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ROYAUME DU MAROC

Ministère de l'Éducation National, de l'Enseignement

Supérieur, de la Formation des Cadres

et de la Recherche Scientifique

Présidence du Concours National Commun 2011

Institut National des Postes et Télécommunications INPT

Concours National Commun

d'Admission aux Grandes Écoles d'Ingénieurs ou Assimilées

Session 2011

ÉPREUVE DE MATHEMATIQUES I

Durée 4 heures

Filière MP

Concours National commun - Session 2011 - MP

Épreuve de Mathématiques I

L"énoncé de cette épreuve, particulière aux candidats de lafilière MP, comporte 4 pages.

L"usage de la calculatrice estinterdit.

Les candidats sont informés que la précision des raisonnements ainsi que le soin apporté à la rédaction et

à la présentation des copies seront des éléments pris en compte dans la notation. Il convient en particulier

de rappeler avec précision lesréférences des questions abordées.

Si, au cours de l"épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d"énoncé, il le

signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu"il est amené à prendre. Étude de la somme d"une série de Fourier lacunaire quadratique

La fonctionqdéfinie, pour toutx?R, par

q(x) =∞? n=1e iπn2x iπn2 est étudie par Riemann il y a environ 150 ans, avec l"idée que cette fonction est continue sur Rmais nulle part dérivable. L"étude est poursuivie par Hardyqui prouve en 1916 que cette

fonction est non dérivable en toutx?R\{Q}. Il reste à étudier la dérivabilité enxrationnel et

c"est Gerver qui en 1970 réussit à trouver le résultat assez inattendu : la fonction est dérivable

en toutx?Q. Depuis, d"autres propriétés de cette fonction ont été étudiées, propriétés qui

analysent plus finement la régularité de cette fonction : en particulier son ordre de Holder local

et son spectre multifractal.

Le sujet a pour objet d"établir la dérivabilité de la fonctionqau point 1; il utilise des outils de

l"analyse complexe.

Le problème est composé de cinq parties; les deux premières parties ont pour objectif d"établir

la formule(2)qui sera utile dans la cinquième partie. Les trois dernièresparties du problème

s"enchaînent entre elles. 1

èrepartie

Formule sommatoire de Poisson

Soitg:R-→Cune application de classeC1telle que les applicationst?-→t2g(t)ett?-→ t

2g?(t), définies surR, soient bornées à l"infini, ce qui revient à dire que

g(t) =t→±∞O?1 t2? etg?(t) =t→±∞O?1t2? On lui associe la suite(gn)n?Nde fonctions définies par g

0(t) =g(t), gn(t) =g(t+ 2nπ) +g(t-2nπ)t?R, n?N?

1. Montrer que pour tout réelx, la fonctiont?-→g(t)e-ixtest intégrable surR.

Par définition, la transformée de Fourier degest la fonction notée?gdéfinie surRpar ?g(x) =? g(t)e-ixtdt, x?R. 1 / 5

Concours National commun - Session 2011 - MP

2. Montrer que la série de fonctions?

n?N?gnconverge uniformément sur tout segment deR.

3. On note?gla fonction définie, pour toutt?R, par?g(t) =∞?

n=0g n(t). (a) Montrer que la fonction?gest de classeC1surR. (b) Justifier que la fonction?gest2π-périodique et que ses coefficients de Fourier com- plexes sont donnés par c k(?g) =1

2π?g(k), k?Z

On remarquera que, pour toutt?R,?g(t) = limn→∞p=n? p=-ng(t+ 2pπ). (c) Montrer que les familles(g(2nπ)n?Net(?g(n)n?Nsont sommables et que leurs sommes vérifient la relation suivante, dite formule sommatoire de Poisson,

2π?

n?Zg(2nπ) =? n?Z?g(n). 2

èmepartie

Application de la formule sommatoire de Poisson

Pour tout réelα >0, on notehαla fonction définie, pour toutt?R, parhα(t) =e-α2t2.

1. Vérifier que, pour tout réelα >0, la fonctionhαsatisfait les hypothèses faites sur la

fonctiongdans la partie précédente.

Dans la suite, on notera

?hαla transformée de Fourier dehα,α >0; on admettra que?h1(0) =⎷

2. Montrer que la fonction

?h1est dérivable surRet qu"elle satisfait l"équation différentielle y ?+x

2y= 0(1)

3. Résoudre l"équation différentielle(1)et donner l"expression de?h1.

4. Montrer, pour toutα >et tout réelx,?hα(x) =⎷

αe-x24α2.

5. Montrer, pour tout réela >0, la relation

a?

1 + 2∞?

n=1e -πn2a? = 1 + 2∞? n=1e-πn2a.(2) 3

èmepartie

Un résultat général sur les fonctions holomorphes Siaetbsont des nombres complexes,γa,bdésigne le chemin du plan complexeCdéfini, pour notée[a,b]; c"est le segment du complexe d"extrémitésaetb. Pour la suite du problème, on noteraΩla partie deCdéfinie par

Ω ={z?C,Im(z)>0}

2 / 5

Concours National commun - Session 2011 - MP

1. Vérifier que pour tout(a,b)?Ω2,[a,b]?Ω, puis justifier queΩest un ouvert connexe par

arcs deC.Soitf: Ω-→Cune application continue, si(a,b)?Ω2, on définit l"intégarle curviligne defle

long du cheminγa,b, notée? a,bf(z)dzou simplementΦ(a,b), par

Φ(a,b) =?

a,bf(z)dz:= (b-a)? 1 0 f((1-t)a+tb)dt.

2. Soitafixé dansΩ; montrer que l"applicationΦa: Ω-→C,b?-→Φa(b) = Φ(a,b), est

continue surΩ.

3. Soitψla fonction définie, pour toutz?Ω, parψ(z) =

z; soientaetbdeux éléments distincts deΩ. Montrer que l"ensemble desc?Ωtels que? a,cψ(z)dz+? c,bψ(z)dz=? a,bψ(z)dz est soit une droite soit une demi-droite du plan complexe à préciser.

4. Dans la suite de cette partie,fest supposée holomorphe surΩ. Sixetysont des réels tels

quex+iy?Ω, on pose

P(x,y) =Re(f(x+iy)), Q(x,y) =Im(f(x+iy)).

(a) Rappeler les relations reliant les dérivées partielles ∂P (b) Soit(a,b,c)?Ω3. Montrer à l"aide des résultats du programme sur les formes diffé- rentielles que? ∂T +Pdx-Qdy=? ∂T +Qdx+Pdy,où∂T+désigne la frontière, orientée dans le sens direct, de la plaque triangulaireTdu planR2dont les sommets sont les affixes des complexesa,betc. En déduire? a,cf(z)dz+? c,bf(z)dz=? a,bf(z)dz. (c) Soita?Ωfixé; déduire de ce qui précède que la fonctionΦaest holomorphe surΩ

et que sa dérivée au sens complexe, notéΦ?a, vérifieΦ?a(b) =f(b)pour toutb?Ω; on

rappelle que a(b) = limc→bc?Ω\{b}Φ a(c)-Φa(b) c-b (d) On suppose que, pour toutb?Ω, la fonctionr?-→Φ(ir,b),définie sur]0,+∞[, admet une limite dansClorsquertend vers0+; on noteF(b)cette limite. Montrer que, pour tout(b,c)?Ω2,F(c)-F(b) = Φ(b,c), puis en déduire queFest holomorphe surΩet queF?=fsurΩ. 4

èmepartie

Étude d"un exemple

On noteexpla fonction exponentielle complexe. Siz?C\R-, on noteArg(z)l"élément de l"intervalle]-π,π[tel quez=|z|exp(iArg(z)); on pose alors Log(z) = ln(|z|)+iArg(z)et, pour toutλ?R, z

λ= exp(λLog(z))

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Concours National commun - Session 2011 - MP

La fonction Log est le logarithme principal défini surC\R-; on rappelle que les fonctionsexpet Log sont holomorphes surCetC\R-respectivement; leur dérivéesausens complexes vérifiant Log ?(z) =1 z, z?C\R-etexp?(z) = exp(z), z?C.

Soitλun réel fixé dans l"intervalle]-1,0[; on notefλla fonction définie, pour toutz?C\R-,par

f

λ(z) =zλexp(-i

z).

1. Justifier quefλest holomorphe surΩ.

2. Soitbun complexe fixé dansΩ. On noteJλ,bla fonction, définie pour toutr >0, par

J

λ,b(r) =?

ir,bf λ(z)dz.Montrer que la fonctionJλ,badmet une limite, notéeFλ,b, lorsquer tend vers0+et que F

λ(b) =bλ+1?

]0,1]tλexp(-i tb)dt.

On pourra utiliser le théorème de convergence dominée aprèsen avoir vérifié les conditions de

validité.

3. On noteGλla fonction, définie pour toutz?C, parGλ(z) =z-λ-2exp?i

z?Fλ(z). (a) Justifier que les fonctionsFλetGλsont holomorphes surΩet queF?λ=fλsurΩ. (b) Montrer que, pour toutz?Ω,Gλ(z) =1 zexp?iz? 1 u-λ-2exp? -iuz? du. 2. 5

èmepartie

Démonstration de la propriété proposée Pour tout entier naturel non nuln, on noteunla fonction définie, pour toutz?C, par u n(z) = exp(iπn2z).

1. Soitz?C; montrer que la série?

n≥1u n(z)converge si et seulement siz?Ω.

Dans la suite, on poseu(z) =∞?

n=1u n(z),z?Ω.

2. Montrer que, pour toutz?Ω,u(z+ 1) +u(z) = 2u(4z).

3. Pour toutn?N?et tout(x,y)?R×]0,+∞[, on pose

?un(x,y) =un(x+iy)et?u(x,y) =u(x+iy) (a) Montrer que pour toutk?N, la série de fonctions? n≥1nk?unconverge normalement surR×]0,+∞[pour touta >0. (b) Montrer soigneusement que la fonction?u, définie ci-dessus, possède en tout point de R×]0,+∞[une dérivée partielle par rapport àxet exprimer∂?u ∂x(x,y), pour(x,y)? R×]0,+∞[, sous la forme de la somme d"une série. 4 / 5

Concours National commun - Session 2011 - MP

(c) Montrer de même que la fonction?upossède en tout point deR×]0,+∞[une dérivée partielle par rapport àyet l"exprimer en fonction de∂?u ∂x(x,y). (d) Montrer que la fonctionuest holomorphe surΩ.

4. Partant de la formule(2)de la deuxième partie et moyennant un résultat sur les zéros

d"une fonction holomorphe, montrer que pour toutz?Ω, ?i z? 1/2 (1 + 2u(z)) = 1 + 2u? -1z?

5. Endéduireque,pourtoutz?Ω,u(1+z)+1

2=?iz?

1/2∞?

n=1? exp(-iπn24z)-exp?-iπn2z??

6. Montrer que la série de fonctions

n≥1u n iπn2converge normalement sur{z?C,Im(z)≥0} et que sa somme, notéev, est continue sur cette ensemble.

7. Montrer que, pour toutz?Ωet toutα >0, la série?

n≥1nF -1/2?αz

πn2?

est convergente, où F -1/2est la fonction définie dans la quatrième partie.

8. Pour toutz?Ω, on pose

v

1(z) =∞?

n=1u n(z) iπn2et w(z) =(iπ)1/22∞ n=1? nF -1/2?4zπn2? -2nF-1/2?zπn2? (a) Montrer que la fonctionv1est holomorphe surΩet quev?1=u. (b) On admet que la fonctionwest holomorphe surΩ; calculer sa dérivéew?, au sensquotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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