[PDF] Recueil des exercices tombés aux oraux

View - Download Recueil des exercices tombés aux oraux

Previous PDF

Next PDF

Recueil des exercices tombés aux oraux

Frédéric Zwolska

Lycée Mimard

Année scolaire 2014-2017

25 août 2018

1 TABLE DES MATIÈRES 1 FONCTIONS PREMIÈRE ANNÉE

Table des matières

1 Fonctions première année2

2 Sommes finies, polynômes et nombres complexes première année 4

3 Espaces vectoriels6

4 Applications linéaires7

5 Probabiltiés générales18

6 Suites et séries numériques22

7 Espaces vectoriels normés35

8 Réduction d"endomorphisme36

9 Variables aléatoires discrètes62

10 Lois usuelles infinies73

11 Intégrales généralisées77

12 Espaces préhilbertiens réels84

13 Suites de fonctions90

14 Séries de fonctions94

15 Séries entières102

16 Fonctions génératrices et approximations 120

17 Fonctions vectorielles et arcs paramétrés 122

18 Calcul différentiel124

19 Isométries, endomorphismes symétriques 129

20 Intégrales à paramètres139

21 Équations et systèmes différentiels 148

22 Informatique pure156

1 Fonctions première année

Exercice 1. Mines-Ponts PSI 2017

Exercice 2. Mines-Ponts PSI 2017

Trouver les fonctionsf???+→?de classeC1telles que?x???+,f′?1x ?=-f(x)2

Exercice 3. Mines-Ponts PSI 2017

Calculer une primitive dex↦?2+tan2(x).

2/162

1 FONCTIONS PREMIÈRE ANNÉE

Exercice 4. Mines-Ponts PSI 2017

CalculerI=?ln(2)

0(sh(x))2(ch(x))3dx.

Exercice 5. Granger Mines-Ponts 2016

1.

S oita>0. Montrer que?x??,?!y??tel que?y

xet2dt=a.

On notef(x)cette valeury.

2.

É tudierf(variations).

Exercice 6. BEOS 2016 Mines Ponts PSI 143

Résoudre dansRl"équation suivante : arctan(x-1)+arctanx+arctan(x+1)=¼2

Exercice 7. BEOS 2016 Mines Ponts PSI 144

Calculer,?n?N?,n

k=0k3?n k?.

Exercice 8. Mines-Ponts PSI 2015

1. S oitPun polynôme tel queP(X2)=P(X-1)P(X). Montrer que les éventuelles racines dePsont de mo- dule 1. 2.

T rouvert ousles Pvérifiant cette relation.

Exercice 9. Mines-Ponts PSI 2015

Soitf?[a,b]→R, avecf(a)=f(b)=0,f′(a)>0 etf′(b)>0. Montrer qu"il existec?]a,b[tel quef′(c)<0 et

f(c)=0.

Exercice 10. RMS 2016 IMT PSI n°146

Montrer à l"aide de l"inégalité des accroissements finis que : ?x??+,x1+x2⩽arctan(x)⩽x.

Exercice 11. CCP 2018 T"Kint

Soitf?x↦x+ln(1+x)

1.

M ontrerqu efest une bijection sur son ensemble de définitionDdans un intervalle à préciser.

2.

S oitg=f-1. Montrer quegest de classeC∞surD.

3.

C alculerg(0)etg′(0).

4. M ontrerqu egadmet un développement limité à l"ordre 3 en 0. 5.

D éterminerc ed éveloppementl imité.

Exercice 12. CCP 2017 Peltier et OdlT 2016 CCP PSI n°205 I 1.

M ontrerqu epour t outn⩾3, l"équation ex=nxadmet deux solutionsxnetyntelles que 0⩽xn 2.

É tudierla mon otoniedes suites (xn)et(yn).

3. E ndéduir equ "ellesa dmettentu nel imiteà d éterminer. 4.

M ontrerqu exn≂n→+∞1n

5.

T rouverunéquivalentdexn-1n

etendéduireundéveloppementasymptotique àdeuxtermesdexnen+∞. 3/162

2 SOMMES FINIES, POLYNÔMES ET NOMBRES COMPLEXES PREMIÈRE ANNÉE

6.

S oitu nnombr er éel"strictement positif. Montrer qu"à partir d"un certain rang,yn⩽(1+")ln(n).

Exercice 13. RMS 2016 CCP PSI n°145

Résoudre l"équation arcsin(x)+arcsin?⎷1-x2?=¼2

Exercice 14. RMS 2016 CCP PSI n°149

Soient(a,b)??2avecaMontrer que ?b at f(t)dt=a+b2 ?b af(t)dt. Calculer?¼

0t1+cos2(t)dt.

Exercice 15. ENSAM PSI 2017

On veut montrer que¼est irrationnel. On suppose par l"absurde que¼=ab avec(a,b)?(??)2. 1.

M ontrerqu epour t outq??,qn=on→+∞(n!).

2.

S oit,p ourn??,Qn(X)=1n!Xn(bX-a)netIn=?¼

0Qn(x)sin(x)dx.

Montrer que la suite(In)tend vers 0.

3.

É tablir,pou rt outn???, la relation :Q′n=(2bX-a)Qn-1. Puis, à l"aide de cette relation et de la formule de

Leibniz, exprimer les dérivées successives deQnen fonction de celles queQn-1. 4.

M ontrerqu eQ(k)

n(0)??etQ(k) n(¼)??pour toutk??etn??. 5.

M ontrerqu e?n??,In??et conclure.

Exercice 16. RMS 2016 ENSEA PSI n°144

Résoudre l"équation 3

x+4x=5xdans?.

Exercice 17. Navale PSI 2017

Soitfune fonction continue de?dans?. On suppose quefest contractante (c"est-à-direa-lipschitzienne avec

a??0;1?). Montrer quefadmet un unique point fixe. Que dire poura=1?

Exercice 18. St Cyr PSI 2017

1. T rouverun exemp lede f onctioncon tinuemais pa sde classe C1sur?0;1]. 2. S oitk??. Trouver un exemple de fonction de classeCkmais pasCk+1sur?0;1].

Exercice 19. ICNA PSI 2017

Soitfune fonction continue et bijective de?0;1]dans lui même, telle que : f -1soit continue et?x??0;1],f(2x-f(x))=x. 1. C alculerf(0 etf(1).fest-elle croissante ou décroissante? 2. O nsu pposequ "ilexi steu nréel x0dans?0;1]tel quef(x0)≠x0, et on pose?n???,xn=f(xn-1). Pour tout entier natureln, calculerxn-x0et en déduiref.

2 Sommes finies, polynômes et nombres complexes première année

Exercice 20. Mines-Ponts PSI 2017

Calculer un équivalent, quandntend vers+∞, debn=n k=1(-1)k⎷k. 4/162

2 SOMMES FINIES, POLYNÔMES ET NOMBRES COMPLEXES PREMIÈRE ANNÉE

quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

[PDF] sujets ccp 2017

[PDF] oraux ccp date

[PDF] corrigé ccp 2016 physique

[PDF] banque ccp 2018

[PDF] banque ccp mp corrigé

[PDF] histoire des banques centrales et de l'asservissement de l'humanité pdf

[PDF] le role de la banque centrale dans la creation monetaire

[PDF] la relation entre la banque centrale et les banques commerciales pdf

[PDF] banque de commentaires bulletin primaire

[PDF] commentaires bulletin bilan préscolaire

[PDF] bulletin maternelle

[PDF] banque de commentaires première communication

[PDF] commentaire bilan préscolaire

[PDF] commentaire bulletin comportement

[PDF] exemples appréciations livret scolaire maternelle