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54CHAPTER2.TP

Matlab:applicationsen m´ecanique

LA207,Unive rsit´ePierreetMarieCurie.

2.3TP3:Newton etla balledeping-p ong

Newtond´ ecritdansles"principia",unedespremi`eres math´ ematisations d'uneloide laph ysique,lesec ondprincipe deladynamique,quiditque un corpssoumis` ade sforcesestentraˆ ın´edansunmouv ement:la sommedes forcesappliqu´ eesest´egale`alamasse foisl'acc´ el´eration.Aveccette loi,une foisadmisque lescorps c´eleste sexercent lesunss urlesautresdesforces d'attraction,on peutcomprendre etpr´edirelemouv ementde s´etoiles, des plan`etesetdeleurssatellites.La balledeping-p ongelleaussi estsoumise `acetteloi.Entre lesreb onds,laseule forceappliqu´eeestson poids,et pendantlerebond,lar ´eactiondu supportjoue.Ilya aussid'autresforce s, dontl'actionestmoinspr ´ep ond´eran te:lese ffortsdusau d´ eplacementde l'air:effortsa´ erodynamiques,eteffortsded ´eformation delaballependant lerebond. DansceTP ,nousallons utiliserlaphotodurebond delaballe deping- pongcommeuneexp´ erimentation physiquep ourv´erifierlaloideNewton, etestimer lespertes´energ ´etiquesau coursdumouvement.

Comp´etencestechniques:

2.3.TP3:NEWTON ETLA BALLEDEPING-PONG 55

•Mesurerlap ositionde pointssuruneimage. •Calculdela vitesseet del'acc´ el´eration `apartir desp ositionssucces- sives. •Tracerunetrajectoireth ´eorique, enprenantencompte lesrebonds. Donn´ees:Massedelaballe:m=5gramme s;largeuret hauteurd'unpixel del'image:dx=1.7 millim` etre;Interv alleentrelesprisesdevue:dt=0.04 secondes;Acc´ el´erationdelagravit´e:g=9.8m`etresparsecondeau carr´e.

2.3.1Manipulations

1.L'imagedela ballede ping-pongest stock ´eesur ledisqueavecp our

nomdefic hier:pingpong.jpg.Chargezla dansmatlaba vecla com- mandeimread,puisa ffichezl`a,av eclacommandeimage.

2.Al'aidede l'outilgraphique d'´etiquetage ,mesurezsur l'imagela

positionducentrede laballeaux tempssuccessifsquev ouss tock erez dansdeux tableauxxety.Tracez legraphiquedelatra jectoireav ec lafonctionplot.

3.Calculezlev ecteurvitesse: lavitesseselonxpouruntempsdonn´ e,

peutˆetrecalcul´ eecommelaposition selonxautempssuiv ant moins laposition selonxautempspr ´ec ´edent,divis´eparl'intervalledetemps entrecesdeuxinstants : v x (t)≈ x(t+dt)-x(t-dt) 2dt

Tracezlegraphdela vitessev

x selonxetv y selonyenfonctiondu temps.

56CHAPTER2.TP

4.Oncalculel'acc ´e l´eration.Pourlacalculer,onsesouviendraquel'acc´el´eration,

c'estla"vitesse dela vitesse".T racezlegraph del'acc´ el´erationselon xetselonyenfonctiondu temps.A quoiest´ egalel'acc´ el´eration ver- ticale?Aquoi est´egale l'acc´el ´erationhorizon tale?Quesepasse-t'il lorsdesreb onds?

2.3.2Etude

L'´energiem´ecaniquedenotreballe, c'estlasommedel'´energiecin´ etique E c =m?v? 2 /2etde l'´energie poten tielleE p =mgy.Aucours dumouve- ment,l'´energiep eutˆetretransf´er´eede l'´energiecin´ etiqueversl'´energie po- tentielleetr´ eciproquement, parcontre,s'iln'yapasdefrottement,l'´energie totaleresteconstan te. Tracezungraphquimon trecommen tles´ energiesvarien tdansletemps. Grˆace`ace graph,analysezlespertesd' ´energiede notreballe.P ourcela, posez-vouslesquestions:l'´energie est-elleconstante oupas?Quels sontles effetsphysiques quipeuvent fairevarier l'´energie?Quesepasse-t'illorsdu rebond? V´erifiezquelecoefficientαderestitution d'´energielorsdu rebondestle mˆemepourtouslesreb onds:´energieapr`es lerebond= αfoisl'´ energieavant lerebond.

2.3.3Pour allerplusloin

Nousvoulons maintenantcomparerla trajectoiremesur´eeavec unetrajec- toireth´ eoriquequiob´eit`ala loideNewton. Onvaprendreencomptela perted'´energiep endantlerebond,maispaslar ´esistancea´erodynamique.

Selonlaloi deNewton,la trajectoireest

x(t)=x 0 +v x t,y(t)=y 0 +v y t-gt 2 /2 avec(x 0 ,y 0 )et( v x ,v y )les positionetvitesseinitiales delaballe.Ecrivez unefonctionrebondfoncquitracela trajectoire delaballe pour(x 0 ,y 0 et(v x ,v y )donn´ es.Cettefonctiondonneraenargumentsde sortieletemps Tauquellaballe touche lesol (y(T)=0) etlavitess e( v x (T),v y (T))etla positiondelaballe( x(T),y(T))`a cetinstantT. Tracezsurungraphique lasup erpositiondes trajectoire spour x 0 0,y 0 =1,et ?v?=10,ou lavites seinitialefait unangleθavecl'horizontale. Vousprendrezplusieursvaleurs pour θentreπ/2et-π/2.

2.3.TP3:NEWTON ETLA BALLEDEPING-PONG 57

Comparaisonmesures/th´ eorie:lorsd'unrebond,lavitessec hangecomme ceci: v x →α×v x ,v y →-α×v y c'est`a dire,lesdeuxcomposan tesdela vitessesont multipli´ eesparlefacteur derestitutionα,etla vitesseselon ychangedesigne.Utiliserv otrefonc- tionrebondfoncpourcomparerlatrajectoire mesur´ee avec latrajectoire th´eoriqueenprenantun facteurderestitution α=2/3. Pourfinir,cr´eez unefigure surlaquelleonvoittouslesr´ esultats` alafois avecdessubplot:l'imageexp ´erimentale, latrajectoiremesur´eecompar´ee aveclatrajectoireth´ eorique,l'´ evolutiondes´energieset lestrajectoiresbal- istiquesav eclafonctionrebondfonc.

58CHAPTER2.TP

TP3:correction

Surlafigure ci-dessous,il yatous lesr´ esultatsattendus. Legraphen bas`a gaucheestceluiqu'on obtient`alafin delapartie "Etude",lorsde lapartie"P ouraller plusloin",onobtientle graphenbas `adroite des trajectoiresbalistiques,etlacourbebleue surlegraph enhaut `adroite. Cettefigureest g´ en´er ´eeparlescriptsuivant: %pourle TPdurebond dela balle clear clf %param`etres dx=0.0017; dt=0.04; ymax=394; m=0.005; g=9.81; %affichagede l'image subplot(2,2,1); a=imread('pingpong.jpg'); image(a) xlabel('X(pixels)');ylabel('Y (pixels)');title('Image')

2.3.TP3:NEWTON ETLABALLE DEPING-PONG59

%lespoints demesure x=[12,49,84 120153 185216238 259279299 ...

320339360 380399418 436454 471487...

503520537 553570586 602618 635651667 682697];

y=[2564112 167232305 386326 269222...

185158141 132134144 164190 228273326 ...

389340298 264241 228223229 242264295 335383];

%mise` al'echelle x=dx*x; y=dx*(ymax-y); %ontrace latrajectoire subplot(2,2,2); plot(x,y,'r*-'); xlabel('x');ylabel('y'), title('trajectoire') n=length(x); tvec=0:dt:(n-1)*dt; %calculde lavitesse vx=zeros(1,n); vy=zeros(1,n); forind=2:n-1 vx(ind)=(x(ind+1)-x(ind-1))/(2*dt); vy(ind)=(y(ind+1)-y(ind-1))/(2*dt); end %calculde l'acceleration ax=zeros(n,1); ay=zeros(n,1); forind=3:n-2 ax(ind)=(vx(ind+1)-vx(ind-1))/(2*dt); ay(ind)=(vy(ind+1)-vy(ind-1))/(2*dt); end %energiecinetique etpotentielle ec=m*(vx.^2+vy.^2)/2; ep=m*y*g; %ontrace lesenergies subplot(2,2,3) legend('energietotale','energiecinetique','energie potentielle');

60CHAPTER2.TP

%%%%%%%%trajectoiresbalistique: %avecla fonctionrebondfonc.m subplot(2,2,4); thetavec=linspace(-pi/2,pi/2,20); v=10; forind=1:length(thetavec); theta=thetavec(ind); vvx=v*cos(theta); vvy=v*sin(theta); x0=0; y0=1; holdon end gridon %%%%%%%%pourcomparer lacourbeth´ eorique %avecles mesures subplot(2,2,2); holdon %positionet vitesseinitiale denotreballe %prises` alaposition loc loc=2; y0=y(loc); x0=x(loc); vvx=vx(loc); vvy=vy(loc); %coefde restitution resti=2/3; %premi`ere parabole holdon %rebondet secondeparabole

2.3.TP3:NEWTON ETLABALLE DEPING-PONG61

vvx=resti*vvx; vvy=-resti*vvy; %rebondet troisi`emeparabole vvx=resti*vvx; vvy=-resti*vvy; legend('trajectoiremesuree','trajectoire theorique') %couleurde lafigure enblancplutot quegris set(gcf,'color','w')

Etonutilis eaussila fonctionrebondfonc.m:

function[x0,vx,vy,tmax]=f(x0,y0,vx,vy) %pourle TPdurebond delaballe g=9.8; %letemps finaldurebond tmax=(vy+sqrt(vy^2+4*y0*g/2))/g; t=linspace(0,tmax,100); %latrajectoire x=vx*t+x0; y=-g*t.^2/2+t*vy+y0; %vitesseet positionfinales vy=-g*tmax+vy; x0=x0+vx*tmax; %ontrace plot(x,y);quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25

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