[PDF] Les mesures de performance ajustée au risque

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chapitre 1chapitre 1

Chapitre 6

Les mesures

de performance ajustée au risque Les mesures de performance traditionnelles développées au chapitre 5 offrent lavantage

dêtre simples dutilisation et dinterprétation. Pour cette raison, leur usage professionnel

sest très vite répandu. En dehors des limites déjà mises en évidence, elles ne sont pas adap-

tées aux besoins des investisseurs et des gestionnaires, notamment lorsquils pratiquent

des gestions actives faisant appel, entre autres, à la dé“ nition dun portefeuille de référence

spéci“ que ou à des mesures de risque différentes de la variance des rendements. Dans ce chapitre, nous suivons la logique de la typologie présentée au chapitre 4. Nous nous situons dans le même cadre danalyse que les mesures de Sharpe, Jensen et Treynor.

Autrement dit, lobjectif poursuivi est de mesurer lhabileté du gestionnaire dans le cadre de

la sélection dactifs, et ce, à laide de mesures standardisées. Nous distinguerons les mesures en fonction du type de risque auxquelles elles font princi-

palement référence : le risque total, systématique ou spéci“ que. Le découpage du chapitre

sera organisé en fonction de ces trois catégories de risque, dont chacune fera lobjet dune

section distincte. Dans un premier temps, nous étudierons les mesures fondées sur le risque

total, dont le ratio de Sharpe est la racine principale. La deuxième section sera consacrée à

lestimation de la performance ajustée au risque systématique, à linstar du ratio de Treynor

et de lalpha de Jensen. Dans la troisième section, nous développerons les mesures axées sur

le risque spéci“ que du portefeuille, dont le ratio dinformation est le représentant le plus

connu. En“ n, la dernière section fournira les clés permettant de déterminer le contexte dans © 2010 Pearson Education France - Performance de portefeuille, 2e éd.

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Performance de portefeuille

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lequel l"utilisation de l"une ou l"autre mesure de risque s"avère adéquate 1 Au sein de chacune des trois premières sections, nous organiserons l"analyse des mesures

suivant qu"elles présentent un rapport entre le rendement et le risque, de la forme générique

Performance=Rendement excédentaire

Risque

, ou bien qu"elles délivrent une différence entre une mesure de rendement et une pénalité pour le risque, qui emprunte plutôt la forme suivante : Performance=Rendement excédentaire -Pénalité pour le risque.

1. Les mesures fondées sur le risque total

Parmi les trois mesures traditionnelles développées dans la foulée du CAPM et présen-

tées au chapitre précédent, le ratio de Sharpe est la seule qui fait référence à la droite de

marché des capitaux, la CML , et utilise donc une mesure de risque total au dénomina- teur. Pour rappel, le ratio de Sharpe s'écrit : S=R p -R f p

Ce ratio s'applique donc en principe à un portefeuille censé être parfaitement diversifié,

au point de prétendre à remplacer le portefeuille de marché pour l'investisseur actif.

1.1. La performance basée sur un rapport entre le rendement et

une mesure du risque total Si l'on examine attentivement les composantes du ratio de Sharpe, il présente deux caractéristiques majeures : •Le numérateur. Le ratio de Sharpe suppose que la mesure adéquate de revenu pour l'investisseur est l'excédent du portefeuille par rapport à l'actif sans risque. •Le dénominateur. Comme nous sommes dans le contexte spécifique du CAPM, la mesure du risque employée par tous les agents économiques est l'écart type (ou, de manière équivalente, la variance) des rendements des portefeuilles. Si nous ne tenons pas compte de ces deux hypothèses, nous pouvons néanmoins encore estimer la performance d'un portefeuille.

1. Ce chapitre n'a pas la prétention de dresser un catalogue exhaustif des mesures de performance proposées dans

la littérature et évoquées dans le cadre du chapitre 4. Pour un inventaire (en principe) à jour au moment de la

parution de cet ouvrage, le lecteur pourra se reporter aux articles de Cogneau et Hübner (2009a, 2009b) qui af -

chent cet objectif. Nous examinons donc ici les mesures les plus populaires et/ou les plus aisées à mettre en úuvre.

Certaines mesures plus complexes, très peu usitées en pratique et/ou dont la valeur ajoutée n'est pas remarquable,

ne seront pas traitées dans cet ouvrage. L l

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Laurent Bodson, Pascal Grandin, Georges Hübner, Marie Lambert Chapitre 6 Les mesures de performance ajustée au risque 137

1.1.1. Le numérateur : le rendement excédentaire nest pas la mesure de

richesse L'investisseur peut légitimement considérer que le rendement excédentaire d'un porte- feuille activement géré n'est pas convenablement exprimé par la différence entre le ren- dement total du fonds et le taux d'intérêt sans risque, comme défini dans le ratio de

Sharpe. En effet, le taux sans risque

R f représente le taux de rendement " de réserve » de l'investisseur, c'est-à-dire le rendement au-delà duquel il considère que le portefeuille aura obtenu une prime justifiée par le risque encouru. Rien n'empêche de définir une

autre valeur de référence : dans ce cas, on généralise le ratio de Sharpe par la mesure de

Roy . Cette mesure considère un rendement de réserve de l'investisseur R L , sur lequel celui-ci va déterminer le niveau de rendement excédentaire de portefeuille : Roy=R p ŠR L p Dans le cas extrême où l'investisseur a une valeur de réserve nulle (R L = 0), le rendement excédentaire du portefeuille sera simplement son rendement brut. Plus vraisemblable- ment, l'investisseur présentant de l'aversion au risque spécifiera une valeur de réserve au moins égale au taux sans risque, ce qui signifie que R L R f Cette mesure peut aboutir à modifier des classements opérés suivant le ratio de Sharpe. Ainsi, prenons l'exemple suivant. Le portefeuille A a un écart type de 10 % et un rende- ment espéré de 9 %, tandis que le portefeuille B a un écart type de 20 % et un rendement espéré de 11 %. Si le taux sans risque R f est de 5 %, le ratio de Sharpe de A sera de (9 % - 5 %)/10 % = 0,4, tandis que celui de B sera de (11 % - 5 %)/20 % = 0,3. Si nous

spécifions à présent un rendement de réserve supérieur au taux sans risque, à savoir

R L = 8 %, nous aurons une mesure de Roy pour A égale à (9 % - 8 %)/10 % = 0,1, tandis que B verra sa performance égale à (11 % - 8 %)/20 % = 0,15. La figure 6.1 illustre ce phénomène. En pointillés, les demi-droites correspondent au ratio de Sharpe, et en continu, elles correspondent à la mesure de Roy.

Figure 6.1

Comparaison graphique

des mesur es de Shar pe et de Roy. R L = 8 % R f = 5 %

B : (11 %, 20 %)A : (9 %, 10 %)

p R p

En général, plus la valeur de réserve sera élevée, plus les portefeuilles assurant un rende-

ment important seront avantagés. C'est le cas du portefeuille B dans notre exemple.© 2010 Pearson Education France - Performance de portefeuille, 2e éd.

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1.1.2. Le dénominateur : la variance nest pas la mesure de risque

Que se passe-t-il si le postulat selon lequel la variance est la mesure de risque accepté par tous

les investisseurs n'est pas respecté ? Dans ce cas, il suffirait " simplement » de remplacer le

dénominateur du ratio de Sharpe par la valeur prise par le risque total du portefeuille. Le choix de la variance s'explique si les rendements proviennent d'une distribution nor- male. Dans ce cas, la variance ne détermine le risque que dans la mesure où elle aug- mente de façon monotone avec le risque de perte sur un investissement. Puisque toute variation positive par rapport à la moyenne est exactement compensée par une variation négative avec la même probabilité, une mesure de variabilité rend adéquatement compte du risque de perte. Par contre, si la distribution des rendements n'est pas uniquement caractérisée par son espérance et sa variance - ce qui est le cas en pratique - il devient ardu de justifier le choix de cette mesure de risque. Si deux distributions avec la même variance ne présentent pas les mêmes profils de perte, alors elles doivent nécessairement présenter un risque différent. Les modifications du dénominateur du ratio de Sharpe visent donc à identifier spécifi- quement une mesure de risque de perte. Deux directions ont été prises dans ce contexte : les moments partiels inférieurs et la valeur-au-risque. •Moments partiels inférieurs . Pour une distribution de rendements donnée, le moment partiel inférieur (MPI) d'ordre k autour de la valeur de réserve R L est sim- plement égal à l'espérance de la différence positive entre la valeur critique et le ren- dement à la puissance k. Cela s'écrit :

MPI(k,R

L )=(R L -R) k dF(R) -∞R L =Emax(R L -R,0)() k La semi-variance par rapport au taux sans risque est un cas particulier intéressant du MPI pour k = 2 et R L R f , puisque l'on cherche alors la variance des rendements excédentaires du portefeuille par rapport au taux sans risque à condition que ce ren- dement excédentaire soit négatif, c'est-à-dire qu'il représente la matérialisation du risque pour l'investisseur. Dans ce cas, on a : SV(R f )≡MPI(2,R f )=Emax(R f -R,0) 2 En remplaçant le risque par son expression du MPI, on obtient un ratio de Sharpe modifié pour ne tenir compte que du risque de perte. •Valeur-au-risque. Dans ce cas, la perspective empruntée est celle de l'investisseur qui se soucie uniquement du risque de catastrophe, à savoir l'événement grave qui se produit rarement. S'il fixe une probabilité de survenance de cet événement, la valeur-au-risque correspondante sur un horizon donné, notée VaR , se définit par la perte maximale par rapport à la valeur de réserve telle qu'il y a une probabilité que la perte observée soit plus élevée 2

2. Généralement, la VaR est exprimée en unité monétaire, et non en pourcentage de rendement, comme c'est le

cas ici. En outre, la dé nition usuelle de la VaR se réfère à la perte absolue (c'est-à-dire par rapport à un rendement © 2010 Pearson Education France - Performance de portefeuille, 2e éd.

Laurent Bodson, Pascal Grandin, Georges Hübner, Marie Lambert Chapitre 6 Les mesures de performance ajustée au risque 139
PrR L

ŠR2VaR

Par exemple, dans le cas d'une distribution normale des rendements, la VaR à

5 %, qui correspond à la perte maximale observée dans 5 % des cas, est égale à :

VaR 5% =R L

ŠE(R)+1,645

(R) , la valeur de 1,645 correspondant au 95 e percentile de la distribution normale standard (noté Z 95%

Le cas de la distribution normale présente un intérêt limité étant donné que la VaR

est une fonction monotone croissante de la variance des rendements. Par contre, cette approche peut s'avérer intéressante lorsque les rendements ne suivent pas une distribution normale, par exemple une distribution asymétrique ou avec des queues

épaisses.

Traditionnellement, le degré d'asymétrie de la distribution est mesuré par le troi- sième moment centré de celle-ci, tandis que l'épaisseur des queues de la distribution des rendements - c'est-à-dire le poids relatif des valeurs extrêmes - est mesurée par le quatrième moment centré : 3 =ERŠE(R)() 3 4 =ERŠE(R)() 4 On standardise généralement ces valeurs pour définir le coefficient d'asymétrie (skewness), qui est égal à

S(R)=µ

3 3 (R) , et le coefficient d'aplatissement (kurtosis)

égal à

K(R)=µ

4 4 (R) Š3 . Il est ainsi possible de les comparer à ceux d'une loi nor- male, tous deux égaux à 0. Si l'on veut réaliser une approximation de la VaR à l'aide des quatre premiers moments de la distribution des rendements, on peut alors utiliser l'approximation de Cornish-Fisher , qui définit la valeur-au-risque modifiée (MVaR) par la formule suivante : MVaR =R L

ŠE(R)+z

1Š (R) z 1Š =Z 1Š Š1 6Z

1Š2

Š1

S(R)+1

24Z

1Š3

Š3Z

1Š

K(R)Š1

362Z

1Š3

Š5Z

1Š

S(R)()

2 Il faut noter que la VaR présente plusieurs défauts majeurs en tant que mesure du risque, car elle n'est pas " cohérente » 3 . Pour corriger ce défaut, on recourt alors à la valeur-au-risque conditionnelle (CVaR) , également connue sous le nom de " pénurie

attendue » (par rapport à la VaR), qui se définit par la perte espérée conditionnelle-

ment à ce qu'elle soit supérieure à la VaR : CVaR =ER L

ŠRR

L

ŠR>VaR

de 0), et non par rapport à une valeur de réserve, comme c'est le cas ici. En n, par convention, la VaR représente

une perte, et donc est un nombre positif.

3. Par exemple, la VaR n'est pas subadditive, c'est-à-dire que la VaR d'un portefeuille n'est pas nécessairement

inférieure ou égale à la moyenne pondérée des VaR de ses composantes, alors qu'elle devrait l'être grâce à l'impact

de la diversi cation.© 2010 Pearson Education France - Performance de portefeuille, 2e éd. Laurent Bodson, Pascal Grandin, Georges Hübner, Marie Lambert

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En d"autres termes≈ il est question ici d"évaluer l"ampleur de la perte anticipée en cas de catastrophe≈ et non d"estimer le seuil auΠdelà duquel on parle de catastrophe≈ ce que représente la VaR. Dans tous les cas≈ le ratio de Sharpe modifié reprend la mesure de risque corresponΠ dant (VaR≈ MVaR ou CVaR) au dénominateur de la formule originale.

1.1.3. Les deux arguments simultanément : le numérateur et le dénominateur

Comme nous venons de le voir≈ la modification du numérateur et du dénominateur du ratio de Sharpe introduit une valeur de réserve du rendement≈ R L . Certains auteurs ont

donc proposé des mesures qui utilisent de manière cohérente cette valeur de réserve≈ de

part et d"autre de la barre de fraction. Le plus connu est le ratio de Sortino ≈ proposé en

1∅∅1 par Sortino et van der Meer≈ qui associe le numérateur de la mesure de Roy et la

racine carrée de la semiΠvariance (le " semiΠécart type ») au dénominateur ?

Sortino=R

p -R L SV(R L Dans l"exemple développé précédemment≈ nous pourrions considérer que le fonds ,

présente un semiΠécart type de γ υ tandis que le fonds B a un semiΠécart type de κ∫ υ.

,vec le même rendement de réserve de γ υ≈ le ratio de Sortino de , est de vers la gauche des rendements de B pénalise sa mesure de risque≈ ce qui réduit sa performance. sur le numérateur de la mesure de Roy et de l"utilisation des moments partiels inférieurs (MPI) au dénominateur≈ sous la forme du coefficient kappa d"ordre k ? k R p -R L

MPI(k≈R

L k ,insi≈ le ratio de Sortino est égal à . Reste la mesure permettant de tenir compte de l"asymétrie de la distribution par le truchement du kappa d"ordre κ ? k R p -R L 1 T maxR pt -R f t=1T

Il est évident que ce ratio a un caractère supplétif par rapport au ratio de Sortino ou à

d"autres mesures que nous verrons au chapitre suivant≈ tel que l"oméga.

1.2. La performance fondée sur une différence entre le rende-

ment et une pénalité pour le risque total

Comme nous l"avons vu au chapitre précédent≈ l"alpha de Jensen≈ en dépit de ses défauts≈

présente un avantage majeur sur les ratios de Sharpe et de Treynor ? il s"exprime sous

forme de rendement (en pourcents)≈ et peut donc être facilement interprété et expliqué © 2010 Pearson Education France - Performance de portefeuille, 2e éd.

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sans connaissances particulières en finance. Il est alors naturel de constater qu'un cer-

tain nombre d'efforts ont été déployés afin de présenter la performance dans une forme

similaire. Cela signifie que la pénalité pour le risque du portefeuille n'est plus exprimée sous forme multiplicative, mais bien sous forme soustractive. La surperformance d'un gestionnaire se représente dès lors par le niveau de la différence entre la mesure de richesse produite (le rendement) et la déduction de cette richesse pour compenser le risque pris.

1.2.1. Lindice M²

Le ratio de Sharpe, très utilisé par les sociétés de mesure de performance, nécessite un

effort de compréhension de la part des investisseurs, qui ne maîtrisent pas les concepts de la théorie financière. Modigliani et Modigliani (1997) ont proposé une nouvelle mesure appelée M 2 , qui permet de savoir si le rendement d'un portefeuille est suffisam-

ment élevé compte tenu de son risque. L'idée consiste à utiliser la possibilité de prêter et

d'emprunter au taux sans risque pour ajuster le risque du portefeuille à celui du marché, mesuré par un indice par exemple, et à calculer ensuite le rendement de ce portefeuille pour le confronter à celui du marché. L'avantage de cette méthode est qu'elle permet de comparer directement des niveaux de rendement et qu'elle est compréhensible par n'im- porte quel investisseur.

Formellement, si σ

P est l'écart type des rendements du portefeuille P, en empruntant ou prêtant un montant d au taux sans risque, il est possible de construire un nouveau por- tefeuille de risque identique à celui du marché σ m

σ(P)=1+d()σ

p m où σ(P) est le risque du nouveau portefeuille. Le montant d à prêter ou à emprunter est donc égal à : d=σ m p -1.

Si l'on tient compte des intérêts à payer ou à recevoir sur la somme empruntée ou prêtée,

la rentabilité du nouveau portefeuille est :

R(P)=1+d()R

p -dR f où R p est la rentabilité du portefeuille initial.

Si l'on remplace d par sa valeur, on obtient :

R(P)=σ

m p )R p -1-σ m p ??R f m p )R p -R f +R f Soit E(P) le rendement du portefeuille de risque identique au portefeuille de marché en excès du taux sans risque (R(P) - R f ), et r p le rendement du portefeuille initial P en excès du taux sans risque (R p - R f ). Le rendement du portefeuille peut s'exprimer en termes de

rendement excédentaire :© 2010 Pearson Education France - Performance de portefeuille, 2e éd.

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R(P)= m p r pquotesdbs_dbs25.pdfusesText_31

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