[PDF] équations différentielles avec Scilab début 1 Vitesse de chute avec

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C.R. TP S2 : equations dierentielles avec Scilab, debut

1 Vitesse de chute avec dierents frottements

uides scf(0) clf() v0=0 t0=0 g=9.81 lambda=1 t=0:0.01:10 for alpha=1:3 function vp=f(t,v) vp=-lambda*v^alpha+g endfunction v=ode(v0,t0,t,f) plot2d(t,v,alpha)// le parametre alpha fixe aussi la couleur : 0 noir, 1 bleu, 2 vert endRemarque 1 :On a pris=1. La dimension dechange suivant l'exposant. Le choix=1 pour les trois equations n'est pas forcement coherent du point de vue physique : pour le m^eme objet, quandchange,risque bien de changer aussi. Remarque 2 :Ce que vous faites en T.P. de physique est plut^ot le processus inverse : vous disposez d'une courbe experimentale, et vous chercher quel exposantmodelise le mieux le frottement.

2 Etude d'un tir balistique avec dierents frottements

uides

2.1 Le cas ou il n'y a pas de frottement du tout : les paraboles et la

parabole de securite a) Par integration : z(t)=-gt22 +v0sin()t b)Remarque :On s'interesse a la partie de la trajectoire obtenue avant que l'obus ne touche le sol, autrement dit (en supposant le sol plat), pourz≥0. 1 On peut donc delimiter l'intervalle de temps qu'on veut tracer en resolvant l'equationz(t)=0 outre la solution evidentet=0 a pour solutiontf=2v0sin()g

Ainsi le code :

scf(0) clf() alpha=%pi/6 g=9.81 i=0 // va servir d'indice de couleur for v0=1000:100:1500 // v0 nombre qui parcourt les 6 valeurs.. tf=2*v0*sin(alpha)/g t=0:0.1:tf // tableau des t i=i+1// indice couleur x=v0*cos(alpha)*t z=-g*t.*t/2+v0*sin(alpha)*t plot2d(x,z,i) end Donne le resultat :Noter que la portee de nos canons va jusqu'a 200 km. c) Cette foisv0est xe et l'anglevarie. scf(1) clf() v0=1000 g=9.81 for i=1:10 alpha=i*%pi/20 tf=2*v0*sin(alpha)/g t=0:0.1:tf x=v0*cos(alpha)*t z=-g*t.*t/2+v0*sin(alpha)*t plot2d(x,z,i) end 2 d) Pour chaque, la hauteur maximum est atteinte lorsquez′(t)=0 i.e-gt+v0sin()=0, donc au tempst=v0sin()g . Il sut donc de rajouter le trace du point correspondant en rajoutant les lignes (dans la bouclefor) (bien s^ur il serait plus joli informatiquement, puisqu'on les utilise deux fois de creer les fonctionst↦x(t)ett↦z(t)). tM=tf/2 xM=v0*cos(alpha)*tM zM=-g*tM.*tM/2+v0*sin(alpha)*tM plot(xM,zM,"r*") ce qui donne : Moralite :la courbe des max. n'est clairement pas la courbe de securite cherchee! Elle ne nous met pas a l'abris des tirs. e)Une meilleure idee : (i) Le systeme z=-gt22 +v0sin()tequivaut a :⎧

0cos();

z=-g2 x 2v

20cos2()+tan()x.

Via la relation 1?cos2()=1+tan2()on a l'egalite de l'enonce entrezetx. N.B.Mathematiquement, l'implication?entre les deux systemes dit que tous les points (x(t);z(t))sont sur le graphe a?z=-g2v20x2(1+a2)+axi.e. une inclusion entre les courbes. 3 L'implication reciproque donne l'autre inclusion, en prenant la valeur detcorrespondante a x. (ii) Pour l'equation du second degre d'inconnueadonnee par l'enonce : a

2(-g2v20)x20+ax0-g2v20x20-z0=0;

le discriminant de cette equation d'inconnueas'ecrit : =x20-(gv

20x20+2z0)gx20v

20: N.B.La constanteg?v20est homogene a l'inverse d'une longueur ce qui aide a comprendre ce calcul. On poseg?v20=1?L.

Alors =0?z0=L2

-12Lx20, equation d'une parabole. On peut alors la tracer en rajoutant le code suivant apres la bouclefor

L=v0^2/g

x=0:10:100000 // borne un peu grossiere qu'on peut ameliorer z=L/2-x.*x/(2*L) plot2d(x,z)2.2 Frottement uide proportionnel a la vitesse Par integration des equations pour la vitesse donnees par l'enonce, avec les C.I.x(0)=0 et z(0)=0, on obtient :⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩x(t)=v0cos()(1-e-t?); z(t)=(v0sin()+g)(1-e-t?)-gt: La encore on peut delimiter le domaine du temps qui nous interesse tres precisement, en ne gardant que lesttels quez(t)≥0. Cette fois comme l'equation esttranscendanteon la fait resoudre numeriquement a Scilab avec fsolvece qui nous fait aussi programmer la fonctiont↦z(t)avec la commandedeff. a) En faisant varier la vitesse de 100 a 500, avec le code : scf(0) clf() g=9.81;k=0.1;i=0; for v0=100:100:500// vitesse en m.s^-1 alpha=%pi/6 m=140 4 tau=m/k tf=fsolve(10,f) // pour avoir le temps correspondant au point d'impact t=linspace(0,tf,50) x=tau*v0*cos(alpha)*(1-exp(-t/tau)) z=f(t) i=i+1 // indice couleur plot2d(x,z,i) end On obtient des courbes tres semblables au cas sans frottement, elles vont justemoins loinque dans le cas du 2.1. a).b) Au a)est tres grand=1400sce qui explique que le terme en⃗v qui correspond au terme de frottement, in

uence peu l'allure du mouvement. On recommence ici avec=1.Remarque :par rapport aux paraboles, la courbe reste plus≪droite≫au debut, puis tombe plus

brusquement≫. En reduisant un peu la vitesse initiale, on voit mieux la courbe : 5

2.3 La ou on a besoin deode: frottements

uides plus eleves a)Determination de la fonctionFen question.

CommeX′(t)=⎛

⎝x ′(t) z ′(t) x ′′(t) z ′′(t)⎞ ⎠, et qu'on veut⎛ ⎝x ′(t) z ′(t) x ′′(t) z ′′(t)⎞ ⎠=F(t;⎛ ⎝x(t) z(t) x ′(t) z ′(t)⎞ ⎠, on denit donc :

F(t;⎛

⎝x 1 x 2 x 3 x

4⎞

⎝x 3 x 4 -x3?x

23+x24

-x4?x

23+x24-g⎞

EnSciLab, le code correspondant est avec=1 etg=9;81 function Xp=f(t,X)

Xp(1)=X(3);

Xp(2)=X(4);

Xp(3)=-sqrt(X(3)^2+X(4)^2)*X(3);

Xp(4)=-sqrt(X(3)^2+X(4)^2)*X(4)-9.81

endfunction b)Resolution du systeme(S)ci-dessus avecode. v0=10 alpha=%pi/3 X0=[0;0;v0*cos(alpha);v0*sin(alpha)]// vecteur C.I.vertical t=0:0.01:10

X=ode(X0,0,t,f)

zoom_rect([0,0,1.5,4]) // X contient 4 lignes et autant // de colonnes que t plot2d(X(1,:),X(2,:)) c)Trace de la courbe parametreet↦(x(t);z(t)).(Mis dans le code precedent) 6 Trace des deux courbes simultanees : frottement envet env2avec=1 (M^eme reserve sur la coherence des constantes qu'au paragraphe 1).3 Oscillateurs

3.1 Comparaison pendule simple, Oscillateur harmonique

clf() g=9.81 l=0.5 omega0=sqrt(g/l) function Yp=F(t,Y);

Yp(1)=Y(2)

Yp(2)=-omega0^2*Y(1)

endfunction t0=0

Y0=[1;0]// C.I.

t=0:0.01:10

Y=ode(Y0,t0,t,F)

plot2d(t,Y(1,:)) function Yp=Pendule(t,Y) 7

Yp(1)=Y(2)

Yp(2)=-omega0^2*sin(Y(1))

endfunction

P=ode(Y0,t0,t,Pendule)

plot2d(t,P(1,:),5) Avec le resultat pour un temps de 10s.3.2 Portrait de phase

3.2.1 Pour l'O.H.

On a dit en cours comme declarer la fonction pour resoudre l'E.D. de l'O.H. Pour obtenir un portrait de phase, une boucleforsut : scf(0);clf() g=9.81; l=0.5; omega0=sqrt(g/l) function Yp=F(t,Y);

Yp(1)=Y(2)

Yp(2)=-omega0^2*Y(1)

endfunction t0=0 t=0:0.01:10 for y0=1:5

Y0=[y0;0]// vecteur C.I.

Y=ode(Y0,t0,t,F)

plot2d(Y(1,:),Y(2,:),y0) end qui donne : 8

3.2.2 Portrait de phase du pendule simple

scf(1);clf() g=9.81;l=0.5;omega0=sqrt(g/l) //omega0=2*%pi function Yp=F(t,Y);

Yp(1)=Y(2)

Yp(2)=-omega0^2*sin(Y(1))

endfunction t0=0 t=0:0.01:3; for yp0=1:0.5:13

Y0=[0;yp0]

Y=ode(Y0,t0,t,F)

plot2d(Y(1,:),Y(2,:),yp0) end zoom_rect([-5,-8,10,14]) 9 Sur le graphique, lavitesse critiquequi permet de faire un tour complet est evaluee autour de entre 8 et 9rad:s-1. Pour l'obtenir par le calcul, on considere l'integrale premiere proportionnelle a l'energie : E=12 ′(t)2-!20cos((t)).

Ici, vu la C.I.(0)=0, on aE=12

′(0)2-!20. Dans le cas d'un mouvement oscillant, la vitesse angulaire′s'annule au moment ou le pendule est au sommet de sa trajectoire. Dans le cas d'un mouvement de revolution complet,′ne s'annule plus. Mathematiquement :′(t)2=(0)2-2!20(1-cos((t))). Comme 1-cos((t))?[0;2],′(t)ne s'annule plus des que(0)2>4!20. Donc lavitesse critiquevaut 2!0. Ici on trouve donc 8:85rad:s-1. Bien s^ur, on aurait pu tracer plus de courbes entre 8 et 9 pour preciser cette vitesse.

3.2.3 Pour le pendule simple amorti

Le code est identique a part la declaration de la fonction, changer la ligne :

Yp(2)=-Y(2)-omega0^2*sin(Y(1))

En revanche, il est interessant de prendre un temps plus long et davantage de vitesses initiales (plus grandes). Toutes les trajectoires nissent par s'enrouler autour d'un point, mais y mettent 10 plus ou moins de temps suivant la vitesse initiale.

3.3 Un autre point de vue dans le cas non amorti

Dans ce cas, les trajectoires dans l'espace des phases sont incluses dans les courbes d'energies constantes. On peut donc aussi faire tracer aSciLables courbes d'energie constantes. A une constante multiplicative pres cette fonction energie vaut : E=12 ′(t)2-!20cos((t)) On peut tracer dans le plan des phases (coordonnees;′) les courbes d'energies constantes appelees aussilignes de niveauxde la fonction energie. Une facon de faire est d'attribuer une couleur dierente aux points de coordonnees(;′)en fonction de la valeur deE(;′).

3.3.1 Trace de la surfaceE=12

′(t)2-!20cos((t)): en coord.;′;E

On peut utiliser la commandesurf.

La commandesurftrace une surface d'equationz=f(x;y)dans l'espace. Sa syntaxe estsurf(x,y,z)ouxetysont des vecteurs contenant les nombres en abs. et en ordonnees respectivement, mais attention : zest unematricetelle quez(i,j)=f(x(i),y(i).

Deux facons d'obtenirz:

?Utiliser la fonctionmeshgridqui a partir deux vecteursx, yfabrique des matricesX, Ytelles queX(i,j)=x(i)etY(i,j)=y(j). On peut ensuite combiner ces matrices pour calculer la matricezsouhaitee ci-dessus. ?(Plus simple ici) : utiliserfeval. 11quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

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