[PDF] Relativité Générale Le but de ce cours

View - Download Relativité Générale

Previous PDF

Next PDF

Observatoire de Paris, Universités Paris 6, Paris 7 et Paris 11,

École Normale Supérieure

MasterAstronomie, Astrophysique et Ingénierie Spatiale

Année M2 - Parcours Recherche

2013 - 2014

UE FC5

Relativité générale

Éric Gourgoulhon

Laboratoire Univers et Théories (LUTH)

CNRS / Observatoire de Paris / Université Paris Diderot (Paris 7) eric.gourgoulhon@obspm.fr 2

Table des matières

1 Introduction

9

1.1 Motivations et objectifs du cours

9

1.2 Articulation avec les autres cours

10

1.3 Page web du cours

11

2 Cadre géométrique

13

2.1 Introduction

13

2.2 L"espace-temps relativiste

13

2.2.1 Les quatre dimensions

13

2.2.2 Notion de variété

14

2.2.3 Courbes et vecteurs sur une variété

16

2.2.4 Formes multilinéaires et tenseurs

22

2.3 Tenseur métrique

23

2.3.1 Définition

23

2.3.2 Composantesgdu tenseur métrique

25

2.3.3 Bases orthonormales

26

2.3.4 Genre des 4-vecteurs

28

2.3.5 Représentation graphique des vecteurs

28

2.3.6 Cône isotrope

31

2.3.7 Distance entre deux points

31

2.3.8 Bilan

32

2.4 Lignes d"univers

33

2.4.1 Trajectoires des photons et cône de lumière

33

2.4.2 Mouvement d"un point matériel

34

2.4.3 Temps propre

34

2.4.4 Quadrivitesse

36

2.4.5 Quadri-impulsion

37

2.5 Observateurs

38

2.5.1 Simultanéité et mesure du temps

38

2.5.2 Espace local de repos

40

2.5.3 Facteur de Lorentz

42

2.5.4 Mesures d"énergie et de quantité de mouvement

43

2.6 Principe d"équivalence et géodésiques

46

2.6.1 Principe d"équivalence

46

4TABLE DES MATIÈRES2.6.2 Équation des géodésiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

2.6.3 Géodésiques de longueur nulle

49

2.7 Exercices

51

3 Champ gravitationnel à symétrie sphérique (métrique de Schwarzschild)

53

3.1 Introduction

53

3.2 Métrique de Schwarzschild

54

3.2.1 Espace-temps statique et à symétrie sphérique

54

3.2.2 Expression de la métrique de Schwarzschild

55

3.2.3 Paramètre de compacité

56

3.2.4 Théorème de Birkhoff

58

3.2.5 Métrique de Schwarzschild en coordonnées isotropes

58

3.3 Géodésiques lumière radiales

60

3.3.1 Recherche des géodésiques lumière radiale

60

3.3.2 Coordonnées d"Eddington-Finkelstein

61

3.4 Décalage spectral gravitationnel (effet Einstein)

63

3.4.1 Symétries et quantités conservées le long des géodésiques

63

3.4.2 Effet Einstein

64

3.4.3 Effet Einstein comme dilatation des temps

68

3.4.4 Mise en évidence expérimentale et observationnelle

69

3.5 Orbites des corps matériels

71

3.5.1 Quantités conservées

72

3.5.2 Potentiel effectif

73

3.5.3 Orbites circulaires

76

3.5.4 Dernière orbite circulaire stable

78

3.5.5 Autres orbites

79

3.5.6 Avance du périastre

81

3.6 Trajectoires des photons

82

3.6.1 Potentiel effectif

82

3.6.2 Allure des trajectoires des photons

84

3.6.3 Déviation des rayons lumineux

86

3.6.4 Mirages gravitationnels

87

3.6.5 Retard de la lumière (effet Shapiro)

87

3.7 Exercices

91

4 Équation d"Einstein

93

4.1 Introduction

93

4.2 Dérivation covariante (connexion)

94

4.2.1 Gradient d"un champ scalaire

94

4.2.2 Dérivation covariante d"un vecteur

96

4.2.3 Extension à tous les tenseurs

99

4.2.4 Connexion compatible avec la métrique

100

4.2.5 Divergence d"un champ vectoriel

105

4.3 Tenseur de courbure

106

TABLE DES MATIÈRES54.3.1 Transport parallèle non infinitésimal et courbure. . . . . . . . . . .106

4.3.2 Propriétés du tenseur de Riemann

110

4.3.3 Tenseur de Ricci et tenseur d"Einstein

111

4.4 Tenseur énergie-impulsion

112

4.4.1 Définition

112

4.4.2 Tenseur énergie-impulsion du fluide parfait

113

4.5 Équation d"Einstein

115

4.5.1 Énoncé

115

4.5.2 Limite newtonienne

116

4.6 Solutions statiques et à symétrie sphérique

116

4.6.1 Écriture de l"équation d"Einstein

116

4.6.2 Solution de Schwarzschild

118

4.6.3 Équations de Tolman-Oppenheimer-Volkoff

120

4.6.4 Pour aller plus loin...

122

4.7 Exercices

122

5 Trous noirs

123

5.1 Introduction

123

5.2 Singularité de coordonnées et singularité centrale

124

5.2.1 Nature de la singularité au rayon de Schwarzschild

124

5.2.2 Singularité centrale

127

5.3 Horizon des événements

127

5.3.1 Définition

128

5.3.2 Genre lumière de l"horizon des événements

129

5.4 Effondrement gravitationnel

131

5.5 Trous noirs en rotation

131

5.5.1 Solution de Kerr

131

5.5.2 Théorème d"unicité (absence de chevelure)

132

5.5.3 Horizon des événements

133

5.5.4 Ergosphère

133

5.6 Mouvement géodésique dans l"espace-temps de Kerr

135

5.6.1 Quantités conservées

135

5.6.2 Effet Lense-Thirring

136

5.6.3 Orbites circulaires dans l"espace-temps de Kerr

138

5.6.4 Processus d"extraction d"énergie de Penrose

139

5.7 Exercices

141

6 Ondes gravitationnelles

143

6.1 Introduction

143

6.2 Linéarisation de l"équation d"Einstein

144

6.2.1 Perturbation de la métrique de Minkowski

144

6.2.2 Équation d"Einstein linéarisée

146

6.3 Jauge de Lorenz et jauge TT

148

6.3.1 Changement de coordonnées infinitésimal

148

6TABLE DES MATIÈRES6.3.2 Point de vue " théorie de jauge ». . . . . . . . . . . . . . . . . . .149

6.3.3 Jauge de Lorenz

150

6.3.4 Jauge TT

151

6.4 Effets d"une onde gravitationnelle sur la matière

154

6.4.1 Équation du mouvement en coordonnées TT

154

6.4.2 Variation des distances

156

6.5 Génération d"ondes gravitationnelles

159

6.5.1 Formule du quadrupôle

159

6.5.2 Flux d"énergie

163

6.5.3 Luminosité gravitationnelle

163

6.5.4 Amplitude de l"onde gravitationnelle

165

6.6 Sources astrophysiques et détecteurs

165

7 Solutions cosmologiques

167

7.1 Introduction

167

7.2 Espaces maximalement symétriques

168

7.2.1 Généralités

168

7.2.2 Espaces maximalement symétriques de dimension 3

169

7.2.3 Espaces-temps maximalement symétriques

173

7.3 Espace-temps de de Sitter

174

7.3.1 Définition

174

7.3.2 Plongement isométrique dans Minkowksi 5-D

174

7.3.3 Géodésiques lumière

177

7.3.4 Horizon des particules et horizon des événements

178

7.3.5 Coordonnées de Lemaître

180

7.3.6 Coordonnées statiques

184

7.4 Espace-temps anti-de Sitter (AdS)

187

7.4.1 Définition

187

7.4.2 Immersion isométrique dansR2;3

188

7.4.3 Géodésiques lumière

190

7.4.4 Propriétés causales

191

7.5 Solutions de Friedmann-Lemaître

193

7.5.1 Espaces-temps spatialement homogènes et isotropes

193

7.5.2 Équations de Friedmann

196

7.5.3 Solutions de Friedmann-Lemaître

199

A Relativité et GPS

203

A.1 Introduction

203
A.2 Principe du système GPS et nécessité d"une description relativiste 203

A.3 Traitement relativiste

205
A.3.1 Système de référence céleste géocentrique (GCRS) 205
A.3.2 Temps terrestre et temps atomique international 207
A.3.3 Le GPS comme système de détermination des coordonnées GCRS 208
A.3.4 Mise en œuvre effective du système GPS 211

TABLE DES MATIÈRES7B Problèmes213

B.1 Décalage spectral au voisinage de la Terre

213

B.2 Équation de Killing

216

B.3 Trou de ver

217
B.4 Observateur accéléré et horizon de Rindler 218

B.4.1 Mouvement uniformément accéléré

quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27

[PDF] cours relativité restreinte terminale s

[PDF] cours s1 economie et gestion maroc

[PDF] cours s1 economie et gestion maroc pdf

[PDF] cours s3 economie

[PDF] cours sage saari paie 100 pdf

[PDF] cours salaires comptabilité

[PDF] cours science de l ingénieur bac

[PDF] cours science physique 436 adultes

[PDF] cours science politique pdf

[PDF] cours sciences appliquées cap boulanger

[PDF] cours sciences de l'environnement pdf

[PDF] cours sciences de l'ingenieur

[PDF] cours sciences de l'ingénieur terminale s

[PDF] cours sciences du langage pdf

[PDF] cours sciences islamiques pdf