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Éléments de géométrie

Arnaud Bodin, avril 2012

L"inversion

1 Cercle-droite 1

2 L"inversion 2

3 Les homographies 6

4 Dispositifs mécaniques 8

5 Construction au compas seulement 91 Cercle-droite

1.1 Équation complexe d"une droite

Soit ax+by=c l"équation réelle d"une droiteD:a;b;csont des nombres réels (aetbn"étant pas nuls en même temps) d"inconnues(x;y)2R2.

Écrivonsz=x+iy2C, alors

x=z+¯z2 ; y=z-¯z2i doncDa aussi pour équationa(z+¯z) -ib(z-¯z) =2cou encore(a-ib)z+ (a+ib)¯z=2c.

Posons!=a+ib2Cetk=2c2Ralors nous obtenonsi

01i 01D l"équation complexed"une droite est :

¯!z+!¯z=k

où!2Cetk2R.1.2 Équation complexe d"un cercle

SoitC(

;r)le cercle de centre et de rayonr. C"est l"ensemble des pointsMtel que d( ;M) =r. Si l"on note!l"affixe de etzl"affixe deM. Nous obtenons : d( ;M) =r()jz-!j=r()jz-!j2=r2()(z-!)(z-!) =r2 en développant nous trouvons que!C r i 01 1 l"équation complexedu cercle centré en (!)et de rayonrest : z¯z-¯!z-!¯z=r2-j!j2 où!2Cetr2R.1.3 Les cercles-droites Les deux paragraphes précédents conduisent à la définition suivante. Proposition 1.Uncercle-droiteest l"ensemble des pointsMdu plan d"affixeztel que az¯z-¯!z-!¯z=k oùa;k2R,!2Csont donnés.

Si a=0un cercle-droite est une droite.

Si a6=0un cercle-droite est un cercle.

Exemple 1.Le cercleCr=C(

(0;r);r)a pour équationz¯z-¯!rz-!r¯z=r2-j!rj2avec r=0+ir. Cette équation s"écrit aussiz¯z+irz-ir¯z=0ou encorez-¯z+z¯zir=0. On fait

tendrervers l"infini : le rayon tend vers l"infini et le centre s"éloigne indéfiniment. À la

limite l"équation devientz-¯z=0, qui est l"équation d"une droite et plus précisemment de

l"axe des abscisses. Une droite peut-être vu comme un cercle dont le centre est à l"infini.2 L"inversion

2.1 Définition géométrique

Soit le cercleC=C(

;r). L"inversionest l"application du plan privé de dans lui-même qui à un pointMassocie un pointM0tel que : CrM M

0-M02[

M), M

M0=r2.

La première condition impose queM0est sur la demi-droite issue de passant parM, la deuxième condition lie les distances deMetM0à

Le point

est lecentrede l"inversion, le nombrer2est sapuissance,C( ;r)est lecercle d"inversion. Voici quelques propiétés élémentaires :

Proposition 2.Soit:P n f

g!P n f gune inversion de centre et de puissancer2. 2

1.Chaque point du cerc leC(

;r)est invariant par:M2C( ;r)=)(M) =M. 2. L "inversionest une bijection. C"est même une involution : pour tout pointM2Pnf g, ((M)) =M. Le fait queM7!(M)soit une involution se formule aussi ainsi : siM0=(M)alors

M=(M0).

Exemple 2.Soitl"inverion de centre l"origine et de puissancer2=4. Nous représentons des pointsMiainsi que leur imageM0i=(Mi). Comme l"inversion est involutive, nous avons aussiMi=(M0i). Il est important de noter que l"inversion ne préserventpasles longueurs. Par exemple, comparez les distanceM1M4etM01M04. Voir l"exercice 4 pour une Cr=2M 1M 01M 2M 02M 03M 3M 4M

04formule.

Démonstration.1.Soit M2C(

;r)et notonsM0=(M). La relation entre les distances s"écrit M

M0=r2. Mais comme

M=ralors nous avons aussi

M0=r. Comme

MetM0sont sur la même demi-droite issue de

alorsM=M0.

2.M2P n f

g. NotonsM0=(M)etM00=(M0). CommeM002[ ;M0)etM02[ ;M) alorsM00appartient à la demi-droite[ ;M). Les relations entre les distances sont d"une part M

M0=r2et

M0

M00=r2. D"où les égalités

M M0= M0 M

00, puis

M= M00. CommeMetM00sont sur la même demi-droite issue de alorsM=M00. Le bilan est le suivant(M)=M. L"applicationM7!(M)est donc une involution. En particulier c"est une bijection.2.2 Écriture complexe

Considérons les points et leur affixes

(!),M(z),M0(z0). Nous allons transformer la re- lationM0=(M)en une condition entrezetz0. La première conditionM02[

M)s"écrit

z

0-!=(z-!)avec2Ret0. La deuxième condition

M

M0=r2devient

en écriture complexejz-!jjz0-!j=r2, ce qui donne à l"aide de la première condition jz-!j2=r2donc=r2jz-!j2. Nous exprimons alorsz0comme une fonction dez: z

0=!+r2z-!jz-!j2=!+r2z-!:

Ceci nous permet de donner la définition complexe de l"inversion :! Crz z 0i 01 3

L"inversionest une application:C[f1g!C[f1g

définie par(z) =!+r2z-!pourz2Cn f!get prolongée

par(!) =1et(1) =!.Exemple 3.L"inversion de cercleC(O;1)a pour écriture complexe(z) =1=¯z(que l"on

prolonge en(0) =1et(1) =0.

2.3 Inversion et cercle-droite

Théorème 1.L"image d"un cercle-droite par une inversion est un cercle-droite. Plus précisemment nous allons montrer que siest l"inversion de cercleC( ;r)alors :

L "imaged"une droite passant par

est elle-même.

L "imaged"une droite ne passant pas par

est un cercle passant par

L "imaged"un cerc lepassant par

est une droite ne passant pas par

L "imaged"un cerc lene passant pas par

est une cercle ne passant pas par CC 1D

1=(C1)D

2=(D2)

C C

3(C3)Démonstration.Remarquons tout d"abord que pour une translation l"image d"une droite

est une droite et l"image d"un cercle est un cercle. Il en va de même pour les homothéties. Donc par une translation, nous nous ramenons à démontrer la proposition dans le cas où le centre de l"inversion est situé à l"origine du plan complexe. Par une homothétie nous supposons même que le cercle d"inversion est de rayon1. Après ces deux réductions nous nous sommes ramenés au cas où l"inversion a pour écriture complexe : (z) =1¯z: 4 Soit maintenantCun cercle droite d"équationaz¯z-¯!z-!¯z=k(a;k2R,!2C). Soit M(z)un point du plan (d"affixez) et notonsM0l"image deMpar notre inversion qui sera donc d"affixez0=(z) =1¯z.

M(z)2C()az¯z-¯!z-!¯z=k

()a-¯!1¯z-!1z =kz¯zen divisant parz¯z ()a-¯!z0-!¯z0=kz0¯z0 ()kz0¯z0+¯!z0+!¯z0=a Mais la dernière ligne est l"équation d"un autre cercle-droiteC0. BilanM(z)2Csi et seule- ment si(M)2C0. Autrement dit l"image du cercle-droiteCest le cercle-droiteC0. Il suffit de regarder les équations pour obtenir les différents cas. Par exemple si notre cercle-droite passe par l"origine (c"est le cas lorsquek=0) il faut traiter le casz=0à part; il faut se rappeller notre convention(0) =1. Dans ce cas l"équation obtenu pourC0est

celle d"une droite.Remarque.-L "imaged"une droite Dpassant par le centre d"une l"inversionest la droite

elle même :(D) =D. La droite estinvariante globalement. Un point de la droite est envoyé sur un autre point de la droite. Par contre chaque point du cercle d"inversion est conservé par l"inversion : c"est l"invariance point par point. SiCest le cercle d"inver- sion, cela s"écrit :

8P2C(P) =P:

La droiteDpassant par l"originen"est pasinvariante point par point. Même si l"image d"un cerc leCde centreOest un cercleC0=(C)cependant(O)n"est pasle centre deC0. Voir la figure. O (O)O 0C C 0C

00=(C0)2.4 Inversion et cocyclicité

Proposition 3.Soientun inversion etM;Ndeux points du plans. Les pointsM,N,(M), (N)sont cocycliques (ou alignés). CM M 0NN

0C"est un résultat important et utile qui est démontré dans l"exercice 3.

5

3 Les homographies

3.1 Définition

Unehomographieest une applicationh:C[f1g!C[f1gdéfinie par h(z) =az+bcz+d; h(1) =ac ; h(-d=c) =1; aveca;b;c;d2Ctels quead-bc6=0. Proposition 4.Une homographie est la composée d"une inversionz7!1=¯z, d"une réflexion z7!¯z, de translationsz7!z+et de rotation-homothétiesz7!z(;2C). En particulier une homographie est une application bijective. Démonstration.Tout d"abord par la composition d"une rotation, d"une homothétie et d"une translation nous définissonsh1(z) =cz+d. Puish2(z) =1z est la composée d"une inversion z7!1¯zet d"une réflexionz7!¯z. Nous obtenons donch2h1(z) =1cz+d. Posonsh3(z) =z+ (encore la composition d"une rotation, d"une homothétie et d"une translation) alors h

3h2h1(z) =cz+d+=cz+d+cz+d=az+bcz+d

si l"on a choisit=ac et=b-ac d.Corollaire 1.L"image par une homographie d"un cercle-droite est un cercle-droite. Démonstration.L"image d"une droite par une translation est une droite. De même l"image d"une cercle par une translation est un cercle. Il en va de même pour les rotations, pour les homothéties et pour les réflexions. L"image d"un cercle par une inversion est un cer- cle ou une droite, l"image d"une droite par une inversion est un cercle ou une droite. Par

composition l"image d"une cercle-droite par une homographie est un cercle-droite.3.2 Homographie et angles

Théorème 2.Les homographies préservent les angles orientés. Cela signifie ceci : si deux courbesC1etC2s"intersectent en un pointP. Soitl"angle formé par les deux tangentes àC1etC2enP. Soithnotre homograhieh; notonsC01=h(C1), C

02=h(C2), etP0=h(P)qui appartient à l"intersection deC01etC02. Alors les deux tangentes

àC01etC02enPforment le même angle.

PP 0C 1C 2C 01C

02Dans la pratique le corollaire suivant est très utile :

6 Corollaire 2.Soithune homographie. Si deux courbesC1etC2sont tangentes en un point M(resp. perpendiculaires enM) alors les courbesh(C1)eth(C2)sont tangentes enh(M) (resp. perpendiculaires enh(M)).

Et on prouve en fait en même temps que :

Corollaire 3.Soitune inversion. Si deux courbesC1etC2sont tangentes en un pointM (resp. perpendiculaires enM) alors les courbes(C1)et(C2)sont tangentes enh(M)(resp. perpendiculaires en(M)). [[[dessin]]] Démonstration.-Encore une fois nous allons ramener le problème à l"étude d"une in- version. En effet les homothéties, translations, rotations préservent les angles orientés alors qu"une reflexion préserve les angles mais change l"orientation. Par la proposition 4 il suffit donc de montrer qu"une inversion préserve aussi les angles mais change l"orien- tation. On se donne une courbe Cet un pointM2C, notonsTla tangente àMenC(nous supposons donc qu"il existe une tangente en ce point). SoitNun autre point deC. Soit une inversion. On noteC0=(C),M0=(M),N0=(N)et on appelleT0la tangente àC0 enM0. (AttentionT0n"est pas égal à(T), de toute façon(T)n"est pas nécessairement une droite...) D"après la proposition 3 les points M;N;M0;N0sont cocycliques, donc les angles(~MN;~MN0) et(~M0M;~M0N)sont égaux. F aisonstendre le point Nvers le pointMalors la droite définie par le vecteur~MN et passant parMtend vers la tangenteT. De plusN0tend versM0et la droite de vecteur~M0N0et passant parM0tend versT0. À la limite on obtient l"égalité des an- gles :(T;~MM0) = (T0;~M0M).M NT C En conséquence les tangentes TetT0sont symétriques l"une de l"autre par la réflexion d"axela médiatrice de[MM0]. MM 0 TT 0CC

0-Si maintenan tC1etC2sont deux courbes qui s"intersectent enM, l"angle entre les deux

tangentesT1etT2étantalors par la réflexion d"axe, l"angle entre les deux tangentes T

01etT02enM0=(M)est-.

7 MM 0 T 1T 01C 1C 01T 2T 02C 2C

024 Dispositifs mécaniques

4.1 La courbe de Watt

Le but est de transformer un mouvement circulaire en mouvement rectiligne (ou l"inverse). Une solution simple est d"utiliser une bielle et un piston. Le problème est que le coulissage

génère des frottements au niveau du piston. [[[dessin à améliorer!]]]L"ingénieur James Watt améliora le dispositif en inventant un mécanisme qui permet

d"obtenir une portion presque rectiligne à partir d"un mouvement circulaire. [[[Dessin : essayer animation avec Geogebra]]] 8

4.2 L"inverseur de Peaucellier

Théorème 3.Soit la configuration suivante avec A=

B=RetAMBM0un losange de

côtér. AlorsM0est l"image deMpar l"inversion de centre et de puissanceR2-r2. A BMM 0R rCorollaire 4.SiMparcourt un cercle passant par alorsM0parcourt une droite. [[[Dessin]]] Il existe d"autres dispositifs mécanique qui transforment un cercle en une droite, voir par exemple l"inverseur de Hart dans l"exercice 8.

Preuve du théorème.Tout d"abordM;M0;

sont sur la médiatrice du segment[AB]. Donc M 02(

M). De plus si l"on supposeR > ralorsM02[

M).

Calculons maintenant

M

M0. SoitIle centre du losangeAMBM0.

M= I-IMI A BMM 0R ret M0=

I-IM0=

I+IM. Donc

M M0= (

I-IM)(

I+IM) =

I2-IM2:

Par le théorème de Pythagore

I2=

A2-IA2etIM2=AM2-IA2. Donc

M M0= A

2-AM2=R2-r2.

Nous avons montré queM0est l"image deMpar l"inversion de centre et de puissance R

2-r2.4.3 Théorème de Kempe

Il existe en fait un théorème plus général. Théorème 4.SoitP(x;y)2R[x;y]un polynôme de deux variables. Il existe un dispositif mécanique qui permet de tracer une partie bornée de la courbeCdéfinie par l"équation (P(x;y) =0). [[[Admis. Étapes.]]]

5 Construction au compas seulement

5.1 Problème de Napoléon

Traçons un cercle, effaçons le centre. Il est facile de retrouver le centre avec une règle et

un compas. (Faites-le!) Oublions maintenant la règle. Problème de Napoléon.À l"aide du compas seulement, tracer le centre d"un cercle dont on connait uniquement le contour.

La solution, qui n"a rien d"évidente, utilise l"inversion et se décompose en plusieurs étapes :C

0A 9

1.Soit C0le cercle dont on souhaite trouver le centre. Choisir un pointAsurC0et

prendre un écartement quelconque de compas (mais ni trop grand, ni trop petit : entre une demie fois et deux fois le rayon -inconnu- du cercleC0) 2. Placer la pointe du compas en Aet tracer le cercleC. Ce cercle coupeC0en deux points, notésBetC.B CC 0C A 3. Construire A0le symétrique deApar rapport à(BC): pour cela, tracer les cercles de centreB(puis de centreC) passant parA. Ces deux cercles se coupent enAetA0.B CC 0C AA

04.Construire l"image de A0par l"inversionde centreAet de cercleC. Pour cela on trace

le cercle de centreA0passant parA; il recoupeCenDetE. Les cercles de centresD (puis de centreE) passant parAse coupent enAet enA00=i(A).

5.A00est le centre deC0.B

CE FC 0C AA 0B CE FA 00C 0C AA

05.2 Preuve

Dans une première étape nous monrons que(A0)est le centre deC0oùest l"inversion de centreAet de cercle d"inversionC.

L "imagede (BC)est un cercle passant parB,C,

, c"est donc bienC0. Notons Ile milieu de[AA0], c"est aussi le milieu de[BC]. NotonsDle point deC0diamé- tralement opposé àA. L "imagede IestD(par alignement) doncAIAD=r2, icirdésigne le rayon deC. Notons A00=(A0)alorsAA0AA00=r2. Mais commeAA0=2AIalorsAA00=AD=2, doncA00=Oest le centre deC0. [[[dessin]]] La dernière étape de notre construction est justifiée dans le paragraphe suivant. 10

5.3 Construction de l"inverse d"un point au compas seul

Étant donné un cercleCde centre

et un pointMextérieur àC, nous allons construire, avec le compas seulement, l"image deMpar l"inversionde cercleC.

Tracer le cerc leC0de centreMpassant par

, il recoupeCenAetB. Tracer les cerc lesde centre A(puis de centreB) passant par . Ils se coupent en et enM0=(M). CMM 0A BDémonstration.Le théorème de Pythagore dans le triangle4AIMdonne

M2-AI2=

M-IM)2= (

M-I )2(on saitAM=

M). Donc

M2-AI2=

M2+IM2-2

MI Alors M

M0=!M(2I

) =I

2+AI2. Par le théorème de Pythagore, cette fois dans

le triangle4AI nous obtenons M M0=A

2=r2. Comme en plusM,M0,

sont alignés (car sur la médiatrice de[AB]) alorsM0=(M). CrMM 0IA BRemarque.Deux cercles, dont l"un est l"image de l"autre par une inversion sont homothé- tiques, par une homothétie dont le centre est le centre de l"inversion. Par contre le rapport dépend des cercles considérés. CCquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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