[PDF] Relativit¶e restreinte th¶eorie relativiste des collisions

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Partie II

69

Introduction

Elle est aussi essentielle en astronomie, beaucoup de sources de rayonnement cosmiques impliquant 3 newtoniennes telles que nous les connaissons maintenant.

La phase conceptuellement la plus di±cile de notre travail, qui fera l'objet du premier chapitre, sera

introduirons en particulier des conventions de notations trµes puissantes, dues µa Einstein, qui permettent

guµere exploiter sans une forme explicite des forces, au moins de la force de Lorentz. Nous n'explorerons

3 71
72
d'interaction entre particules transmise par un champ. Nous postulerons des formes simples pour de Maxwell s'adapte naturellement au cadre relativiste. Nous en pro¯terons pour examiner quelques

Chapitre 1

ferroviaire 1 , le passager de train a une vitesse faible ou nulle par rapport µa celle du contr^oleur, alors c'est un ensemble d'observateurs, immobiles les uns par rapport aux autres. Ces observateurs peu-

vent constater le passage du mobile µa leur position. La connaissance de la position des observateurs

sont de plus munis d'horloges qui leur permettent de noter l'instant auquel le mobile passe en face sentantlapositionenfonctiondutempscommundesobservateurs. Lem^eme mouvement serait 0 , en mouvement par rapport µaR, par trois autres fonctions du temps commun des observateurs deR 0 :x 0 (t 0 );y 0 (t 0 );z 0 (t 0 02 .Il 1 2 73
xx'y' y z z'O O'u 0 en mouvement relatif. Les axes des deux repµeres sont parallµeles. Les axesOxetO 0 x 0 est possible alors de donner la transformation qui fait se correspondre les mouvement vus dans deux 0 de telle maniµere que:

²Les axesOxetO

0 x 0 coijncident a tout instant et sont parallµeles µa la vitesseudeR 0 par rapport

µaR.

²Les originesOetO

0 sont confondues µal'instantt=0.

²Les axesOyetO

0 y 0 , d'une part, et les axesOzetO 0 z 0 , d'autre part, sont constamment parallµeles et coijncident µat=0. x 0 (t)=x(t)¡ut y 0 (t)=y(t) z 0 (t)=z(t) 9>= (1.1) v=v 0 +u(1.2) rapport aux autres, tels que le mouvement d'une particule libre y soit rectiligne et uniforme.

La loi de composition des vitesses, telle que nous venons de la rappeler, est di±cilement compatible

avaient mis plus de 20 siµecles, entre Aristote et Copernic, pour comprendre que notre petite planµete

vitesses, on doit pouvoir mesurer une variation de cette vitesse pour des mouvements assez rapides par

3 hydrodynamique. On pouvait aussi supposer, avec Lorentz, une \contraction" de la longueur des objets

particules dans la matiµere. On pouvait supposer aussi un lien entre la vitesse de la lumiµere et celle de sa

L'autre attitude, beaucoup plus courageuse puisqu'elle conduit, comme nous le verrons, µamettre 3 4 . Le principe fondamental de cette nouvelle physique, les lois de la physique prennent la m^eme forme.

une vitesse limite de propagation de toutes les interactions et e®ectuer tous les raisonnements qui vont

en e®et, bien que cela soit trµes peu vraisemblable, que le photon possµede une trµes petite masse, rendant

(deux horloges en mouvement relatif b^aties sur le m^eme modµele ne battent pas au m^eme rythme). temporelles. 0 sera celui du contr^oleur, ou du train, pour reprendre nos analogies ferroviaires, le 0 ,envoieµat 0 = 0 (nous ne confondrons pas y 0 0 le contr^oleur et l'atteint au bout d'un tempsT 0 =2L=c(nous supposerons, pour ce paragraphe 0 - l'ensemble 4

Seuil{CNRS).

O'M' OM BHL x'x l'observateurO 0 ,lelongdel'axeO 0 z 0 O 0 0 vitesse de l'impulsion estcdansR). Notons que le contr^oleur pourrait ainsi construire une horloge.

1.2). At

0 =0,lecontr^oleur est enO 0 quel'impulsionnel'atteigne.IloccupedoncunepositionM,µa une certaine distance deOsur l'axe positionBau moment du retour. La trajectoire de l'impulsion dansRest triangulaire. du train). Son module est doncp c 2 +u 2 Lp c 2 +u 2

identique µa celle vue par le contr^oleur (la distance parcourue dansRest plus grande, mais le module

CommeOM

2 =L 2 +OH 2 ,onaOM=L= p

1¡u

2 =c 2 . Il obtient donc ¯nalement:

T=°T

0 ;(1.3) avec

°=1

s

1¡u

2 c 2 :(1.4) A AB B A' B' OO O' O' 0 0 en face des observateursA 0 etB 0

Si chacun construisait une horloge avec le m^eme dispositif, celle du chef de gare battrait plus vite et

avancerait par rapport µacelleducontr^oleur (un cauchemar pour le respect des horaires; heureusement,

queletempsn'estpasunenotionuniverselle. 0 n'arriverait

Au m^eme instantt=t

0 0 , passe devant le chef de gare. Il voit donc, deux voyageursA 0 etB 0 position et la vitesse de la lumiµerepourcalculercetinstant. signaux s'allument dansR 0 au m^eme instantt 0 =¡L=c.AcetinstantO 0 est µa une abscisse¡uL=c par rapport µaO. Les passagersA 0 etB 0 0 =¡L+uL=cet x 0 0 O 0 =L(c¡u)=cest donc 0 O 0 =L(c+u)=c. En revanche, la vitesse de l'impulsion venant deA 0 est c¡uet la vitesse de l'impulsion venant deB 0 des observateursA 0 etB 0 (il nous faudra la transformation de Lorentz pour cela). Nous pouvons comprendre, en revanche, que la distanceA 0 O 0 0 B 0 .Le 0 5 6 5 6 A xct

dimensions, l'ensemble des lignes d'univers partant d'un point et correspondant µaunmouvementµac

lui m^eme la cause deC,alorsApeut ^etre la cause deC. Nous allons maintenant pouvoir a±ner beaucoup ces notions en introduisant l'intervalle.

1.3.2 Intervalle. Invariance de l'intervalle

1 ;x 1 ;y 1 ;z 1 )et(ct 2 ;x 2 ;y 2 ;z 2 lumineux se propageant µalavitessec. On a donc dans ce cas: c 2 (t 1 ¡t 2 2 =(x 1 ¡x 2 2 +(y 1 ¡y 2 2 +(z 1 ¡z 2 2 :(1.5) s 21;2
=c 2 (t 1 ¡t 2 2

¡(x

1 ¡x 2 2

¡(y

1 ¡y 2 2

¡(z

1 ¡z 2 2 :(1.6)

Notons que le choix du signe + pour la composante temporelle de l'intervalle est tout µa fait arbitraire.

de la description du mouvement. Un intervalle nul est donc un invariant dans un changement de

donner ici une indication de ce fait par un raisonnement qui, bien qu'il ne soit pas tout µa fait rigoureux

l'intervalle. Cette invariance nous permettra, dans les prochains paragraphes, de comprendre beaucoup

ds 2 =c 2 dt 2

¡dx

2

¡dy

2

¡dz

2 :(1.7) 0 ds 02 =c 2 dt 02

¡dx

02

¡dy

02

¡dz

02 :(1.8) ds 02 =ads 2 ;(1.9) 00 ,enmouvementµalavitessevpar rapport µaRetwpar rapport µaR 0 002 ,esttelque: ds 002 =a(v)ds 2 =a(w)ds 02 =a(w)a(u)ds 2 :(1.10) a(w)=a(v) a(u)(1.11)

Si l'intervalle est un invariant relativiste, son signe l'est aussi, bien s^ur. Nous distinguerons donc deux

types d'intervalles:

²Sis

21;2

²Sis

21;2
vitesse limitec). Nous dirons alors que nous avons µafaireµaunintervalledegenre\espace".

²Sis

21;2
de la lumiµere. Nous dirons alors que l'intervalle est du genre \lumiµere". c^onedelumiµere, soient elles aussi des invariants relativistes.

MetOµacoijncidence. Mais ceci est contraire µa l'invariance de l'intervalle, qui deviendrait nul dans ce

paragraphe suivant quand nous disposerons de la forme explicite de la transformation de Lorentz. sont du genre temps.

1.3.4 Temps propre

Nous pouvons appliquer l'invariance de l'intervalle au problµeme des horloges en mouvement que nous

de la transformation de Lorentz. tangent au mouvementR 0 l'origineO 0 deR 0 , avec une vitesse nulle. ds 2 =c 2 dt 2

¡dl

2 =c 2 dt 2

1¡v

2 c 2 :(1.12) 0 0 . L'intervalle ds 2 =c 2 dt 02 :(1.13) 0 et nous le noterons d¿=dt 0 dt=°d¿(1.14) avec

°=1

s

1¡v

2 c 2 :(1.15) suivant.

Silavitessedelaparticuleesttrµes proche de celle de la lumiµere, la facteur de dilatation temporelle

relativiste des temps 7quotesdbs_dbs18.pdfusesText_24

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