[PDF] Corrigé du CNC 2012 : Physique 2 - Nanopdf

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Concours National Commun - Session 2012 - Filière MP

Co??igé du CNC ?01? : Physique ?

1 èrPr oblème:Champ magnétique et induction

1 Partie1 : Magnétostatique dans le vide

∞.∞ Équation deMaxwell

1.1.1 Les équation deMaxwell:

p! r:!E(M;t) /(M;t)" r ^! E(M;t) /@Γ!B(M;t)@t r:!B(M;t) / 0;! r ^! B(M;t) /0!j(M;t) +1c

2@Γ!E(M;t)@t

1.

1.2 Les équationsMaxwellen régime stationnaire :

p! r:!E(M)/(M)" r ^! E(M) / 0;! r:!B(M)/ 0;! r ^! B(M) /0!j(M) ∞.2 Loi de Biot et Savart 1.2.1 p

Expression de!Bune distribution volumique :!

B(M) /04???

D! j(P)^!PMPM

3dfi(P)

p E xpression de !Bune distribution linéique :!

B(M) /04?

DI!dl

P^!PMPM

3 1.

2.2 Direction du champ B pour un plan de symétrie P :

p

Le champ!Best?au plan desymétrie:!

B(M)?(P)

1.

2.3 Direction du champ B pour un plan d'anti-symétrie P :

p

Le champ!Best2dans le plan d"anti-symétrie:!

B(M)2(P)

3 Flux du champ magnétique

Corrigé par Abdelfatah Habib1https://al9ahira.com/ Concours National Commun - Session 2012 - Filière MP

1.3.1 P?o⎷?iété fondamental du ?ux :

p Le flux du champ magnétique !Bestconservatif . pEx pression intégrale de la conservation du flux :I !B(M): d!S(M) = ? 1.3.? p

Déduire une relation de passage :

On applique la consevation du flux à un cylindre de bases dS1et dS2(=dS1) et de hauteurh( =dS1[dSlat[dS2).

Z dS 1!

B1(M1):d!S1+Z

dS lat!

B(M):d!S(M) +Z

dS 2!

B2(M2):d!S2= ?

Lorsqueh!?, alors :R

dS lat!B(M):d!S(M)!?etM1ηM2ηM+d!S1= d!S2= dS!n12, on trouve :B

2n=B1n

1. 3.3 p

Non, il n"y a pas de monopole magnétique.

pLe s lignes de champ du champ magnétique sontfe?mées. 1.

4 Circulation du champ magnétique

1.4.1 Théo?ème d?Am⎷è?e :

p Établissement du théorème d"Ampère :!r ^!B(M) =μ0!j(M))RR !r ^!B(M):d!S=μ0RR !j(M):d!S)H !B(M):d!l=μ0RR !j(M):d!S(Stockes) : )I !B(M): d!l=μ0ZZ ()!j(M):d!S=μ0Ienl p Cette formule reste valable dans l"ARQS. Mais pas en régime hautement variable. 1.4.? p

Établissement du seconde relation de passage :

Théorème d"Ampère pour un contour ABCDA (AB=CD=dletBC=DA=h) :H

ABCDA!B(M):d!l=μ0Ienl.

Lorsqueh!?, alors :R

BC!B(M):d!l!?,R

DA!B(M):d!l!?etM1ηM2ηM;!AB=!CD=dl!toù!test un vecteur unitaire tangent à la surface en M, il vient :B

2tB1t=μ0js

1.

5 Champ et potentiel d"un dipôle magnétique

Corrigé par Abdelfatah Habib2https://al9ahira.com/ Concours National Commun - Session 2012 - Filière MP 1.5.1 p Re lation entre potentiel-vecteur et le champ magnétique :!

B=!rot!A

1.5.? p Expression du champ!Ben coordonnées cylindriques :!

B=μ0M4π

3rz(z2+r2)52

0

2z2r2(z2+r2)52

2 P artie 2 : Chute d"un aimant dans un cylindre métallique

2.1 Courant induit dans le conducteur

p

Expression de!Adans le conducteur :!

A=μ0M4πa[a

2+ (zzA)2]3=2!u

p

Mq!Adépend du temps :

Puisque l"aimant est en chute, alorszA=zA(t)d"où!A=!A(M,t). ?.1.1 p Expression du champ électrique induit!E:!E(M,t) =@!A(M;t)@t ,soit :!

E(M,t) =3μ0Ma4πzzA[a

2+ (zzA)2]52

v!u .1.? p Expression du courant induit!j:!j=σ!E(Loi d"Ohm), soit :! j=v3μ0Maσ4πzzA[a

2+ (zzA)2]52

v!u 2.

2 Force exercée sur l"aimant

?.?.1 p

Expression de la force élémentaire : d2!Fexercée sur dV=eadθdz:Corrigé par Abdelfatah Habib3https://al9ahira.com/

Concours National Commun - Session 2012 - Filière MP

* La force deLa⎷lace(force magnétique) exercé par l"aimant sur le conducteur est : d2!F0=!j dV^!B.

*D"après le principe de l"action et de la réaction, la force exercée sur l"aimant est : d

2!F=d2!F0. Soit :d

2!F=320M2a(4)2dV

(2(zzA)2a2)(zzA)[(zzA)2+a2]5

3a(zzA)2[(zzA)2+a2]5

p Ex pression de dFzexercé par un couronnedz:dFz=Z 2 /0d2!F :!uz=v920M2a3e8(zzA)2[(zzA)2+a2]5dz 2 .2.2 p Détermination de la force de freinage!F(selonOz) exercée sur l"aimant : On a!F=Fz!uz, avec : F z=v920M2a3e8Z L z/0(zzA)2[(zzA)2+a2]5dz=v)!

F=!v=920M2e8a4Z

L zAa x

2(∞ +x2)5dx

p L a valeur approchée de:

On aLaet sizAaalors :'920M2e8a4R+1

2. 2.3 p

Application numérique := ?;∞

4 5kg:s1'?;∞5kg:s1

2.3 Mouvement de chute de l'aimant

2.3.1 p Écrire l"équation différentielle du mouvement :dv dt +v =g,d2zdt

2+∞

dzdt =g(=m p Ex pression de la vitessev:v(t) =mg ∞et =g ∞et p Ex pression de la positionzA(t):z

A(t)=g

2 et +gtCorrigé par Abdelfatah Habib4https://al9ahira.com/ Concours National Commun - Session 2012 - Filière MP ?.3.? p Vi tesse limite : Lorsqueton atteint le régime permanent :v=vl=cte (vitesse limite). pExpression de la vitesse limite :v l=mg =g p E xpression de la constante du temps :=m 3.3 p

Applications numériques :v

l= 0,1

3 m:s-1;= 13,3m s; z

A() = 0,64mm

p

Commentaire: le temps caractéristique du régime transitoireest très faible, on peut négliger la durée de ce régime.

?.3.4 p Temps total de chuteTde l"aimant : On av(t)'vl, donc :T=Lv l= 11,5s p

Temps de chute libre (dans l"air)T?:T

?=q2Lg = 0,55s

pCommentaire:T?τT, l"amortissement par induction est plus important l"amortissement par les frottements de

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