[PDF] Chapitre 2 - Arithmétique des polynômes

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Chapitre2

Arithm´etiquedespolynˆomes

Danstoutlec hapitre,Kd´esigneral'undesensemblesRouC.

2.1Divis ibilit´e-Divisioneuclidienne

D´efinition2.1SoientAetBdeuxpolyn ˆomesdeK[X].OnditqueBdiviseA,ouqueBest

QdansK[X]telqueA=BQ.

L'ensemble{BQ,Q!K[X]}desmultiples deBestnot´ eB.K[X].

Ainsi,B|A"#A!B.K[X].

Exemples.•Toutpolynˆom edivise0mais0nedivise quelepolynˆomenul. •1(e td'unemani `ereg´en´eralet outpolynˆomeconstantnonnul) divisetousles polynˆomes. •X 2 +1|X 3 $X 2 +X$1car X 3 $X 2 +X$1=(X 2 +1) (X$1)

Proposition2.2Soit(A,B)!(K[X])

2 .SiA%=0etsi B|AalorsdegB!degA.

D´emonstration:

Sousceshyp oth`esse,on peutene

etcons id´ererunpolynˆomeQtelqueA=BQet ona doncdegA=d egB+degQ.Comm eA %=0,on aQ%=0e tpar suited egQ"0.On adoncb ien degA"degB.#

Proposition2.3Soit(A,B,C)!(K[X])

3 •A|A(lare lationdedivisibilit´ee str´ eflexive) •(A|BetB|C)= #A|C(lare lationdedivisibilit´e esttr ansitive) •(B|AetA|B)=#&c!K ,A=cB

Proposition2.4Pour(A,B,C)!(K[X])

3 etc!K •A|B"#cA|B •B|A=#B|AC •(A|BetA|C)= #A|(B+C ) Exercice2.1D´emontrercesdeuxpropositions. Onpourrac onstaterunecer taineanalogieavec lespropri´ et´esdeladivisibilit´edansZ... 7

8CHAPITRE2.ARITHM

ETIQUEDESPOLYN

OMES Th´eor`eme2.5(Divisioneuclidien ne )SoientAetBdansK[X]avecB%=0.Alors,ilexiste ununiq uecouple(Q,R)depol ynˆomestelque:A=BQ+RetdegRSupposonsquenousayonsdeu xcouples(Q 1 ,R 1 )et(Q 2 ,R 2 )de polynˆom estelsque: A=BQ 1 +R 1 =BQ 2 +R 2 avecdeg R 1 AlorsB(Q 1 $Q 2 )=R 2 $R 1 SiQ 1 %=Q 2 ,i.e.Q 1 $Q 2 %=0,on ad eg B(Q 1 $Q 2 =degB+deg(Q 1 $Q 2 )"degBet deg(R 2 $R 1 )!max(degR 1 ,degR 2 )Onaalors deg R n+1 Commelasuite desdeg R n eststrict ementd´ecroissante,l'algorithmes'arrˆe teauboutd'un nombrefinid'´etap esavecdeg R n Exemple.A=4X 5 $10X 4 +6X 3 $7X 2 +10X$3et B=2X 3 +X$1

Ladi visioneuclidiennedeAp arBs'´ecritA=B.(2X

2 $5X+2) +3X$1.On aene!et: 4X 5 $10X 4 +6X 3 $7X 2 +10X$32X 3 +X$1 4X 5 +2X 3 $2X 2 2X 2 $5X+2 $10X 4 +4X 3 $5X 2 +10X$3 $10X 4 $5X 2 +5X 4X 3 +5X$3 4X 3 +2X$2 3X$1

Compl´ement:notiond'id´eal

D´efinition2.6Onditq u'une partieIdeK[X]estunid´ealdeK[X]sic' estunepartienon videquiv´eri fie:(i) '(A,B)!I 2 ,A+B!Iet(i i)'A!I,'P!K[X],AP!I. Th´eor`eme2.7Toutid´eal deK[X]s'´ecritA.K[X]pouruncer tainpo lynˆomeAdeK[X]. Pluspr´ecis ´ement,toutid´ealdeK[X]nonr´ eduit`a{0}s'´ecritdemani`ereuniqueA 0 .K[X]o`uA 0 estunp olynˆom eunitaire.

2.2.DIVIS EURSCOMMUNS-PGCD9

D´emonstration:SoitIunid´ ealn onr´edu it`a{0}deK[X].Onchoi sitdans I\{0}unpolyn ˆomeA

deplus petitdegr´e( untelpolynˆomeexi stepuisquel'en sembledes degr´esde spolynˆomesnonnuls

deIest un epartienonv idedeN).Si!estsoncoe"cientdominant,re marquonsqueA 0 1 A appartient`aI\{0}etestu nitaire. PrenonsalorsB!Iet e!ectuonsladivisioneu clidie nnedeBparA 0 .B=A 0

Q+Ravec

degRCommeR=B$A 0

Q!IetqueA

0 estdeplus petitd egr´e,onan´ec essairementR=0et donc B!A 0 K[X].

D'autrepart,A

0 K[X](Ipar lapropr i´et´e d'id´eal.OnconclutdoncqueI=A 0 K[X].

Pourl'unic it´e,siA

0

K[X]=A

1

K[X],onaA

0 |A 1 etA 1 |A 0 ,don cA 1 =cA 0 avecc!K .Si ilssonttou sdeuxunit aires,onac=1e tdon cA 0 =A 1

2.2Divis eurscommuns-PGCD

2.2.1pgcddedeuxpoly nˆomes

Proposition2.8Soit(A,B)%=(0,0)!(K[X])

2 `aAetBestunep artienonvi deetfiniedeN. D´emonstration:Comme1diviset ousl espolynˆomes,cetens embleconti ent0=deg 1etest doncnonvide .D'autr epart,lepolynˆome nulnedivisantquelu i-mˆeme,iln' estpasd iviseur communetl'ensemb lecons id´er´eestdoncbienunepartiedeN.En fin,laproposition??dec e chapitremontrequeledegr´ edetoutdiviseur communestm ajor´e pardegAoudegB.# D´efinition2.9SoientAetBdeuxpolynˆ omesdeK[X]nontous deuxnul s.Onditquele polynˆomeDestunp lusgrand commundiviseur (enabr´eg´e,pgc d)deAetBsiDestunp olynˆo me deplus granddegr ´edel'ensembl edesdiviseurscommuns`a AetB. Exemple.LorsqueA%=0,l 'en sembledesdiviseurscommuns`aAet 0estl'ens embledesdiviseurs deAdonc Aes tunpgcddeA et0 ettoutautr epgcdDd eAet0amˆe medegr ´eq ueAets '´e crit parsui teD=cAavecc!K (puisqueDdiviseA).Enparti cul ierAet0ontununique pgcd unitairequel'onnoterapgcd (A,0).Onad oncpgcd( A,0)= 1 coefdomA A.

2.2.2PGCDetalgo rithmedeEuclide

Proposition2.10SoientAetBdansK[X]avecB%=0.SiRestler estedan sladivision euclidiennedeAparB,alorsl'ensembledesdiviseurscommuns`aAetBest´egal `al'ensemble desdiviseurs commun`aBetR.Enparticulier,(A,B)et(B,R)ontle smˆemespgc d. D´emonstration:SiD|AetD|B,on´ec rit ladivisioneuclidie nnedeA parB:A=BQ+R. SoientLetMlespoly nˆom estel squ eA=DLetB= DM.Alorsenrempla¸cantonobtien t R=A$BQ=D L$QDM=D(L $QM)doncD|R.R´ec iproquement,siB=DLetR=DL, alorsA=BQ+ R=D (QL +RM).# Onpeut alorsobtenirle spgcddeAet Ben it´eran tce proc´e d´e,commeaveclesentie rs.

AlgorithmedeEuclide

•OnposeR 0 =AetR 1 =B.

Ach aque´etapen(n!N

),pourv uqueR n %=0,on not eR n+1 lerest edansladivision euclidiennedeR n"1 parR n

Lare lationdeg(R

n+1 )10CHAPITRE2.ARITHM

ETIQUEDESPOLYN

OMES &N!N ,R N %=0etR N+1 =0.La prop osit ionpr´ec´edentemontred'aut repartquelesdiviseurs communsdeA=R 0 etB= R 1 sontlesdiv iseurscomm unsdeR 1 etR 2 etdonc, deprocheen proche,ceuxdeR N etR N+1 =0.Le spgcddeAetB sont doncles pgcddeR N et0donc les cR N (c!K ).Env ersional gorithmiqueceladonne :

D´ebut

R 0 )A; R 1 )B;

TantqueR

1 %=0faire R 2 )restedansladivis ioneuclidi enned eR 0 parR 1 R 0 )R 1 R 1 )R 2

FinTantqu e

A cherR 0 Fin Onre tiendra:Dansl'algo rithmed'Euclide,ledernierresteno nnulestunpgcddeA etB. Remarque.Lepgc dn'estdon cpasd´efinidemani` ereuniqu e,mais` aunfacteurconstantnon nulpr`es: siDetEsontdeuxp gcdd eAetBal orsi lexist eu neconstante nonnullectelleque D=cE.Enp articul ier,deuxpolynˆomesAetBnontousdeuxnul sadmettentun uniquepgcd unitairequel'onnoterapgcd (A,B). Parconve ntionlepgcdde0et0est0:onnot epgcd( 0,0)=0. Proposition2.11SoientAetBdeuxpolynˆ omesdeK[X]etDunpg cddeAetB.Alorsil existedespolynˆo mesUetVtelsqueD=AU+BV. D´emonstration:Ler´ esultatestclairsi(A,B)=( 0,0)pu isqu'alorsD=0.Sinon,quitte `a´ec hangerAetB,onpeutsupposer B%=0.O nc onstrui talorsuncouple(U,V)solut ion enremon tantl'algorithmepr´ec´ed ent:c'estl'algorithmed'Euclide´etendu .Ce laconsiste`a construire,pourtoutnatureln!N,un couple depolynˆomes(U n ,V n )telqueAU n +BV n =R n (aveclesnotationsp r´ec´ede ntes). •OnposeU 0 =1etV 0 =0d 'un epartetU 1 =0etV 1 =1d 'aut repart. •Ensupp osantU n"1 ,U n ,V n"1 etV n construitsetsachantquepard´efin itionde R n+1 ona R n"1 =R n Q nquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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