Linversion 1 Cercle-droite
l'équation complexe d'une droite est : ¯?z + ?¯z = k où ? ? C? et k ? R. 1.2 Équation complexe d'un cercle. Soit C(? r) le cercle de centre ? et de rayon
Nombres complexes homographies. 1 Équations de droites et de
5. On considère un cercle C de centre d'affixe c et de rayon R > 0. Donner une équation caractérisant C en fonction de z
Nombres complexes (Exo7)
Outre la résolution d'équations les nombres complexes s'appliquent à la et en développant nous trouvons que l'équation complexe du cercle centré en un ...
Feuille dexercices n?5 : Complexes
10 oct. 2013 Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique et/ou ... cercle d'équation complexe développée zz + iz ? iz ? 3=0.
Équation de cercle :
Les nombres complexes (1). Quelques compléments sur l'équation d'un cercle. Exercices corrigés en vidéo. Équation de cercle : Propriété : Une équation du
Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan
Exercice 3.16: Déterminer l'équation d'un cercle tangent à Ox et passant par. A(-2 ; 1) et B(5 ; 8). Exercice 3.17: Déterminer les équations des cercles
Chapitre 1 - Trigonométrie et nombres complexes
2 sept. 2015 L'équation cartésienne du cercle est x2 + y2 = 1. Pour un angle orienté ? (cf. Figure ??) on peut lire graphiquement les trois valeurs ...
Cours de mathématiques - Exo7
l'équation complexe du cercle centré en ?(?) et de rayon r est : z¯z ? ¯?z ? ?¯z = r2 ?
Forme trigonométrique dun nombre complexe – Applications
Propriété 2 : Équation paramétrique complexe d'un cercle. Soit C le cercle de centre ? d'affixe ? et de rayon R. Le point M d'affixe z est sur le cercle C
TD n 1 : Séries entières exponentielle
https://www.lamfa.u-picardie.fr/ogarnier/ens/ncg/td1.pdf
[PDF] Nombres complexes homographies 1 Équations de droites et de
On considère un cercle C de centre d'affixe c et de rayon R > 0 Donner une équation caractérisant C en fonction de zzcR Indication : L'équation cherchée
[PDF] Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan
Chapitre 3 : Équation du cercle dans le plan § 3 1 Les deux formes d'équations de cercle • La forme “centre et rayon” Soit ? un cercle de centre C(?
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Les nombres complexes (1) Quelques compléments sur l'équation d'un cercle Exercices corrigés en vidéo Équation de cercle : Propriété : Une équation du
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l'équation complexe d'une droite est : ¯?z + ?¯z = k où ? ? C? et k ? R 1 2 Équation complexe d'un cercle Soit C(? r) le cercle de centre ? et de rayon
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Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique et/ou trigonométrique cercle d'équation complexe développée zz + iz ? iz ? 3=0
[PDF] Feuille dexercices n 6 : Complexes - Normale Sup
12 nov 2015 · Donner toutes les formes possibles de l'équation des cercles suivants (forme complexe factorisée z ?a = r ; forme complexe développée zz ?
[PDF] Nombres complexes - Exo7 - Cours de mathématiques
Calculer l'équation complexe de la droite passant par 1 et i 2 Calculer l'équation complexe du cercle de centre 1 + 2 i passant par i 3 Calculer l'équation
[PDF] [PDF] t°s équation cartésienne du plan - cercle - Monsieur CHAPON
Propriété : dans le plan complexe considérons le cercle (C) de centre d'affixe et de rayon R On a : M (z)?(C) ? z= Rei ?? On dit que
[PDF] NOMBRES COMPLEXES
Les nombres z solutions d'un telle équation sont les racines carrées de a+ bi Il est assez facile de montrer que tout nombre complexe admet deux racines
Quel est l'équation du cercle ?
Poser que l'équation du cercle est de la forme : x2 + y2 + ax + by + c = 0 et former un système de 3 équations à 3 inconnues. Exercice 3.9: Soit les points A(3 ; 3) et B(5 ; 3). Déterminer l'ensemble E de tous les points P(x ; y) du plan vérifiant AP •BP = 8.Comment déterminer l'équation d'une droite complexe ?
1.1 Équation complexe d'une droite
l'équation complexe d'une droite est : ¯?z + ?¯z = k où ? ? C? et k ? R.- Le cercle de centre A d'affixe z=a+ib et de rayon R est \\left(x-a\\right)^2+\\left(y-b\\right)^2 =R^2.
Feuille d"exercices n°5 : Complexes
PTSI B Lycée Eiffel
10 octobre 2013
Exercice 1 (*)
Écrire chacun des nombres complexes suivants sous forme algébrique et/ou trigonométrique. z= (1 + 2i)3z=41iz= (2 +i)21i4 +i z=ei374 z=p3ei6 z= (1ip3) 11 z= (2ei3 )5z=2 +p3 + (2
p31)i2i! 17 z=e(1+i)ln(3)Exercice 2 (*)
Pour chacun des nombres complexesasuivants, calculer l"inverse deaet résoudre l"équationz3=a. a=8i a=ei512 a= 2 + 11i a=i+p3 ip3Exercice 3 (**)
Pour chacun des problèmes indépendants suivants, on essaira de faire deux résolutions : l"une par le
calcul, l"autre géométrique.1. Déterminer les valeurs dezpour lesquellesz,1z
et1zont même module.2. Déterminer les valeurs dezpour lesquellesz,z2etz4ont des images alignées dans le plan
complexe.3. Trouver tous les nombres complexeszvérifiantjzj=jz4jetarg(z) = arg(z+ 1 +i).
4. Trouver tous les nombres complexeszpour lequels les images dez,ietizforment un triangle
équilatéral dans le plan complexe.
Exercice 4 (* à ***)
Résoudre dansCles équations suivantes :
1.z22z+ 5 = 0
2.iz2+ (23i)z+ 5i5 = 0
3.2z2+iz+ 1i= 0
4.z2=z
25.z42cos()z2+ 1 = 0
6.3z25jz2j+ 2 = 0
7.z4= 24i7
18.z=zn
9.4iz3+ 2(1 + 3i)z2(5 + 4i)z+ 3(17i) = 0(cette équation admet une racine réelle)
10.z4z3+z2z+ 1 = 0
Exercice 5 (**)
On considère l"équation(z+ 1)5= (z1)5.
1. Résoudre cette équation de façon bourrine en développant tout.
2. Résoudre cette même équation de façon subtile en utilisant les racines cinquièmes de l"unité.
3. En comparant les deux résultats obtenus, déterminer une valeur exacte decos25
etcos45Exercice 6 (**)
Sipetqsont deux entiers naturels distincts, à quoi ressembleUp\Uq?Exercice 7 (*)
Linéariser les expressions suivantes :cos6(x);sin2(x)cos3(x);cos(x)sin5(x). Exprimercos(5x)sin2(3x)en fonction de puissances decos(x); exprimersin(2x)+sin(4x)+sin(6x)+ sin(8x)en fonction decos(x)etsin(x).Exercice 8 (***)
Simplifier les sommes suivantes :
nX k=0 n k cos(kx);nX k=0sin(kx)cos kx;n1X k=111e2iknExercice 9 (* à **)
Démontrer les propriétés suivantes (questions indépendantes) :1. Pour tous nombres complexesuetv,ju+vj2+juvj2= 2(juj2+jvj2)(identité du parallélo-
gramme).2. Sijuj=jvj= 1etuv6=1, alorsu+v1 +uv2R.
3. Sijzj= 1, on a soitj1 +zj>1, soitj1 +z2j>1. Peut-on avoir les deux simultanément?
Exercice 10 (* à **)
Donner toutes les formes possibles de l"équation des cercles suivants (forme complexe factorisée
jzaj=r; forme complexe développéezzazaz+b= 0; forme cartésienne factorisée(xa)2+ (yb)2=r2; et forme cartésienne développéex2+y2+ax+by+c= 0). Préciser si nécessaire le centre et le rayon du cercle. cercle de centreA(2i)et de rayon3 cercle de diamètre[AB], avecA(1 + 2i)etB(3 + 4i) cercle d"équation complexe développéezz+iziz3 = 0 cercle d"équation cartésienne développéex2+y22x3y+ 9 = 0 cercle passant par les pointsA(1i),B(1i)etC(5i) cercle tangent aux axes réel et imaginaire, et passant par le pointA(6 + 7i) 2Exercice 11 (* à ***)
On considère dans le plan complexe les pointsA(3+i);B(12i);C(1+3i)etD(2+2i). Déterminer l"affixe de chacun des objets géométriques suivants :1. milieu du segment[BC]
2. vecteur
!AB2!AC3. point d"intersection des droites(AC)et(BD)
4. barycentre du système((B;1);(C;2);(D;2))
5. vecteur directeur (normé) de la droite(CD), vecteur normal (normé) à la droite(AB)
6. points d"intersection du cercle de diamètre[AD]et de la droite(BC)
7. centre de gravité, orthocentre, centres des cercles inscrit et circonscrit du triangleABD
Exercice 12 (* à **)
Déterminer l"écriture complexe de chacune des transformations géométriques suivantes. translation de vecteur!u(32i) rotation de centreOet d"angle23 rotation de centreA(12i)et d"angle2 symétrie par rapport à la droite d"équation cartésienney=x symétrie par rapport au pointB(3i) homothétie de rapport12 et de centreC(2 +i) composée de ces deux dernières transformations Inversement, caractériser géométriquement chacune des applications complexes suivantes. f(z) =z3 f(z) = (1i)z+ 2i1 f(z) = 2z f(z) = 3z4i+ 2 f(z) =z+z 2 f(z) =iz+ 2i1Exercice 13 (**)
On considère l"application du plan complexe dans lui-mêmef:z7!z2+z+ 1.1. Déterminer les images parfdes nombres1,2i5etei4
2. Déterminer les antécedents parfde1 +i.
3. Déterminer les nombres complexes invariants parf.
4. Déterminer l"ensemble des nombres complexes ayant une image réelle parf.
5. Déterminer le lieu des pointsMalignés avec leur image parfet avec1.
Exercice 14 (**)
On considère l"applicationf:z7!z+ 1z2, et on noteA=Cnf2getB=Cnf1g.1. Montrer quefréalise une bijection deAversB. Déterminer une expression simple de sa
réciproquef1.2. Déterminer l"image réciproque deU(c"est-à-dire l"ensemble desztels quef(z)2U) et celle
du disque unitéfz2Cj jzj61g. 33. Déterminer les nombres complexesz2Utels quef(z)2U.
4. Quel est l"ensemble de définition de l"applicationff? Est-elle également bijective, et si oui,
vers quel ensemble?Exercice 15 (***)
On considère dans cet exercice l"application définie surCparf(z) =1z1. Montrer quefest bijective deCdans lui-même, et déterminer son application réciproque
f 1.2. Déterminer les nombres complexeszpour lesquelsRe (f(z))>0. Interpréter géométriquement
le résultat obtenu.3. Montrer sur un exemple que l"applicationfne conserve pas les milieux (autrement dit que
l"image parfdu milieu d"un segment[AB]n"est pas toujours le milieu du segment[f(A)f(B)]).4. Déterminer l"image parfde l"axe réel et de l"axe imaginaire.
5. Montrer plus généralement que l"image parfd"une droite passant par l"origine est toujours
une droite passant par l"origine (mais privée du pointO).6. On considère désormais la droite passant par les pointsA(1)etB(i). Montrer que l"image
de tout point de cette droite appartient à un cercle de centreC1i2 . Réciproquement, déterminer les points de ce cercle ayant un antécédent parfsur la droite(AB).7. Généraliser en déterminant l"image d"une droite quelconque du plan complexe (ne passant pas
par l"origine).8. Quelle est l"image parfd"un cercle passant par l"origine?
9. Déterminer l"image parfdu cercle trigonométrique, puis plus généralement celle du cercle de
centreOet de rayonr.10. Déterminer enfin l"image d"un cercle ne passant pas par l"origine et n"étant pas centré enO.
Exercice 16 (****)
On souhaite colorier tout le plan complexe à l"aide de trois couleurs, par exemple le bleu, le rouge et
le vert (qui revient en fait à définir une fonction ayant pour ensemble de départCet pour ensemble
d"arrivée l"ensemble à trois élémentsfbleu; rouge; vertg). Peut-on effectuer ce coloriage de façon à
ce que deux points du plan complexe situés à distance1l"un de l"autre soient toujours de couleur
différente? 4quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] les forces de l économie chinoise
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