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Lycée Naval, Spé 2.

TD06 : bilans

Relation de Bernoulli

Bilan046. Tube de Pitot (*)

On considère deux tubes disposés sur un écoulement comme suit : le tube pié- zométrique est disposé sur la paroi de la conduite, et le tube de Pitot consiste en un orifice très petit faisant face à l"écoulement. On noteSla section droite de l"écoulement. Les deux extrémités hautes des tubes sont en contact avec l"atmosphère. On me- sure la montée de fluide dans les deux tubes :hAethB.hAh B vExprimer le débit de la rivière en fonction des données.

Réponse:Dv=Sp2g(hBhA)

Bilan014. Vidange d"un réservoir (**)

On considère un réservoir cylindrique de sectionSdisposant d"un orifice au niveau de sa base de sectionsSet fermé par un robinet.h0P 0P0 h(t)1.On ou vrele robine tet on supp osep ourl"i nstantqu"un système annexe maintient la hauteur d"eau fixée àh0. En utilisant la relation de Bernoulli dont on vérifiera les conditions d"appli- cation, montrer que la vitesse du jet en sortie vaut : v

0=p2gh0(t)

2. P artantd"une hauteur h0, on ouvre le robinet, le niveau d"eau baisse pro- gressivement dans le réservoir, on noteh(t)la hauteur d"eau à un instant quelconque.CommesS, on supposera que l"écoulement est quasi-stationnaire, la relation de Bernoulli reste alors applicable à chaque instant. (a) En expriman tla co nservationdu débit v olumique,mon trerque : S dhdt=sv(t)avecv(t)la vitesse en sortie du réservoir (b) En déduire la durée Tnécessaire pour vidanger le réservoir.

Réponses: 1 :v0=p2gh0; 2b :T=r2h0g

Ss

Bilans de quantité de mouvement

Bilan022. Jet d"eau sur une plaque (**)

Un jet d"eau est envoyé sur une plaque avec une vitessev, un débit massique D met un angle. F0D m1 D m2D mv 1 v

2plaquex

y O vαjet d"eauL"axeOzdésigne la verticale ascendante.

On effectue les hypothèses suivantes :

la v iscositéde l"eau ain sique les effets de la p esanteurso ntnégligés ; après l"impact sur la plaq ue,la vitesse de l"eau re stetangen teà celle-ci ; le jet inci dentse sépare en deux jets un idimensionnels,don tles vitesses so nt dans le plan d"incidence. 1. Déterminer les vite ssesv1etv2des jets en sortie. 2. Déterminer les débi tsmassiques Dm1etDm2en fonction deDmet. 3. En déduire en fonction de Dm,etv, la force~F0à exercer pour maintenir la plaque immobile. 4.

Étudier le cas particulier = 0.

Réponses: 1 :v=v1=v2; 2 :Dm1=Dm2

[1 + sin()],Dm2=Dm2 [1sin()]; 3 : ~F0=Dmvcos()~uy 1

Bilan015. Propulsion d"une fusée (**)

Dans le référentiel géocentrique supposé galiléen, on considère le mouvement de translation d"une fusée suivant l"axe(Oz)vertical colinéaire au champ de gravi- tation~g, supposé uniforme; on néglige la résistance de l"air. Au fur et à mesure de son ascension, la fusée éjecte vers l"arrière les gaz produits par réaction chimique entre le carburant et le combustible qu"elle transporte. Ces gaz sont éjectés avec une vitesse relativeupar rapport à la fusée et un débit massiqueDm. Ces deux grandeurs sont supposées constantes.v(t) g Oz v(t+dt) t t+dt M(t)

M(t)+dM

-dMÀ vide, la masse de la fusée vautM0et la masse initiale du mélange combustible est notéem0. 1. En considéran tle sy stèmefer méconst itué,à l"inst antt, par la fusée et son contenu, effectuer un bilan de quantité de mouvement. Montrer que la vitesse de la fusée vérifie l"équation différentielle : (M0+m(t))dvdt=(M0+m(t))g+Dmu avecm(t)la masse de mélange encore dans la fusée à l"instantt. 2. Mon trerque le d ébitdoit dépasser un ev aleurcritique Dm;0pour que la fusée puisse décoller. 3. Déterminer l"expression de la vitesse vflorsque tout le mélange combustible a été consommé.

Réponses: 2 :Dm> Dm;0=(M0+m0)gu

; 3 :vf=gm0D m+ulnM0+m0M 0

Bilans énergétiques

Bilan024. Principe d"une éolienne (***)

On étudie le principe de récupération par une éolienne de l"énergie cinétique transportée par le vent. Dans tout le problème, l"air atmosphérique sera assimilé à un fluide parfait et incompressible de masse volumique= 1;25 kg:m3. De plus,

on se place dans une zone où l"on suppose le vent régulier c"est à dire modélisable,loin de tout obstacle, par un écoulement permanent et unidirectionnel uniforme

de vitesse~v0=v0~ux.

Première Partie. Puissance du ventLa puissance du vent est définie comme la puissance récupérable par une surface

planeSplacée dans le flux du vent. On considère un écoulement de vitessev0et de masse volumique 1. Déterminer la masse d"air qui v atra verserla surfa ceSpendantdt. 2. En déduire l" énergieciné tiqueasso ciéeà cette masse d "airet Pvla puissance du vent.

Deuxième Partie. Étude de l"écoulementDans toute la suite, on travaillera dans le référentiel terrestre supposé galiléen

et on négligera l"effet de pesanteur sur les particules fluides.L"étude est basée sur une théorie simple de l"hélice adaptée par Betz pour les

éoliennes. Dans cette théorie l"hélice, pratiquement assimilée à un disque plan de surfaceS, est placée perpendiculairement à la direction de l"écoulement. On suppose connu le tube de courant contenant le fluide traversant l"hélice. Ce tube de courant, représenté sur la figure ci-après, possède une symétrie de révo- lution autour de l"axexx0et une section droite circulaire d"aireS(x)variable. Dans la zone extérieure à ce tube de courant, l"écoulement est supposé non per- turbé par la présence de l"hélice (vitesse~v0et pression atmosphériqueP0). À l"intérieur du tube de courant, l"écoulement est toujours supposé permanent et unidirectionnel (vitesse et pression uniformes sur toute la section droite du tube, le vecteur vitesse étant supposé en tout point orthogonal à la section droite du tube). Les surfaces d"entréeS1et de sortieS2sont suffisamment éloignées de l"hélice 2 pour supposer que la pression est égale à la pression atmosphérique. La vitesse du fluide à l"entrée du tube est égale à~v0. Sur toute section droite du tube, on notera~v(x)la vitesse d"écoulement. À la traversée du plan de l"hélice, les particules subissent une discontinuité de pression P=PBPA. En revanche la vitesse des particules de fluide est supposée continue à la traversée de ce plan. 1. Bilan de masse (a)Définir et exprimer en fonction de ,S(x)etv(x)le débit massiqueDm à travers une section d"aireS(x)du tube de courant placée à l"abscisse x. (b) Commen tse traduit la conserv ationde la masse dans le cas d"un écou- lement permanent? (c) En déduir edeux relations lian tla vitesse de sortie vsdu tube, la vitesse vau niveau de l"hélice,S,S1,S2etv0. (d) Justifier l"augmen tationde la section du tub ede couran tdans le sens de l"écoulement de l"air (Cf. figure). 2.

Bilan de quan titéd emouv ement(a)On considère comme surface de con trôlele v olumedélimité par le tub e

de courant et les sectionsS1etS2. En effectuant un bilan de quantité de mouvement, déterminer la force~Fexercée par l"hélice sur le fluide en fonction de~v0,~vset du débit massiqueDm. (b) On considère main tenantcomme surface de con trôlele v olumedélimité par les sections voisinesSAetSBd"aire communeS. Les pressions sur ces sections valent respectivementPAetPB. En effectuant un nouveau bilan de quantité de mouvement, exprimer la force exercée par l"hélice sur le fluide en fonction dePetS. (c)

Déduire des deux bilans p récédents:

SP~ex=Dm(~vs~v0)

3. Bilan énergétique (a)Rapp elerla relation de Bernoulli et ses conditions d"utilisation. (b) Appliquer cette relation p ourune ligne de couran tallan tde S1àSA, puis sur une ligne de courant allant deSBàS2. (on note~vla vitesse du

fluide au niveau des sectionsSAetSB)(c)En déduire que la discon tinuitéde pression p euts"écrire :

P=12 v2sv20 Cette discontinuité de pression correspond, en valeur absolue, à la perte de charge à la traversée du plan de l"hélice. 4. Rendemen tde l"éolienne (a)Mon trerque la vi tessedu fluide au v oisinagede l"hélice v aut: v=12 (v0+vs) (b) Mon trerque la f orceexercée par le fluide sur l"hélices"écrit : Ff=S2 v20v2s~ux Pour la suite, on admet que la puissancePhreçue par l"hélice est égale au produitFfv. (c) On définit le rendemen tde l"hélice comme le rapport de la puissance qu"elle reçoit à la puissance cinétique reçue, en l"absence d"hélice, par une sectionS(la puissance du vent) :=PhP v. i.

Exprimer en fonction du rapport=vsv

0. ii. Mon trerque a une valeur maximalem(appelée facteur de Betz de l"éolienne) pour une certaine valeurque l"on calculera. iii.

Calculer m.

Réponses:

Première Partie: 1 :m=v0dtS; 2 :Pv=v30S2

Deuxième Partie: 1a :Dm=S(x)v(x); 1c :v0S1=vS=vsS2; 2a :~F=Dm(~vs~v0); 2b : ~F=SP~ux; 3b :12 v20+P0 =12 v2+PA ;12 v2+PB =12 v2s+P0

4c(i) :=12

12(1 +); 4c(iii) :m=1627

0;59.

Bilan018. Échangeur à contre courant (***)

Deux liquidesL1(chaud) etL2(froid) s"écoulent en sens inverse dans deux cana- lisations jointives. La position le long de la canalisation est repérée par l"abscissex, comprise entre

0(pointA) etL(pointB).

3 L1 L 2T 1AT1B T

2AT2BL0xLe liquideL1, de capacité thermique massiquec1, circule deAversBavec un

débit massiqueD1. On appelleT1(x)la température du liquideL1à l"abscissex.

De même, on définitc2,D2etT2(x)pourL2.

L

1pénètre enAà la températureT1Aconnue, et ressort enBà la température

T 1B. L

2pénètre enBà la températureT2Bconnue et inférieure àT1A, et ressort enA

à la températureT2A.

Le but est d"obtenir une valeur deT2Aaussi proche que possible deT1A. Les échanges thermiques entre les deux canalisations sont supposés obéir à une loi linéaire : la puissance thermiquePcédée parL1àL2au niveau d"une tranche de longueurdxest égale àP=G(T1T2)dx. On ne tient pas compte de la conductivité thermique des fluides. 1. Écrire les deux équations différen tiellescouplées en T1(x)etT2(x). 2. Déterminer T2Adans le cas oùD1c1=D2c2=Dc(on posera=Dc=G). 3. Vérifier qualitativ ementle srésulta tsen faisan tv arierles paramètres L,D, cetG. Réponses: 1 :D1c1dT1dx=G[T1(x)T2(x)],D2c2dT2dx=G[T1(x)T2(x)];

2 :T2A=

T 2B+L T1A 1 +L

Bilan004. Pompage d"un bac dans un autre (**)

On pompe de l"eau, avec un débit volumiqueQ, depuis un réservoir 1 dont la surface est à l"altitudezvers un réservoir 2 identique, mais à l"altitudez+ z. On connaît la perte de charge totale égale à une hauteur équivalentehv. Δz1.Donner l"expression de la puissance requi sep ourla p ompe. 2.

A.N. : z= 20m,hv= 5;0m,Q= 5;0 Ls1.

Réponses: 1 :Ppompe=Qg(z+hv).

Bilan067. Effort sur une lance à incendie (**)

L"embout d"une lance d"incendie a un diamètre intérieurD2= 10cm. Il est vissé à un tube cylindrique de diamètre intérieurD1= 20cm. Quand l"embout est ouvert à l"air libre, la lance d"incendie débiteQ= 40litres d"eau par seconde. v1v 2 D 2D

1d"incendie

lancepas devis arrivée d"eau diamètreair ambiant diamètreCalculer la force ~Fà laquelle doit résister le pas de vis quand l"embout est ouvert.

On négligera la pesanteur.

Réponse:~Feau!lance=

0Q(v2v1) +P04

D21D22+0D218

v22v21 ~u x k ~Feau!lancek= 2;6 kN

Pour aller plus loin

Bilan048. Étude d"un écoulement (***)

On étudie dans un premier temps un écoulement incompressible et stationnaire d"eau (masse volumiqueet viscosité dynamiqueuniformes et constantes) sur un plan incliné faisant un angleavec l"horizontale (cf. figure 3). On notehl"épaisseur du film liquide à l"abscissex, supposée uniforme et constante et on cherche un champ des vitesses de la forme~u(M) =u(x;z)~ex. 1. L"écoulemen tétan tinco mpressibleet ho mogène,mon trerque le c hampdes vitessesu(x;z)ne dépend en fait pas dex. ez e x θe

Zfig 3.

4

2.On admet que la pressio nest une simple fonction d ez.

En considérant l"équilibre selonOzd"une couche de fluide d"épaisseurdzet d"aire de basedS, exprimerP(z)le champ des pressions dans la couche de fluide en fonction deh,z,,g,etP0, la pression imposée par l"atmosphère

à l"interface.

3. En s"in téressanttoujours à une couc hede fluide située en trezetz+ dzet d"aire de basedS, à l"aide d"un bilan de forces selon la direction du mouve- ment, établir l"équation différentielle vérifiée par le champ des vitessesu(z). En déduire l"expression deu(z)en fonction dez,g,, de la viscosité ciné- matique==et de deux constantes d"intégration. 4. Quelle est la condition aux limites imp oséepar l eplan incliné en z= 0? On admettra que l"absence de viscosité pour l"air revient à ajouter la condition aux limites : @u@z (z=h) = 0 5. A cheveralors la détermination de u(z)en fonction de,g,==,zeth. 6. En déduire que le débit v olumiquep ourune profondeur bselon~eyvaut : q=gsin()h3b3

Réponses: 2 :P(z) =P0gcos(zh); 3 :u(z) =gsin

z 22
+Az+B;

5 :u(z) =gsin

z 22
+gsin hz.

Bilan026. Microcentrale hydraulique (***)

On considère une microcentrale constituée d"une retenue d"eau, d"une première conduite,Ca, peu inclinée, d"une cheminée d"équilibre, d"une seconde conduite, C b, très inclinée, puis d"une turbine. On noteP0la pression atmosphérique, aussi bien au niveau de la retenue d"eau qu"au niveau de la sortie d"eau de la turbine.

Les conduites:

La conduiteCaest de longueurLa= 60 m, de diamètre intérieureDa= 0;30 m, et l"eau y a une vitesse débitanteUa= 1;2 ms1. La conduiteCbest de longueurLb= 87 m, de diamètre intérieureDb= 0;20 m, et l"eau y a une vitesse débitanteUb= 2;7 ms1. La sortie de la turbine comporte un diffuseur, son diamètre d"entrée estDbet son diamètre de sortie estDd= 0;3 m.zh z ch z 0C a C bg z 2z grille rétrécissementcoude 1 coude 2 diffuseur turbinecheminéeOn noteP0la pression atmosphérique, aussi bien au niveau de la retenue d"eau qu"au niveau de la sortie d"eau de la turbine.

Les conduites:

La conduiteCaest de longueurLa= 60 m, de diamètre intérieureDa= 0;30 m, et l"eau y a une vitesse débitanteUa= 1;2 ms1. La conduiteCbest de longueurLb= 87 m, de diamètre intérieureDb= 0;20 m, et l"eau y a une vitesse débitanteUb= 2;7 ms1. La sortie de la turbine comporte un diffuseur, son diamètre d"entrée estDbet son diamètre de sortie estDd= 0;3 m.

Les pertes de charge singulières:

On rappelle que le coefficient de perte de charge singulière est défini par : =2PtotU 2 Pour la grilleg= 1;75; pour le rétrécissementr= 0;079(valeur ramenée à la vitesse débitante de la conduiteCb); pour les deux coudes1= 0;47et2= 0;55; pour le diffuseurd= 0;18(valeur ramenée à la petite section)

Les pertes de charge régulières:

On rappelle que le coefficient de perte de charge régulière est défini par : =2DPtotLU 2; avecDle diamètre etLla longueur de la conduite. Pour les conduites, les pertes de charge régulières valent : a= 15103etb= 16103. 5

Données:

= 1;0103kgm3,= 1;0103Pas,g= 9;8 ms2etzhz0= 89m. 1.

La loi de Hagen-P oiseuilleest-elle applicable ?

2. Déterminer le débit v olumiqueDvdans chacune des conduites. Commen- taire. 3. En négligean tla totalité des p ertes,quelle sera itla puissance mécanique maximale récupérable par la turbine? Application numérique. 4.

Niv eauxd"eau :

(a) On ap pelleP1la pression au sommet de la retenue d"eau etP2la pression au niveau du rétrécissement. Compte tenu des pertes de charge, exprimer P

1en fonction deP2.

(b) On app elleP3la pression au sommet de la cheminée, exprimerP2en fonction deP3. (c)

En déduire zhzch.

5.

Puissance récup érable:

La turbine a un rendementt= 0;82.

(a) On app elleP4la pression en entrée de la turbine etP5la pression en sortie de la turbine. En appliquant le premier principe industriel, montrer que la puissance mécanique récupérable a pour expression :

P=tDv(P4P5)

(b)

Mon trerque P4etP5ont pour expression :

P

1=P4+g(z0zh) +U2a2

g+aLaD a +U2b2

1 +r+1+2+bLbD

b P

5+U2b2

=P0+U2a2 +d12 U2b (c)

Calculer la puissa ncerécup érable.

Réponses: 2 :Dva=Dvb= 85 Ls1; 3 :Pmax=Dvg(zhz0) = 74 kW;

4(a) :P1=P2+g(z2zh) +U2a2

g+aLaD a +U2b2 (1 +r)

4(b) :P2=P3+g(zchz2); 4(c) :zhzch=U2a2g

g+aLaD a +U2b2g(1 +r)

5(c) :P= 58 kW.Bilan027. Ressaut hydraulique (***)

On modélise un ressaut hydraulique dans un écoulement unidimensionnel et per- manent qui s"effectue le long de l"axe(Ox). On appelleLla largeur du canal selon l"axeOy. Le fluide est supposé incompressible. On note avec un indice 1 les grandeurs en amont et avec un indice 2 les grandeurs en aval du ressaut.h1h 2 xquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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