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Universit´e Paris Diderot (Paris 7) - U.F.R. de Physique

Laboratoire Mati`ere et Syst`emes Complexes

´Ecole Doctorale Mati`ere condens´ee et interfaces (ED518) Th `ese de doctorat de l"universit´e Paris 7

Sp´ecialit´e : physique th´eorique

en vue de l"obtention du diplˆome de docteur en physique pr´esent´ee par

Jean-BaptisteDelfau

sous la direction de ChristopheCosteet MichelSaint Jean

Diffusion et corr´elations de particules

confin´ees en interaction `a longue port´ee

Jury compos´e de :

M. ChristopheCosteUniversit´e Paris 7 Co-Directeur de th`ese M. FrancoisPeetersUniversit´e d"Anvers - Belgique Rapporteur M. DimitriRoditchevInstitut des Nanosciences de Paris Examinateur M. MichelSaint JeanCNRS - Universit´e Paris 7 Co-Directeur de th`ese M. Henkvan BeijerenUniversit´e d"Utrecht - Pays-Bas Rapporteur M. Fr´ed´ericvan WijlandUniversit´e Paris 7 Examinateur

Th`ese soutenue le 16 novembre 2012

R´esum´eD´ecrire la diffusion d"objets browniens corr´el´es est un probl`eme non trivial en physique statistique.

La pr´esence de corr´elations `a longue port´ee induit en effet une diffusion "anormale", par d´efinition

non d´ecrite par les lois usuelles de la physique statistique et devant ˆetre ´etudi´ee au cas par cas. Cette

th`ese est consacr´ee `a l"un de ces exemples, la Single-File Diffusion, d´esignant la diffusion d"une chaˆıne

ordonn´ee de particules ne pouvant pas se croiser.

Nous pr´esentons des ´etudes num´eriques de dynamique mol´eculaire ainsi que des ´etudes exp´erimentales

nous permettant de mettre en ´evidence et de caract´eriser plusieurs r´egimes de diffusion longitudinale

et transverse rencontr´es lors de ce ph´enom`ene de transport.

L"ensemble de nos r´esultats num´eriques et exp´erimentaux estexpliqu´e par un mod`ele analytique bas´e

sur la d´ecomposition des fluctuations thermiques sur les modes propres de vibration d"un syst`eme. Ce

mod`ele s"applique aux syst`emes physiques r´eels car il est valable pour des interactions entre particules

`a longue port´ee et tient compte de la dissipation, de la taille du syst`eme et des propri´et´es du potentiel

de confinement.

L"analyse en modes propres nous permet ´egalement de caract´eriser l"´evolution des fluctuations ther-

miques transverses lors de la transition zizag et de pr´evoir la structure du syst`eme apr`es la transition.

Enfin, l"´etude de la transition zigzag nous renseigne plus g´en´eralement sur les effets d"un bruit ther-

mique sur une bifurcation. 3 Je tiens `a exprimer toute ma reconnaissance `a Henk Van Beijeren et`a Fran¸cois Peeters pour

avoir accept´e d"ˆetre les rapporteurs de ce travail de th`ese ainsi qu"`a Fr´ed´eric Van Wijland et Dimitri

Roditchev pour avoir bien voulu faire parti de mon jury.

Il m"est difficile d"exprimer par ´ecrit toute la reconnaissance que je voudrais t´emoigner `a mes

deux directeurs de th`ese Michel et Christophe. Leur encadrement durant ces trois ann´ees de travail

a ´et´e exemplaire. Jamais durant cette p´eriode je n"ai trouv´e leur porte ferm´ee et ils ont toujours

su se montrer extrˆemement disponibles, parfois mˆeme durant leurs vacances. J"appr´ecie ´enorm´ement

la patience dont ils ont fait preuve pour r´epondre `a mes nombreusesinterrogations - parfois peu

pertinentes - ce qu"ils ont toujours fait avec pr´ecision et p´edagogie. Tout au long de cette th`ese, ils ont

repr´esent´e pour moi une v´eritable source d"id´ee et de motivations. Je pense avoir beaucoup appris `a

leur cˆot´es et pour cela, je les remercie de tout coeur.

Bien que mon exp´erience dans la recherche ne soit en rien comparable `a la leur, nos conversations

n"ont jamais ´et´e `a sens unique et j"ai ainsi eu la libert´e de travailler `a ma mani`ere, tout en sachant que

je serais secouru si par m´egarde je m"aventurais sur des chemins p´erilleux. Ce subtil ´equilibre entre

libert´e et encadrement qu"ils ont su mettre en place est pour moi un exemple que j"esp`ere un jour ˆetre

en mesure de reproduire. Durant ces trois ann´ees, nous avons ainsitravaill´e `a la mani`ere d"artisans,

en collaborant et en ´echangeant au sein de notre petit groupe, `a mille lieux des gigantesques projets

d´esincarn´es mus par l"´energie vitale de doctorants en batteries. Je ne remercierai jamais assez Michel

et Christophe pour avoir su cr´eer cette atmosph`ere de travail saine et chaleureuse.

Mes plus sinc`eres remerciements vont ´egalement `a Claudine Guthmann dont l"exp´erience, l"exigence

et la gentillesse m"ont ´et´e ´egalement tr`es pr´ecieux au cours mon doctorat. Ses conseils et suggestions,

toujours judicieux, t´emoignent r´eellement d"un grand recul surla physique et la recherche en g´en´eral.

Bien qu"elle ait l"habitude de minimiser l"importance de ses remarques par modestie, je m"autorise

exceptionnellement `a la contredire en affirmant que celles-ci sesont toujours av´er´ees instructives.

Je tiens aussi `a remercier chaleureusement Arnaud Grados et Alexandre Lantheaume sans qui nous

n"aurions pu monter notre dispositif exp´erimental et avec qui nousavons toujours collabor´e avec bonne

humeur et efficacit´e. Merci ´egalement `a tous les personnels BIATOSS pour leur travail essentiel au

sein du laboratoire, en particulier Nadine Beyer, Lucie Bouchu, Danielle Champeau, Carole Philippe- Barache, Jean Hubert et Ly A-Phat sur qui j"ai pu compter tout au long de ma th`ese.

Mes remerciements vont ´egalement `a Julien Moukhtar pour l"aide immense qu"il m"a apport´ee sur

les simulations num´eriques. Merci aussi `a Benjamin Leroy qui a bien voulu r´ealiser pour nous des

simulations d"´el´ements finis. Enfin, je tiens `a saluer tous leschercheurs avec qui nous avons ´echang´e

sur ce travail de th`ese, parmi lesquels Fr´ed´eric Van Wijland,Samuel Guibal et Gwennou Coupier.

Comment ne pas mentionner dans cette section tous les habitu´es de la777 pour le rˆole primordial

qu"ils ont jou´e durant ces trois ans? Plus que de simples coll`egues, vous formez `a mes yeux une v´eritable

tribu au sein de laquelle j"ai ´et´e imm´ediatement accept´e et o`u j"ai pu trouv´e r´econfort et amiti´e. Un

immense merci donc `a toute la joyeuse faune de la mezzanine : Alexis le biologiste-cuisinier officiel de la

salle, Giuseppe notre latin-lover, St´ephane le roi des pˆates, Alexis le communiste silicon´e, Antonin les

bons-tuyaux, Paul l"artiste maladroit, St´ephanie notre Miss Lor´eal 2012, Tadashi le samoura¨ı de la 777,

Chi-Tuong et Philippe les deux permanents qu"on aime bien quand mˆeme, Matthieu le num´ericien `a la

moutarde, Julien l"incontrˆolable violoniste chambreur, Nicolas le partisant de la malbouffe ou encore

Maxime qui assurera la rel`eve `a n"en point douter. 5 6

Notre communaut´e de la 777 n"en reste pas moins tourn´ee vers l"ext´erieur et je remercie ´egale-

ment les autres membres du laboratoire qui ont permis que ces trois ann´ees de th`ese se d´eroulent

dans une si bonne ambiance. Un grand merci donc `a mes camarades de promo Hugo, Jonathan et

Marc-Antoine, ainsi qu"`a Yves, Laurent, Luc, Anne-Florence, R´emi, Micha¨el, Alain, Loudgy, Cl´ement,

Amsha, Laurent, Julien, Nathalie, David, Adrian, Laurent et Ken pour les agr´eables discussions que

nous avons pu avoir.

Enfin, l"´equilibre que j"ai pu trouver durant cette th`ese s"est ´egalement construit `a l"ext´erieur du

laboratoire. Je tiens donc `a remercier le dojo de Shorinji-Kempo du Chesnay sur les tatamis duquel

j"ai r´eguli`erement pu relˆacher la pression. Un grand merci aussi `a ma famille qui m"a toujours soutenu

sans relˆache malgr´e une connaissance parfois approximative de mes occupations de th´esard. Bien que

cela puisse paraˆıtre d´erisoire, mes amis proches, mes cousinspr´ef´er´es et mon p`ere devront eux aussi se

contenter d"une simple d´edicace car il serait impossible d"´enum´erer tout ce qu"ils m"ont apport´e. Pour

terminer, je voudrais d´edier ce travail `a mon ´epouse Valentine pour le bonheur qu"elle m"apporte au

quotidien et `a ma premi`ere et inconditionnelle supportrice, ma m`ere, simplement irrempla¸cable.

Table des mati`eres

Introduction13

A Dispositif exp´erimental et simulation num´erique19

I Dispositif et m´ethodes exp´erimentales21

I.1 Description du montage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 I.1.1 Vue d"ensemble du montage. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 I.1.2 Cellules de confinement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 I.1.3 Traitement des images et calcul des observables. . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

I.2 D´etermination de la temp´erature effective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

I.2.1 D´etermination de la temp´erature effective par la distribution de Boltzmann. . 27 I.2.2 D´etermination de la temp´erature effective par la diffusion balistique aux temps courts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 I.2.3 Thermom`etrein situ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 I.3 Description des interactions. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 I.3.1 Interaction entre billes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 I.3.2 Interactions entre une bille et le cadre de confinement. . . . . . . . . . . . . . 31 I.4 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

II Simulations num´eriques37

II.1 Mise en ´equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

II.2 Forces pr´esentes dans le syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

II.2.1 Force d"interaction entre particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 II.2.2 Bain thermique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 II.2.3 Confinement transverse et longitudinal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

II.3 Algorithme de Verlet et pas d"int´egration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

II.4 Phase de thermalisation et "trempe" du syst`eme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

II.5 Syst`emes p´eriodiques : effets de courbure?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

II.6 Syst`emes avec confinement longitudinal : moyennes et nombrede r´ealisations. . . . . 44

II.7 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

B Diffusion longitudinale47

IIIDiffusion en ligne dans les syst`emes p´eriodiques49

III.1 Etat des lieux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

7

8TABLE DES MATI`ERES

III.1.1 Cas des interactions "sph`eres dures". . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 III.1.2 Cas des interactions `a longue port´ee. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

III.2 R´esultats exp´erimentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

III.2.1 Positions d"´equilibre et histogrammes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 III.2.2 Evolution de la variance orthoradiale des particules en fonctiondu temps. . . 53 III.2.3 Mesures de mobilit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III.2.4 Temps de corr´elationτcorr. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

III.2.5 Conclusion sur les r´esultats exp´erimentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

III.3 Simulations num´eriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

III.3.1 Distributions et positions d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 III.3.2 Evolution de la variance longitudinale des particules en fonction du temps. . . 58 III.3.3 Influence des param`etres de contrˆole sur l"´evolution de la variance longitudinale60 III.3.4 Coefficients de transport et leur principales d´ependances. . . . . . . . . . . . . 61 III.3.5 Temps de transition et leur principales d´ependances. . . . . . . . . . . . . . . 64

III.3.6 Conclusion sur les r´esultats num´eriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

III.4 Mod`ele de diffusion corr´el´ee de particules en interaction : cas d"un syst`eme p´eriodique66

III.4.1 Modes propres de vibration et diffusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 III.4.2 Calcul des lois d"´echelle et des coefficients de transport. . . . . . . . . . . . . 71

III.5 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

IVDiffusion en ligne pour des conditions aux limites r´epulsives77

IV.1 Etat des lieux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

IV.2 R´esultats exp´erimentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

IV.2.1 Positions d"´equilibre et potentiel de confinement longitudinal. . . . . . . . . . 78 IV.2.2 Evolution de la variance longitudinale des particules. . . . . . . . . . . . . . . 81

IV.2.3 R´egime interm´ediaire et port´ee du confinement. . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

IV.2.4 Valeurs de saturation?Δx2i(∞)?. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 IV.2.5 Temps de transition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 IV.2.6 Conclusion sur les r´esultats exp´erimentaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

IV.3 Simulations num´eriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

IV.3.1 Type de confinement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 IV.3.2 Positions d"´equilibre et potentiel de confinement longitudinal. . . . . . . . . . 88 IV.3.3 Evolution de la variance longitudinale des particules. . . . . . . . . . . . . . . 90 IV.3.4 Conclusion sur les r´esultats num´eriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

IV.4 Mod`ele de diffusion corr´el´ee de particules en interaction :cas d"un syst`eme CLR. . . 99

IV.4.1 Modes propres de vibration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 IV.4.2 Poids des modesXs(i) et fr´equences propresωs. . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 IV.4.3 Calcul des lois d"´echelle et des coefficients de transport. . . . . . . . . . . . . . 107

IV.5 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

C Diffusion transverse117

V Fluctuations transverses et transition zigzag119

V.1 Transition zigzag `a basse temp´erature : configurations d"´equilibre. . . . . . . . . . . . 120

V.1.1`A propos de la transition zigzag : ´etat des lieux. . . . . . . . . . . . . . . . . . 120

TABLE DES MATI`ERES9

V.1.2 Observations exp´erimentales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 V.1.3 La transition zigzag : une bifurcation fourche. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 V.1.4 Configurations d"´equilibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

V.2 Influences des fluctuations thermiques : permutations entre ´etats sym´etriques. . . . . 128

V.2.1 Bifurcations `a temp´erature non nulle : ´etat des lieux. . . . . . . . . . . . . . . 128

V.2.2 Histogrammes de positions et transitions entre ´etats sym´etriques. . . . . . . . 129 V.2.3 Trajectoires des particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131

V.2.4 Temps caract´eristiques de transition entre ´etats sym´etriques. . . . . . . . . . . 132

V.3 Param`etre d"ordre et corr´elations transverses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

V.3.1 Moyenne temporelle et param`etre d"ordre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 V.3.2 Corr´elations transverses : un param`etre d"ordre possible?. . . . . . . . . . . . 135 V.4 Evolution de la variance transverse des particules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 V.4.1 Avant la transition m´ecanique :β > βzz(0). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

V.4.2 Dans la r´egion de bifurcation :βzz(T)< β < βzz(0). . . . . . . . . . . . . . . 140

V.4.3 Apr`es la transition thermique :β < βzz(T). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

V.5 Mod`ele de diffusion corr´el´ee de particules en interaction : cas des fluctuations transverses142

V.5.1 Mise en ´equation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 V.5.2 Syst`emes p´eriodiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 V.5.3 Syst`emes infinis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 V.5.4 Syst`emes CLR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

V.6 Seuil de transition thermiqueβzz(T). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

V.6.1 Valeurs de saturation de la variance transverse. . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 V.6.2 D´etermination du seuil de transitionβzz(T) par le temps de saturation. . . . 152

V.7 Conclusion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

Conclusion157

Annexes163

A R´esolution de l"´equation de Langevin pour une particule diffusant librement ou dans un puits de potentiel quadratique 163

A.1 Diffusion libre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163

A.2 Diffusion dans un puits de potentiel quadratique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 A.2.1 Amortissement faible :γ <2ω0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 A.2.2 Amortissement fort :γ >2ω0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 B Algorithme de Verlet et g´en´eration de nombres al´eatoires gaussiens167

B.1 Algorithme de Verlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

B.2 G´en´eration de nombres al´eatoires gaussiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

C L"agitation m´ecanique : une temp´erature thermodynamique effective171

C.1 Distribution des vitesses. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171

C.2 Syst`emes `a deux niveaux et temps de Kramers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172

10TABLE DES MATI`ERES

D Bain thermique et utilisation du formalisme de Langevin175 D.1 Dynamique d"un syst`eme simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 D.1.1 Diffusion lin´eaire aux temps longs : mesure du coefficient de dissipation. . . . 176

Introduction

11 Un syst`eme physique en contact avec un thermostat voit ses particules acqu´erir un mouvement

al´eatoire sous l"effet des fluctuations thermiques. Si celles-ci sont, de surcroˆıt, confin´ees dans des

milieux tr`es ´etroits, les contraintes g´eom´etriques induisent de fortes corr´elations entre particules. Dans

ces conditions, ces corr´elations vont-elles modifier leur processus diffusif et si oui, de quelle mani`ere?

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