PGCD ET NOMBRES PREMIERS
Exemple : 22 et 15 sont premiers entre eux. On est alors assuré que l'équation admet un couple solution d'entiers. Méthode : Démontrer que deux entiers
Exercices de MATHÉMATIQUES
Montrer que si deux nombres entiers x et y sont premiers entre eux il en est de même pour les entiers 2x + y et 5x + 2y. 2. Déterminer les entiers naturels
Correction devoir maison Exercice 1 : 1)Si n est un nombre entier
2)Démontrer que deux nombres entiers consécutifs sont premiers entre eux. Soit n un entier naturel tel que n > 0. On considère donc n et n + 1 deux entiers
PGCD Théorème de Bézout Théorème de Gauss
Christophe ROSSIGNOL?. Année scolaire 2018/2019. Table des matières. 1 PGCD Nombres premiers entre eux. 2. 1.1 PGCD de deux nombres entiers naturels .
les nombres de fibonacci
lequel il cherche à calculer le nombre de Nous allons montrer que deux termes succes- ... 2 et F. 1 sont premiers entre eux. • Supposons que F.
Eléments de base en arithmétique
Montrer que si n est la somme des carrés de deux entiers consécutifs Deux nombres sont dits premiers entre eux si leur plus grand diviseur.
Feuille 7 : Arithmétique
Exercice 7-2 Calculer le pgcd de 48 et 210 et de 81 et 237. Exercice 7-5 Démontrer que
M2 EFM
2) En utilisant l'exercice 4 montrer que m et n sont premiers entre eux si Montrer que si n est le produit de h ? 1 nombre premiers impairs distincts.
suites de fibonacci
Montrer que pour que x le troisième nombre F. 3.
Exercices de mathématiques - Exo7
Exercice 11 ***IT. Pour n ? N on pose Fn = 22n. +1 (nombres de FERMAT). Montrer que les nombres de Fermat sont deux à deux premiers entre eux. Correction ?.
[PDF] PGCD – NOMBRES PREMIERS ENTRE EUX - Pierre Lux
L'ensemble des diviseurs communs à a et à b est l'ensemble des diviseurs de leur PGCD Preuve : a et b sont deux entiers naturels non nuls On note D = PGCD(a
[PDF] PGCD ET NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
Démontrer que pour tout entier naturel n 2n + 3 et 5n + 7 sont premiers entre eux D'après le théorème de Bézout avec les coefficients 5 et -2 on peut
[PDF] 2° Lorsque deux nombres sont premiers entre eux
Lorsque deux nombres sont premiers entre eux leurs puissances quelconques sont premières entre elles Soient les nombres 22 et i5qui sont premiers entre
[PDF] Chapitre 1 Arithmétique Partie 6 : Nombres premiers entre eux
On dit qu'un nombre entier naturel p ? 2 est premier si ses seuls diviseurs positifs sont 1 et p Remarque : Les nombres premiers feront l'objet d'une étude
[PDF] Probabilité pour que deux entiers soient premiers entre eux
La fonction de Möbius est la fonction µ : N? ? Z définie par : – µ(1) = 1 – µ(p1 ··· pr)=(?1)r si les pi sont des nombres premiers distincts – µ(n)=0 sinon
[PDF] Probabilité que deux entiers soient premiers entre eux - ENS Rennes
Proposition 1 Pour n ? N? on note rn la probabilité que deux entiers choisis au hasard dans [1n]2 soient premiers entre eux On a : rn ??????
[PDF] Nombres premiers entre eux - Free
Deux nombres sont donc premiers entre eux s'ils n'ont d'autres diviseurs communs que 1 et Démontrer en utilisant le théorème de Bezout la propriété :
[PDF] Nombres premiers entre eux - Serveur de mathématiques - LMRL
1) Calculer le PGCD de 45 et 46 puis le PGCD de 200 et 201 Démontrer que deux entiers naturels consécutifs sont premiers entre eux 2) Démontrer que pour tout
[PDF] Arithmétique - suite - Pages personnelles Université Rennes 2
Quels sont les diviseurs communs `a 390 et 525 ? Page 2 Nombres premiers - Nombres premiers entre eux Nombre premier : Un nombre entier
[PDF] 1´Enoncé
De mani`ere plus générale on peut montrer que si a et b sont deux entiers premiers entre eux alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme an + b
Comment montrer que 2a B et a sont premiers entre eux ?
De au + bv = 1, on déduit a(u-v) + (a+b)v = 1, donc a et a+b sont premiers entre eux.Comment savoir si deux polynômes sont premiers entre eux ?
On dit que deux polynômes non tous deux nuls sont premiers entre eux si leur PGCD est égal à 1.- En effet, on peut écrire (n + 1) x 1 - n x 1 = 1, donc d'après le théorème de Bézout, les entiers n et n + 1 sont premiers entre eux. On a donc PGCD(n ; n+1) = 1 = (n + 1) - n.
Semestre d"automne 2018-2019
Feuille 7 : Arithmétique
Exercice 7-1
Montrer que pour toutn?N,n(n+ 1)(n+ 2)(n+ 3)est divisible par24.Exercice 7-2
Calculer le pgcd de48et210, et de81et237. Dans chaque cas exprimer l"identité de Bézout.Exercice 7-3
Calculer par l"algorithme d"Euclide le pgcd de18480et9828. En déduire une écriture de84 comme combinaison linéaire de18480et9828.Exercice 7-4
1. Déterminer les couples d"entiers naturels premiers entre eux dont le produit est 6.
2. Déterminer les couples d"entiers naturels de pgcd 35 et ppcm 210.
3. Déterminer les couples d"entiers naturels de pgcd 18 et produit 6480.
4. Déterminer les couples d"entiers naturels de pgcd 18 et somme 360.
Exercice 7-5
Démontrer que, siaetbsont des entiers premiers entre eux, il en est de même des entiers a+betab.Exercice 7-6
Soitaetbdeux entiers premiers entre eux. On définit une suite(un)en posantu0=a,u1=b puisun+2=un+1+unpour toutn≥0. En effectuant un raisonnement par récurrence, montrer que deux termes consécutifs de cette suite sont premiers entre eux.Exercice 7-7
Soienta,bdes entiers supérieurs ou égaux à1. Montrer :1.(2a-1)|(2ab-1);
2.2p-1premier?ppremier ;
Exercice 7-8
Pourmentier naturel, à quoi peut être égal le reste de la division euclidienne dempar 4? Endéduire que sinest un entier naturel somme de deux carrés d"entiers alors lereste de la division euclidienne
denpar4n"est jamais égal à3.Exercice 7-9
Démontrer que pour toutn?N, l"entier32n-2nest divisible par 7.Exercice 7-10
Démontrer que le nombre7n+1est divisible par8sinest impair; dans le casnpair, donner le reste de sa division par8.Exercice 7-11
Trouver le reste de la division par13du nombre1001000.Exercice 7-12
Soitn?N,n≥2.
1. Montrer quen2≡1 (mod 8)sinest impair.
2. Montrer quen2≡0 (mod 8)oun2≡4 (mod 8)sinest pair.
3. Soienta,b,ctrois entiers impairs.
i) Déterminer le reste modulo8dea2+b2+c2et celui de(a+b+c)2. En déduire le reste modulo8 de2(ab+bc+ca).
ii) Existe-il un entierm?Ntel quem2=ab+bc+ca?Exercice 7-13
L"objectif de l"exercice est de déterminer tous les couples(m,n)?N×Nsolutions de l"équation(E) 2m-3n= 1.1. Soitmun entier supérieur ou égal à 3 etnun entier naturel. En utilisant des congruences modulo 8,
montrer que(m,n)n"est pas solution de l"équation(E).2. Résoudre(E).
1 Exercice 7-14Trouverunesolution dansZde l"équation :5x≡1[11]puistoutesles solutions dansZde l"équation :5x≡0[11]. En déduiretoutesles solutions dansZde l"équation :5x≡1[11].Exercice 7-15
Trouverunesolution dansZ2de l"équation :58x+ 21y= 1puistoutesles solutions dans Z2de l"équation :58x+ 21y= 0. En déduiretoutesles solutions dansZ2de l"équation :58x+ 21y= 1.
Exercice 7-16
Résoudre dansZ2:
(a) 1665x+ 1035y= 45 (b) 14x+ 35y= 21 (c) 637x+ 595y= 29.Exercice 7-17
On considère dansZles systèmes suivants :
(S)?n≡13 (mod 19) n≡6 (mod 12)(S0)?n≡0 (mod 19) n≡0 (mod 12) Trouverunesolution du système(S)puistoutesles solutions du système(S0). En déduiretoutesles solutions du système(S).Exercice 7-18
1. Déterminer une relation de Bézout entre7et17.
2. Soitaetbdeux entiers. On considère dansZles systèmes suivants :
(S)?n≡a(mod 17) n≡b(mod 7)(S0)?n≡0 (mod 17) n≡0 (mod 7) (S1)?n≡1 (mod 17) n≡0 (mod 7)(S2)?n≡0 (mod 17) n≡1 (mod 7)En utilisant la première question, trouverunesolution du système(S1)etunesolution du système
(S2). En déduireunesolution du système(S). Déterminer par ailleurstoutesles solutions du système
(S0). En déduiretoutesles solutions du système(S).Exercice 7-19
SoitXl"ensemble des nombres premiers de la forme4k+ 3aveck?N.1. Montrer queXn"est pas vide.
2. Montrer que le produit de nombres de la forme4k+ 1est encore de cette forme.
3. On suppose queXest fini et on l"écrit alorsX={p1,...,pn}.
Soita= 4p1p2...pn-1. Montrer par l"absurde queaadmet un diviseur premier de la forme4k+ 3.4. Montrer que ceci est impossible et donc queXest infini.
Exercice 7-20
Soita?Ntel quean+ 1soit premier. Montrer quenest de la formen= 2kpour un entier k?N. Que penser de la conjecture :22n+ 1est premier pour tout entiern?N?Exercice 7-21
1. Montrer par récurrence que pour toutn?Netk?N?on a :
22n+k-1 =?22n-1?·k-1?
i=0?22n+i+ 1?.
2. On poseFn= 22n+ 1. Montrer que pourm?=n,FnetFmsont premiers entre eux.
3. En déduire qu"il y a une infinité de nombres premiers.
Exercice 7-22
Donner la valeur en base dix des nombres suivants :1.(110101001)2;
2.(110101001)3;
3.(1367)8;
4.(1402)5.
2 Exercice 7-23Écrire les nombres suivants (donnés en base dix) dans la basecible indiquée.1.255en base deux;
2.1907en base seize;
3.2016en base sept;
4.2000en base deux mille.
Exercice 7-101Montrer que pour tout entiernimpair, l"entiern2-1est divisible par 8.Exercice 7-102
Soitnun entier naturel non nul. En utilisant une identité à la Bézout, montrer que2n+1 et9n+ 4sont premiers entre eux. Recommencer avec3n-2et5n-3.Exercice 7-103
1. Quel est le nombre de diviseurs positifs de l"entier 36?
2. Soitnun entier naturel non nul. Montrer que le nombre de diviseurspositifs den2est impair.
3. Quel est le nombre de diviseurs positifs de l"entier 15!?
Exercice 7-104
En France, le numéro d"inscription au répertoire des personnes physiques (le " numéro de sécurité sociale ») est un nombreaqui comporte 13 chiffres en base 10. La clé associée à un tel nombreaest le reste de la division euclidienne de-apar 97.1. Montrer que si deux numérosaetbdiffèrent sur un chiffre et un seul, ils ont des clés différentes- ce
qui permet la détection d"une erreur de transcription simple.2. Montrer qu"il en est de même pour deux numérosaetbqui diffèrent par transposition de deux chiffres
consécutifs.Exercice 7-105
Soitpun nombre premier impair. On noteraA={1,2,...,p-12}.1. Soitxetydeux éléments distincts deA.
i) Montrer que2< x+y < p-1et en déduire quepne divise pasx+y. ii) Montrer quepne divise pasx-y. iii) Montrer quex2?≡y2modulop.iv) Conclure que les restes des divisions euclidiennes des éléments deAparpsont tous distincts.
2. Montrer que pour toutk?N,(p-k)2≡k2modulop. En déduire que les restes des divisions euclidiennes
des éléments de{p+12,...,p-2,p-1}parpsont les mêmes que les restes des divisions euclidiennes
des éléments deAparp.3. Combien de valeurs peut prendre le reste de la division euclidienne d"un carré parp? Dans l"exemple
dep= 7, en donner la liste complète.Exercice 7-106
Soitxetydeux entiers. Expliciter un entierzpour lequelx2-6xy+ 2y2est congru àz2 modulo 7. En déduire que l"équationx2-6xy+ 2y2= 7003n"a pas de solutions entières.Exercice 7-107
Soitpun nombre premier de la forme4k+ 3. Montrer qu"il n"existe pas d"entier natureln tel quepdivisen2+ 1.Exercice 7-108
Montrer que :13|270+ 370.
Exercice 7-109
Trouver les deux derniers chiffres du nombre7999.
Exercice 7-110
Quel est le reste dans la division par 11 de19961996?Exercice 7-111
Déterminer les solutions des congruences suivantes :1)10x≡25 [15]2)10x≡35 [21]
Exercice 7-112
Montrer que(222n-1)(216n-1)≡0 [391],?n?N.
Exercice 7-113
Montrer que :?k?N,19|226k+2+ 3.
3quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41[PDF] exercice calcul tva ht ttc
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