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1. La propulsion par réaction

1.1. Le principe de l'action et de la réaction. (3e

loi de Newton)

Si un objet A exerce une force

F A/B sur un objet B, alors l'objet B exerce une force F B/A sur l'objet A telle que F A/B F B/A F A/B AB F A/B=F B/A les deux forces sont de même norme (ou intensité ou module), même direction mais de sens opposé. C'est sur ce principe que se base la propulsion des fusées :

La fusée exerce une force

F F/G sur les gaz et les gaz exercent une force F G/F sur la fusée. Les deux forces étant opposées, la fusée est soumise à un mouvement ascendant (?gure 2).F G/F F F/G a F G/F F F/G b (a) la fusée exerce une force F F/G sur les gaz qui sont éjectés vers le bas.

Les gaz exercent une force

F G/F qui est propulsée vers le haut. (b) Ceci permet le décollage de la fusée

J'APPRENDS

Chapitre 03 Le mouvement des satellites et des planètes lois de Kepler

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1.2. Conservation de la quantité de mouvement d'un système

isolé ou pseudo-isolé On appelle système isolé, un système qui n'est soumis à aucune force extérieure. Un système est dit pseudo-isolé, s'il est soumis à des forces extérieures qui se compensent.

Dans les deux cas

F ext o . C'est la 1ère loi de Newton (principe d'inertie). Ceci conduit à F ext dp dt o, d'où p=constante Le vecteur quantité de mouvement d'un système p est donné par p=m v m : masse en kg v : vitesse en s -1 p : quantité de mouvement en kg ms -1 Dans un référentiel galiléen, le vecteur quantité de mouvement se conserve si le système est isolé ou pseudo-isolé.

1.3. Décollage d'un avion et d'une ?usée

1.3.1. Décollage d'un avion

Le système considéré est l'ensemble avion + gaz.

A t = 0 juste avant le décollage

p(o)=o, donc p(avion)+p(gaz)=o (?gure 3). R x'x

à t = 0

PR0 y y'

0carv(0)0

A t = 0, le système est pseudo-isolé

car P et R se compensent sur l'axe des ordonnées yy' et il n'y a aucune force sur l'axe des abscisses xx'.

Lors du décollage les gaz injectés

en arrière ont pour eet la propulsion de l'avion vers l'avant.

Le vecteur

p étant constant, on a : p(t)=p(o) p(t)=o mais p(t)=p(avion)+p(gaz) d'où m(avion) × V (avion) + m(gaz) × V (gaz) = o

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3 V (avion) = m(gaz)

V(gaz)

m(avion) (figure 4)

P(gaz)m(gaz)?m(avion)

La vitesse du gaz

V (gaz) étant dirigée vers l'arrière, l'avion est propulsé en avant, c'est le mode de propulsion par réaction.

1.3.2. Décollage d'une ?usée

Dans le cas d'une fusée, la force de son poids

P est compensée par la force du moteur qui expulse les gaz en arrière.

2. Mouvements circulaires et repère de Frenet

2.1. Dé?initions

Un système est soumis à un mouvement circulaire dans un référentiel donné si sa trajectoire est un arc de cercle. Le mouvement peut être circulaire uniforme si la norme v de sa vitesse est constante, ou circulaire non uniforme si la norme v varie. Quoi qu'il en soit, il y a toujours une accélération a car le vecteur vitesse v varie étant donné que même dans le cas où la norme v est constante, la direction du vecteur v varie, donc le vecteur v n'est pas constant.

2.2. Le repère de Frenet

Le repère de Frenet est défini par (A,

t n L'origine du repère A est confondue avec le système (considéré comme un point matériel).

Donc l'origine du repère est un point mobile.

t vecteur unitaire tangentiel n vecteur unitaire normal, centripète (dirigé vers le centre de la trajectoire) O n A

Repère de Frenet défini par (A,

t n

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2.3. Vitesse et accélération d'un système en mouvement

circulaire

Le vecteur

v

étant tangent à la trajectoire, on a :

vv t =v v n =o

Le vecteur

a a pour coordonnées : aa t =dv dt a n =v 2 R O n A R a n vecteurs v et a dans le repère de Frenet

La composante a

t dv dt correspond à la variation du module du vecteur v . Dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme v = cte donc dv dt =0.

La composante a

n =v 2 R correspond à la variation de la direction du vecteur vitesse v . Donc même dans le cas d'un mouvement circulaire uniforme a n 0.

3. Mouvement circulaire d'un satellite

3.1. La loi de l'attraction gravitationnelle peut s'appliquer

aux satellites considérés comme des corps On appelle satellite un corps qui tourne sous l'e?et de la gravitation autour d'un autre corps. La lune est un satellite naturel de la Terre (?gure 7) F L/T L T r x x La terre (T) et la lune (L) présentent une répartition sphérique de masse, donc on peut les considérer comme des corps ponctuels et les présenter par leur centre de gravité.

D'après la loi de l'attraction universelle :

Deux corps A et B de masses respectives m

A et m B séparés d'une distance r, exercent l'un sur l'autre des forces d'attraction opposées telles que :

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5 F A/B F B/A =G m A m B r 2 u AB F B/A BA u AB

Interaction gravitationnelle entre deux

corps ponctuels A et B m A et m B masses de A et B en kilogramme (kg) F A/B et F B/A forces en Newton (N) r distance en m entre A et B u AB vecteur unitaire de direction (AB) dirigé de A vers B

G = 6,67 ×10

-11 Nm 2 kg -2 constante de gravitation

3.2. Étude dynamique du mouvement d'un satellite

On définit :

Référentiel : Astrocentrique (pour les satellites terrestres, ce sera le géocentrique pour les planètes autour du soleil, le référentiel sera héliocentrique).

Repère : repère de Frenet (S,

t n ), l'origine S du repère étant le satellite.

Système : le satellite

Forces appliquées sur le système : la force gravitationnelle. Loi appliquée : la relation fondamentale de la dynamique (2e loi de Newton) S T r F T/S x x La seule force qui s'exerce sur S est la force gravitationnelle F T/S donc d'après la 2e loi de Newton F=m S a F T/S =m S a G m T m S r 2 n=m s (a t t+a n n) m S 0 d'où G m T r 2 n=a t t+a n n en remplaçant a t par dv dt t+v rn et a n par v 2 r on obtient : Gm T r 2 n=dv dt t+v 2 r n

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Cette égalité est vraie si

etdv dt=0 v 2 r =Gm T r 2 dv dt =0 implique que la norme v de la vitesse est constante, donc que le mouvement du satellite est uniforme. v 2 r =Gm T r 2 implique v 2 Gm T r et v=Gm T r v, G et m T étant des constantes, r est alors une constante, donc le mouvement est circulaire. Conclusion : le mouvement d'un satellite autour de la Terre est circulaire et uniforme.

3.3. Période de révolution

La période de révolution T d'une planète ou d'un satellite est le temps nécessaire à la

planète ou au satellite pour eectuer un tour complet sur son orbite. Dans le cas d'un satellite autour d'un astre, le mouvement est circulaire uniforme. Au cours d'une période la distance parcourue par la planète ou le satellite est égale à la longueur de la circonférence d'un cercle de rayon r donc égale à 2r. La vitesse

étant constante

On a donc : v=

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