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Annales du baccalauréat STABLE DES MATIÈRES

Table des matières

A Sujets du baccalauréat3

A.1 Sujet national 1998............................... 3 A.2 Sujet expérimental 1998............................ 6 A.3 Guadeloupe 1998................................ 9 A.4 Polynésie 1998.................................. 12 A.5 Centresétrangers 1998............................. 15 A.6 Pondichéry 1998................................. 18 A.7 Amérique du Nord 1998............................ 21 A.8 Asie 1998..................................... 24 A.9 Remplacement 1998............................... 26 A.10 Sujet expérimental 1997............................ 29

B Exercices35

B.1 Intégration.................................... 35 B.1.1 Japon 1996 ( modifié).......................... 35 B.1.2 Amérique du Sud 1995......................... 36 B.1.3 Sportifs de haut niveau 1994..................... 36 B.1.4 Polynésie 1991............................. 37 B.2 Probabilités................................... 38 B.2.1 Groupe II bis 1997........................... 38 B.2.2 Paris 1997................................ 38 B.2.3 Pondichéry 1997............................ 39 B.2.4 Polynésie 1997............................. 39 B.2.5 Amérique du Nord 1997........................ 40 B.2.6 Remplacement 1996.......................... 40 B.2.7 Guadeloupe 1996............................ 41 B.2.8 Groupe II bis 1996........................... 42 B.2.9 La Réunion 1996............................ 42 B.2.10 Nouvelle Calédonie 1996....................... 43 B.2.11 La Réunion 1995............................ 43 B.2.12 Exercice complémentaire....................... 43 B.3 Nombres complexes.............................. 44 B.3.1 Groupe I bis 1997............................ 44 B.3.2 Groupe II bis 1997........................... 44 B.3.3 Antilles 1997............................... 45 B.3.4 Polynésie 1997............................. 46 B.3.5 Centres étrangers 1997......................... 46 B.3.6 Japon 1997................................ 47

Lycée Louis Armand1

TABLE DES MATIÈRESAnnales du baccalauréat S

B.3.7 La Réunion 1996............................ 48 B.3.8 Nouvelle Calédonie 1996....................... 48 B.3.9 Sportifs de haut niveau 1996..................... 49 B.3.10 La Réunion 1995............................ 50 B.3.11 Groupe IV 1994............................. 50 B.3.12 Sujet complémentaire......................... 51 B.4 Courbes paramétrées.............................. 52 B.4.1 Sujet complémentaire......................... 52 B.4.2 Sujet complémentaire......................... 52 B.5 Barycentre.................................... 53 B.5.1 Remplacement 1996.......................... 53 B.5.2 Nouvelle Calédonie 1996 (modifié).................. 53 B.5.3 Centres étrangers 1994......................... 53 B.5.4 Exercice complémentaire....................... 54 B.5.5 Exercice complémentaire....................... 54 B.5.6 Exercice complémentaire....................... 55 B.6 Géometrie dans l'espace............................ 55 B.6.1 Sportifs de haut niveau 1995..................... 55

C Problèmes57

C.1 Nantes 1997................................... 57 C.2 Groupe I bis 1997................................ 59 C.3 Groupe II bis 1997................................ 60 C.4 Antilles 1997................................... 62 C.5 Polynésie 1997.................................. 63 C.6 Amérique du Nord 1997............................ 65 C.7 Japon 1997.................................... 67 C.8 Nouvelle Calédonie 1996............................ 69 C.9 Sportifs de haut niveau 1996.......................... 70 C.10 National Année 1995.............................. 72 C.11 La Réunion 1995................................. 73

D Sujets de concours75

D.1 Concours général 1998............................. 75 D.2 Concours général 1997............................. 76 D.3 ENI 1998..................................... 77

E Eléments de solutions85

E.1 Sujets du baccalauréat............................. 85 E.1.1 Correction du sujet A.1........................ 85 E.2 Exercices..................................... 88 E.2.1 Correction de l'exercice B.2.3..................... 88 E.2.2 Correction de l'exercice B.2.7..................... 89 E.2.3 Correction de l'exercice B.3.11..................... 90 E.3 Problèmes.................................... 91 E.3.1 Correction du problème C.9...................... 91 E.4 Sujets de concours................................ 93 E.4.1 ENI Annee 1998............................. 93

2Lycée Louis Armand

ANNALES DE MATHÉMATIQUES

TERMINALE S

Année scolaire 1998/1999

Louis ARMAND

PoitiersLycée

TABLE DES MATIÈRESAnnales du baccalauréat S

2Lycée Louis Armand

Annales du baccalauréat S

A

Sujets du baccalauréat

A.1 Sujet national 1998

EXERCICE 1 (5 points)

Commun à tous les candidats

Dans tout l'exercice, A et B étant deux événements, P(A) désigne la probabilité de A;p(B/A) la probabilité de B sachant que A est réalisé.

1. Le nombre de clients se présentant en cinq minutes dans une station-service est

une variable aléatoire X dont on donne la loi de probabilité: pi =P(X=i) i012 pi0,1 0,5 0,4 (a) Dénir et représenter graphiquement la fonction de répartition de X. (b) Calculer l'espérance mathématique de X.

2. Dans cette station-service, la probabilité qu'un client achète de l'essence est 0,7;

celle qu'il achète du gazole est 0,3. Son choix est indépendant de celui des autres clients. On considère les événements suivants: C 1 : " en cinq minutes, un seul client se présente »; C 2 : " en cinq minutes, deux clients se présentent »; E : " en cinq minutes, un seul client achète de l'essence »; (a) Calculer P(C 1 E). (b) Montrer que P(E =C 2 )=0;42 et calculer P(C 2 E). (c) En déduire la probabilité qu'en cinq minutes un seul client achète de l'es- sence.

3. Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de clients achetant de l'essence en

cinq minutes; déterminer la loi de probabilité de Y.

EXERCICE 2 (5 points)

Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité

Lycée Louis Armand3

A. SUJETS DU BACCALAURÉATAnnales du baccalauréat S Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct(O; ~u;~v).

1. Résoudre dans

Cl'équation (1):

z2 z1 =z On donnera le module et un argument de chaque solution.

2. Résoudre dans

Cl'équation (2):

z2 z1 =i

On donnera la solution sous forme algébrique.

3. Soit M, A et B les points d'affixes respectives:

z, 1 et 2.

On suppose que M est distinct des points A et B.

(a) Interpréter géométriquement le module et un argument de z2 z1 (b) Retrouver géométriquement la solution de l'équation (2).

4. (a) Montrer, à l'aide d'une interprétation géométrique, que toute solution de

l'équation dans C: z2 z1 n=i oùndésigne un entier naturel non nul donné, a pour partie réelle 3 2 (b) Résoudre alors dans

Cl'équation (3):

z2 z1 2=i On cherchera les solutions sous forme algébrique.

PROBLEME (10 points)

Les tracés de courbes seront faits dans un plan rapporté à un repère orthonormal (O;~{; ~|)(unité: 2 cm).

On rappelle qu'une fonction

fest majorée par une fonctiong(ce qui signifie aussi que gest minorée parf) sur un intervalle I si et seulement si, pour toutxappartenant

àI,

f(x)6g(x).

Partie A

4Lycée Louis Armand

Annales du baccalauréat SA.1. SUJET NATIONAL 1998 Soitfetgles fonctions définies sur[0; +1[parf(x)=ln(1 +x)etg(x)= 2x x+2 ;on notera C la représentation graphique de fetcelle deg.

On se propose de démontrer que

fest minorée pargsur[0; +1[. Soit hla fonction définie sur[0; +1[parh(x)=f(x)g(x).

1. Etudier le sens de variation de

hsur[0; +1[; calculerh(0). (L'étude de la limite de hen+1n'est pas demandée.)

2. En déduire que pour tout réel

xpositif ou nul, (1) 2x x+2

6ln(1 +x)

3. Construire dans le même repère les courbes C etet montrer qu'elles admettent

en O une même tangente D que l'on tracera. (On justifiera rapidement le tracé de ces courbes).

Partie B

kdésignant un réel strictement positif, on se propose de déterminer toutes les fonc- tions linéaires x7!kx, majorant la fonction:f:x7!ln(1 +x)sur[0; +1[. Soit fkla fonction définie sur[0; +1[parfk (x) = ln(1 +x)kx.

1. Étudier le sens de variation de

f1définie sur[0; +1[par: f1 (x)=ln(1 +x)x

2. Étudier la limite def1en+1et donner la valeur def1en0.

3. Montrer que pour tout réel

xpositif ou nul: (2) ln(1 +x)6x.

4. En déduire que si

k>1, alors: pour toutx>0;f(x)6kx

5. Le réelkvérifie les conditions:0

Montrer que la dérivée de

fks'annule pourx= 1k k et étudier le sens de varia- tion de fk. (L'étude de la limite defken+1n'est pas demandée.)

6. En déduire les valeurs de

kstrictement positives telles que pour toutx>0;f(x)6kx

Partie C

Lycée Louis Armand5

A. SUJETS DU BACCALAURÉATAnnales du baccalauréat S

1. A l'aide d'une intégration par parties, calculer:

I Z 10 ln(1 +x)dx: (On remarquera éventuellement que: x x+2 =1 11+x

EndéduirelecalculdeJ

Z 10 (xln(1 +x))dxpuisde K= Z 10 ln(1 +x) 2x x+2 dx

Pour le calcul de K on pourra vérifier que

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