 = 130. 130-127 = 3 •Mantisse = 0b0011010... •= 1x2-3 + 1x2-4 + 1x2-6 = 0,125 + 0,0625 + 0,015625 = 0,2031259Convertir 0x411A0000 (écrit en IEEE754) en décimal.01000001000110100000000000000000(+) 1,mantisse x 2(exposant-127)
(+) 1,mantisse x 23 (+) 1,203125 x 23 = 9,625(signe) 1,mantisse x 2(exposant-127)1 bit8 bits23 bitssigneexposantmantisse
Décimal vers IEEE754•Exprimons le nombre avec des puissances de 2 •Convertissons en binaire •Décalons la virgule vers la gauche •Identifions chacun des champs du format IEEE754 •Signe - : bit à 1 •Exposant: exposant - 127 = 4. 4+127 = 131 = 10000011b •Mantisse: 00000010...b10Convertir -16,125 en hexadécimal (IEEE754)-10000,001b
-10000,001b = -1,0000001b x 2416 = 24
0,125 = 2-3
Décimal vers IEEE754 (suite)•Regroupons les bits par groupes de 4 •Convertissons en hexadécimal•Résultat: 0xC181000011Convertir -16,125 en hexadécimal (IEEE754)1100000110000001000000000000000011000001100000010000000000000000C1810000
Exercice #2: décimal vers IEEE75412Convertir 12,5 en binaire sur 32 bits avec IEEE 754. Écrire la réponse en hexadécimal.(signe) 1,mantisse x 2(exposant-127)
1 bit8 bits23 bitssigneexposantmantisse
Ex. 2, étape 1: décimal vers binaire (IEEE754)•12,5 est positif, donc bit de signe = 0 •12,5 = 0b1100,1 = 1,1001 x 23 •nous voulons que exposant - 127 = 3, alors exposant = 130 soit 0b10000010•la mantisse est 1001000...13001000001001000001010010000000000000000000Convertir 12,5 en binaire sur 32 bits avec IEEE 754(signe) 1,mantisse x 2(exposant-127)
1 bit8 bits23 bitssigneexposantmantisse
Ex. 2, étape 2: binaire vers hexadécimal1401000001010010000000000000000000Écrire votre réponse en hexadécimal41480000donc, 0x41480000HexadécimalBinaire00000100012001030011401005010160110701118100091001A1010B1011C1100D1101E1110F1111
Considérations•Intervalle: 1.2E-38 to 3.4E+38 •Plus que 4G valeurs mais seulement 32 bits? •1267650600228229401496703205376 Oui •1267650600228229401496703205377 Non •(260
260)+1 donne 0+1 = 1 car la soustraction se fait exactement; •(260 +1) 260
donne 0, car, avec une précision limitée à 53 bits, 260 +1 s'arrondit à 260
. •Même fonctionnement pour les autres tailles de nombres à virgule flottante mais avec plus de bits15
Cas spéciaux IEEE754•Exposant et mantisse à 0: •0x00000000 •Le nombre est zéro (+0 ou -0) •Exposant à 255 et mantisse à 0 •0x7F800000 ou 0xFF800000 •+∞ ou -∞ •Exposant à 255 et mantisse différente de 0 •ex: 0xFFC00000 •Pas un nombre ("not a number», ou NaN) •Exemples: log(-1), 0/0.16
Outil pratique17http://www.binaryconvert.com
PHIR™ #4•A priori, nous ne pouvons pas savoir ce qu'une chaîne binaire signifie. •Ex: que veut dire 0x416C6C6F (sur 32 bits)? •La bonne réponse est: ça dépend!
•Il nous faut donc savoir quel format utiliser pour bien interpréter les données18entier non-signé1097624687entier signé1097624687rationnel14,47764
Chaînes de caractères - ASCII•American Standard Code for Information Interchange •Table reliant un caractère d'imprimerie à une valeur de 0x00 à 0x7F
•donc nécessite 7 bits dans sa version originale19http://www.asciitable.comChaînes de caractères - ASCII•Exemple: "Bonjour!» (sans les "») en ASCII? •attention aux majuscules... •Bonjour! = 0x42 6F 6E 6A 6F 75 72 2120http://www.asciitable.com
ASCII: 7 ou 8 bits?21Quelle est la différence entre écrire la chaîne de caractères "ABC» sur 7 bits et l'écrire sur 8 bits?
Retour sur l'ASCII•Sur 7 bits: •" A »: 0x41 = 0b1000001 •" B »: 0x42 = 0b1000010 •" C »: 0x43 = 0b1000011 •Placer tous les bits un à la suite de l'autre: •0b100000110000101000011 •Convertir ensuite en hexadécimal en regroupant par groupe de 4: •0b 1 0000 0110 0001 0100 0011 •0x 1 0 6 1 4 3 •donc, 0x106143. 22Quelle est la différence entre écrire la chaîne de caractères "ABC» sur 7 bits et l'écrire sur 8 bits?
Retour sur l'ASCII•Sur 8 bits •" A »: 0x41 = 0b01000001 •" B »: 0x42 = 0b01000010 •" C »: 0x43 = 0b01000011 •Placer tous les bits un à la suite de l'autre: •0b010000010100001001000011 •Convertir ensuite en hexadécimal en regroupant par groupe de 4: •0b 0100 0001 0100 0010 0100 0011 •0x 4 1 4 2 4 3 •donc, 0x414243.23Quelle est la différence entre écrire la chaîne de caractères "ABC» sur 7 bits et l'écrire sur 8 bits?
Chaînes de caractères - Unicode•ASCII ne suffit pas à représenter tous les caractères •Standard visant à attribuer un numéro distinct à chaque caractère •Couvre même •l'écriture cunéiforme •hiéroglyphes •cartes à jouer24
UTF-8 (Unicode Transformation Format - 8 bits)•Système de préfixe par groupes de 8 bits (1 octet) •Si premier bit (MSB) est 0, alors 1 seul octet •Sinon:25Rétrocompatibilité avec ASCII
Popularité26Source: https://en.wikipedia.org/wiki/UTF-8PHIR™ #4•A priori, nous ne pouvons pas savoir ce qu'une chaîne binaire signifie. •Ex: que veut dire 0x416C6C6F (sur 32 bits)? •La bonne réponse est: ça dépend!
•Il nous faut donc savoir quel format (quelle"recette») utiliser pour bien interpréter les données27entier non-signé1097624687entier signé1097624687rationnel14.47764caractères ASCIIAllo
En résumé: 4 PHIRs™28RaccourciExplicationtout en binaireDans un ordinateur, tout, absolument tout,
est stocké en format binaire.# de bits prédéterminéOn utilise un nombre fini et pré-déterminé de bits pour représenter de l'information. hexadécimal = binaireL'hexadécimal est une façon plus compacte
de représenter du binaire.besoin d'une recetteÀ priori, nous ne pouvons savoir ce qu'une chaîne binaire signifie,
il nous faut une "recette».quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] profondeur de la nappe albienne algerie
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