Primalité des nombres de Mersenne
On se restreint donc à q premier impair. Remarques : Tous les nombres de Mersenne ne sont pas premiers par exemple
Les nombres parfaits
aux nombres premiers et a tenté de trouver une formule représentant tous les le nombre de Mersenne 2n ? 1 est premier alors 2n-1(2n ? 1) est un ...
Spécialité TS Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits
Spécialité T S Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits 2010-2011. 1. Définition 1 : Un entier positif n est appelé un nombre parfait si il est égal
Un nombre premier de 157 chiffres
Rappel : le p-ième nombre de Mersenne est par définition Mp = 2p ? 1. On connaît aujourd'hui 44 nombres de Mersenne premiers à savoir tous les Mp pour.
TESTS DE PRIMALITÉ NOMBRES DE MERSENNE 1. Introduction
fini quadratique sur Fp (p étant un nombre premier) pour le test de primalité de Lucas. 2. Tests de non primalité. Le petit théor`eme de Fermat fournit un
Primalité des nombres de Mersenne
On suppose Mq non premier et on appelle p un de ses diviseurs premiers. p est donc un diviseur de 0 dans A
M1MI2016 Codes et Cryptologie Feuille dexercices n 1.
On connait 47 nombres premiers de Mersenne. On conjecture qu'il en existe une infinité. 11 Nombres parfaits. Un entier positif a est un nombre parfait si la
Les nombres premiers - Lycée dAdultes
Tir 31 1394 AP Définition 1 : Un nombre premier est un entier naturel qui admet exacte- ... 1) Calculons les 6 premiers nombres de Mersenne :.
Un critère de primalité pour les nombres de Mersenne
Applications. Définition : Soit q ? N?. Le q-ième nombre de Mersenne est Mq = 2q ? 1. Remarque 1 : Si q n'est pas premier alors Mq n'est pas premier.
Premiers et parfaits notes dexposé
Esfand 23 1396 AP Lycée Bascan de Rambouillet. Introduction `a l'exposé de Daniel Perrin. Fermat
[PDF] Primalité des nombres de Mersenne - Minerve de lENS Rennes
On appelle nombres de Mersenne les Mq = 2q ? 1 pour q ? N On a d'abord le lemme : Lemme 1 Si Mq est un nombre premier alors q est premier
[PDF] Primalité des nombres de Mersenne - ENS Rennes
Le théorème ci-dessous nous donne donc un critère de primalité des nombres de Mersenne pour q premier impair Théorème 1 Pour q premier impair on a
[PDF] Spécialité TS Nombres premiers de Mersenne et nombres parfaits
2n – 1 est appelé un nombre de Mersenne Si 2n - 1 est premier alors il s'agit d'un nombre premier de Mersenne Théorème 1 k est un nombre parfait pair si
[PDF] NOMBRES de MERSENNE (1588-1648) - Jean-PaulDIERICK
NOMBRES de MERSENNE (1588-1648) Soit a un entier naturel Soit n un entier strictement supérieur à 1 a n - 1 premier ? ( a = 2 et n est premier )
[PDF] Mersenne - MPSI - Camille Guerin
9 jan 2021 · La réciproque de cette proposition est hélas fausse et on connaît des nombres de Mersenne Mp avec p premier qui eux ne sont pas premiers
[PDF] Nombres de Mersenne
Mersenne s'intéressa aux nombres de la forme 2 1 et montra qu'il était nécessaire pour qu'il soit premier que soit premier
[PDF] Fermat Mersenne factorisation et nombres parfaits
Le premier texte est l'extrait suivant d'une lettre de Fermat `a Mersenne datant3 de 1643 (voir [4] tome II p 256 lettre LVII) Cela posé qu'un nombre
[PDF] 1 Test de primalité 2 Nombres de Mersenne
Les nombres de Mersenne permettent d'obtenir des nombres premiers «gigantesques» Le 12 avril 2009 a été découvert le 47-ième nombre premier de Mersenne 1 il s
[PDF] nombres de Mersenne et nombres parfaits - MATHÉMATIQUES
La conjecture « Les nombres de Mersenne Mn où n est un nombre premier sont des nombres premiers » est-elle plausible ? Vérifier que M11 admet un diviseur autre
[PDF] Les nombres parfaits - Cours
On appelle nombre de Mersenne un nombre de la forme Mn = 2n ? 1; si ce nombre est premier on dit alors que c'est un premier de Mersenne
Quels sont les 15 premiers nombres de Mersenne ?
En 1947 la liste correcte des nombres de Mersenne premiers pour n < 258, est établie et vérifiée : n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107 et 127. On connaît actuellement une quarantaine de nombres de Mersenne.Comment calculer un nombre de Mersenne ?
Les nombres de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, c'est-à-dire égaux à la somme de leurs diviseurs autres qu'eux-mêmes, car, si Mp est un nombre de Mersenne premier, alors 2p – 1 (2p – 1) est un nombre parfait, et tout nombre parfait pair est de cette forme.Quel est le plus grand nombre de Mersenne ?
Mersenne a calculé (avec quelques erreurs) de tels nombres premiers jusqu'à l'exposant 257. Depuis, c'est la course au plus grand nombre de Mersenne premier, le dernier en date étant pour p = 82 589 933. Avec ses 24 862 048 chiffres, le nombre obtenu est aussi le plus grand nombre premier connu.- Nombre de Fermat et primalité
Soit k un entier strictement positif ; si le nombre 2k + 1 est premier, alors k est une puissance de 2. qui montrent que c + 1 est un diviseur du nombre premier 2k + 1 et donc lui est égal, si bien que k = 2b.
M1MI2016 Codes et Cryptologie
Feuille d"exercices n
1. Arithmétique1Sia= 462etb= 104, calculezd= pgcd(a;b), ainsi que deux entiersuetvtels queau+bv=d. Calculezppcm(a;b).2Calculez par la méthode de votre choix les pgcd suivants :pgcd(46848;2379),pgcd(13860;4488),
pgcd(42098;36146),pgcd(30076;12669;21733),ppgcd(4096;11111111111111).3Montrez quepgcd(ab;ac) =apgcd(b;c).4Montrez quepgcd(2n3+ 5n2+ 4n+ 1;2n2+n) = 2n+ 1.5Le Lemme de Gauss.Montrez que, siajbcetpgcd(a;b) = 1, alorsajc.6Trouvez deux entiersuetvtels que29u+ 24v= 3, puis déterminez tous les couples
(u;v)2Z2tels que29u+ 24v= 3. Mêmes questions pour30u+ 35v= 100,13u+ 19v= 4.7Soitd= pgcd(a;b). Déterminez tous les couples(u;v)2Z2tels qued=au+bv.8Démontrez les résultats suivants :
1. Siadivisecetbdivisecet sipgcd(a;b) = 1alorsabdivisec.
2. Sipgcd(a;b) = 1et sipgcd(a;c) = 1alorspgcd(a;bc) = 1.
3. Sipest un nombre premier et sipdiviseabalorspdiviseaoupdiviseb.9Faire la liste des nombres premiers inférieurs à100. On pourra utiliser le crible d"Ératosthène.10Nombres de Mersenne.Un nombre de Mersenne est un nombre entier de la forme
M p= 2p1. Montrez que, siMpest premier, alorspest premier (on pourra utiliser la formule x n1 = (x1)(xn1++x+1)). Vérifiez queM2,M3,M5,M7sont premiers mais pasM11.On connait47nombres premiers de Mersenne. On conjecture qu"il en existe une infinité.11Nombres parfaits.Un entier positifaest un nombre parfait si la somme de ses diviseurs
positifs est égale à2a. Montrez que, sia= 2npavecppremier,aest parfait si et seulement sip= 2n+11. En déduire quepest un nombre premier de Mersenne et donc quen+ 1est un nombre premier (voir l"exercice sur les nombres de Mersenne). Calculez les quatre premiers nombres parfaits.12Nombres de Fermat.Un nombre de Fermat est un nombre entier de la formeFn= 22n+1.
1. Montrez que, si2a+ 1est premier, alorsaest nécessairement une puissance de2(on
pourra utiliser la formule : sinest impair,xn+ 1 = (x+ 1)(xn1xn2+ x+ 1)).2. Vérifiez queF0,F1,F2,F3,F4sont premiers, mais queF5n"est pas premier (on pourra
chercher un facteur de la forme128k+ 1).3. Montrez les propriétés suivantes :
F n= (Fn11)2+ 1 F n=Fn1+ 22n1F0:::Fn2 F n=F2n12(Fn21)2 F n= (F0F1:::Fn1) + 2 et déduire de la dernière qu"il sont deux à deux premiers entre eux. On ne connait aucun autre nombre premier de Fermat..13Plimpton 322 On appelletriplet pythagoricienun triplet d"entiers(a;b;c)tels quea2+b2=c2. Le but de cet exercice est de décrire tous les triplets pythagoriciens.1. Montrez que, simetnsont des entiers premiers entre eux, alors
a=m2n2; b= 2mn; c=m2+n2(1) est un triplet pythagoricien. Dans la suite, on suppose quea;b;cn"ont aucun diviseur commun, et quea2+b2=c2. Notre but est de montrer qu"alors(a;b;c)est de la forme (1).2. Montrez quepgcd(a;b) = pgcd(b;c) = pgcd(c;a) = 1.
3. Montrez queaoubest pair.
On suppose désormais quebest pair et on poseb= 2b0.4. Montrez queu= (c+a)=2etv= (ca)=2sont entiers et premiers entre eux.
5. Montrez queuv=b02et en déduire queuetvsont des carrés d"entiers.
6. Conclure.
7. Pour quelles valeurs demetnobtient-ona= 10441etc= 20809?
14Euclide a décidé de travailler sur les entiers écrits en base2pour se préparer à la révolution
numérique.Sia=a0+ 2a1+ 4a2++ 2nanavecak= 0;1est l"écriture binaire dea, il notea= a nan1:::a1a0.1. Écrire en binaire les nombres16,13,280.
2. Convertir en base10le nombre binaire101010.
3. Quel est l"effet de la multiplication par une puissance de2sur un nombre binaire?
4. Posez et effectuez l"addition et la soustraction dea= 11100010etb= 10011111.
Euclide souhaite effectuer son célèbre algorithme sur des nombres binaires, mais comme il a du mal avec les multiplications et les divisions, il remplace les divisions euclidiennesa=bq+rpar a=b2k+roù il prendkle plus grand possible tel queb2ka.5. Expliquez pourquoi, dans l"exécution de son algorithme, Euclide va parfois obtenir un
reste plus grand que le diviseur. Que doit-il faire dans ce cas? Exemple :a= 1101et b= 100.6. Effectuez cet algorithme sura= 100001010etb= 111000pour calculer leur pgcd.
7. Montrez que, dans cette pseudo-division euclidienne,r < a=2.
8. En déduire que, dans la suite des restes successifsr0=a,r1=b;:::;rk;:::calculés au
cours de l"algorithme, on ark< a=2k=2.9. En déduire que le nombre de pseudo-divisions dans cet algorithme est au plus deux fois
le nombre de chiffres binaires dea.10. À l"aide de ce qui précède, comparer le nombre de divisions euclidiennes effectuées pour
calculer le pgcd de deux entiers, d"une part dans l"algorithme d"Euclide, et d"autre part dans la méthode consistant à d"abord factoriser ces entiers par divisions successives.quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] en mars 2015 max achète une plante verte mesurant 80 cm
[PDF] dans cet exercice on appelle numéro du jour de naissance
[PDF] forces faiblesses opportunités menaces exemple
[PDF] force et faiblesse d'une entreprise
[PDF] formation chauffeur c
[PDF] formation permis c prix
[PDF] formation chauffeur poid lourd gratuite
[PDF] permis camion prix
[PDF] formation chauffeur poid lourd bruxelles
[PDF] formation soudeur
[PDF] formation chauffeur poid lourd namur
[PDF] définition forêt fao
[PDF] la forêt définition simple
[PDF] un petit paragraphe sur la foret
