Examen partiel du 14 mars 2016
???/???/???? (c) Montrer par l'absurde grâce au (a) qu'il existe un diviseur premier de M de la forme 4n + 3. Puisque tout nombre entier non nul admet un ...
MASTER M1G Algèbre
Montrer qu'il existe un nombre infini de nombres premiers de la forme 4n ? 1 (ou 4n + 3 si on préfère) avec n entier. Par l'absurde
1´Enoncé
En utilisant le polynôme Q(X) = 1+ X + ··· + Xq?1 montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus `a 1 modulo q. Pour tout entier naturel n ? N
Exercices darithmétique.
???/???/???? Montrer qu'il existe une infinité d'entiers naturel n tels que n ... Montrer que tout nombre premier > 2 est de la forme 4n +1 ou 4n + 3.
Arithmétique dans Z
En déduire qu'il y a une infinité de nombres premiers. Indication ? Montrer que le produit de nombres de la forme 4k+1 est encore de cette forme. 3. On ...
1.2 Théorie des nombres
(f) Montrer qu'il n'existe pas d'entier n tel que 4
Agrégation externe Nombres premiers Ce probl`eme est en relation
On vérifie facilement que l'ensemble P des nombres premiers est infini. 1. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme : (a) 4n ...
Aix-Marseille juin 1981
???/???/???? EXERCICE 1. Le but de cet exercice est de démontrer par l'absurde qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n ?1 ...
AGRÉGATION Année 2011-2012 FEUILLE DE TRAVAUX DIRIGÉS
Soient un nombre entier m ? 1 et un nombre premier p impair. On (3) Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4k + 1.
Cours darithmétique
Exercice : Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers de la forme 4n + 3. Solution : On raisonne par l'absurde en supposant qu'il n'existe qu'un
[PDF] Tout nombre premier de la forme 4n + 1 est une somme de deux
Je vais montrer qu'il suffit de s'appuyer sur le lemme plus particulier que voici dont la démonstration est plus simple : Si un nombre premier somme de
Comment prouver quil y a une infinité de nombres premiers - Quora
Question d'origine : Comment prouver qu'il y a une infinité de nombre premier de la forme 4n+1n\in\mathbb{N} ? Sachant que tout nombre premier supérieur à
[PDF] Linfinité des nombres premiers : La proposition des Éléments d
- que le problème n'est pas de démontrer qu'il existe au moins deux nombres premiers - que la question de l'infini est sous-jacente même si Euclide pour
[PDF] Entiers naturels et dénombrement - Mathieu Mansuy
On peut montrer qu'il y a également une infinité de nombres premiers de la forme 4n ? 1 mais la preuve est plus difficile 3
[PDF] 1´Enoncé
De mani`ere plus générale on peut montrer que si a et b sont deux entiers premiers entre eux alors il existe une infinité de nombres premiers de la forme an + b
(PDF) Autour des nombres premiers modulo 4 - ResearchGate
27 fév 2021 · On déduit qu'il existe un nombre in?ni de premier de la forme 4k+3 La démonstration en faisant une analogie avec le cas 4k+3 ne fonctionne pas
[PDF] PGCD ET NOMBRES PREMIERS - maths et tiques
Définition : Soit a et b deux entiers naturels non nuls On appelle PGCD de a et b le plus grand commun diviseur de a et b et note PGCD(a;b)
nombres premiers forme et quantité infinie - Gerard Villemin - Free
Nombres curiosités théorie et usages: formes pour lesquelles il y a une infinité de nombres premiers comme 4n - 1
Comment Euclide A-t-il prouver qu'il y a une infinité de nombres premiers ?
Démonstration d'Euler
La divergence de la série harmonique montre alors que la somme (à droite) est égale à +?, donc le produit (à gauche) ne peut être fini. Il y a donc une infinité de nombres premiers.Comment démontrer que l'ensemble des nombres premiers est infini ?
Il en résultera bien que la suite des nombres premiers est infinie. Démonstration. Supposons donc choisi un nombre premier p, p > 5, et formons le produit 2 3 5 … p de tous les nombres premiers compris entre 2 et p, puis posons : N = (2 3 5 … p) + 1 N étant supérieur à 2, N admet un diviseur premier.Pourquoi 4n est pas un nombre premier ?
2 est un nombre premier car il n'est divisible que par 1 (2 ÷ 1 = 2) et par lui-même (2 ÷ 2 = 1) ; 4 n'est pas un nombre premier car il admet 3 diviseurs : 1, 2 et 4 ; 123 n'est pas un nombre premier, car il est divisible par 3.- L'ensemble des nombres premiers est infini
C'est en fait une conséquence d'un cél?re théorème de l'Antiquité, qu'on trouve dans les Eléments d'Euclide, et qui énonce qu'il existe toujours plus de nombres premiers qu'un ensemble (fini) de nombres premiers donnés.
Exercice 1Sachant que l"on a 96842=256375+842, déterminer, sans faire la division, le reste de la division du nombre
96842 par chacun des nombres 256 et 375.
Montrer que8n2N:
n(n+1)(n+2)(n+3)est divisible par 24; n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)est divisible par 120:Montrer que sinest un entier naturel somme de deux carrés d"entiers alors le reste de la division euclidienne
denpar 4 n"est jamais égal à 3.Démontrer que le nombre 7
n+1 est divisible par 8 sinest impair ; dans le casnpair, donner le reste de sa division par 8. Trouver le reste de la division par 13 du nombre 100 1000.1. Montrer que le reste de la di visioneuclidienne par 8 du carré de tout nombre impair est 1. 2. Montrer de même que tout nombre pair vérifie x2=0(mod 8)oux2=4(mod 8): 3. Soient a;b;ctroisentiersimpairs. Déterminerlerestemodulo8dea2+b2+c2etceluide2(ab+bc+ca): 4. En déduire que ces deux nombres ne sont pas des carrés puis que ab+bc+canon plus.
2 pgcd, ppcm, algorithme d"Euclide
Exercice 7Calculer le pgcd des nombres suivants :
1.126, 230.
2.390, 720, 450.
3.180, 606, 750.
Déterminer les couples d"entiers naturels de pgcd 18 et de somme 360. De même avec pgcd 18 et produit 6480.
Calculer par l"algorithme d"Euclide : pgcd(18480;9828). En déduire une écriture de 84 comme combinaison
linéaire de 18480 et 9828.Notonsa=1 111 111 111 etb=123 456 789.
1. Calculer le quotient et le reste de la di visioneuclidienne de aparb. 2.Calculer p=pgcd(a;b).
3. Déterminer deux entiers relatifs uetvtels queau+bv=p.Résoudre dansZ: 1665x+1035y=45:
Exercice 12Combien 15! admet-il de diviseurs ?
Démontrer que, siaetbsont des entiers premiers entre eux, il en est de même des entiersa+betab.
Soienta;bdes entiers supérieurs ou égaux à 1. Montrer :1.(2a1)j(2ab1);
2. 2 p1 premier)ppremier ; 23.pgcd (2a1;2b1) =2pgcd(a;b)1.
Soita2Ntel quean+1 soit premier, montrer que9k2N;n=2k:Que penser de la conjecture :8n2N;22n+1 est premier ?Soitpun nombre premier.
1.Montrer que 8i2N;0 C ipest divisible parp: 2. Montrer par récurence que :
8ppremier;8a2N;on aapaest divisible parp:
1. Montrer par récurrence que 8n2N;8k>1 on a :
2 2n+k1=
22n1
k1Õ i=0(22n+i+1): 2. On pose Fn=22n+1. Montrer que pourm6=n,FnetFmsont premiers entre eux. 3. En déduire qu"il y a une infinité de nombres premiers. SoitXl"ensemble des nombres premiers de la forme 4k+3 aveck2N. 1. Montrer que Xest non vide.
2. Montrer que le produit de nombres de la forme 4 k+1 est encore de cette forme. 3. On suppose que Xest fini et on l"écrit alorsX=fp1;:::;png. Soita=4p1p2:::pn1. Montrer par l"absurde queaadmet un diviseur premier de la forme 4k+3. 4. Montrer que ceci est impossible et donc que Xest infini. Indication pourl"exer cice1 NAttention le reste d"une division euclidienne est plus petit que le quotient !
Indication pour
l"exer cice 4 NUtiliser les modulos (ici modulo 8), un entier est divisible par 8 si et seulement si il est équivalent à 0 modulo
8. Ici vous pouvez commencer par calculer 7
n(mod 8).Indication pourl"exer cice5 NIl faut travailler modulo 13, tout d"abord réduire 100 modulo 13. Se souvenir que siab(mod 13)alors
a kbk(mod 13). Enfin calculer ce que cela donne pour les exposantsk=1;2;3;:::en essayant de trouver une règle générale.Indication pourl"exer cice6 N1.Écrire n=2p+1. 2. Écrire n=2pet discuter selon quepest pair ou impair. 3. Utiliser la première question.
4. P arl"absurde supposer que cela s"écri vecomme un carré, par e xemplea2+b2+c2=n2puis discuter selon quenest pair ou impair.Indication pourl"exer cice11 NCommencer par simplifier l"équation ! Ensuite trouver une solution particulière(x0;y0)à l"aide de l"algorithme
d"Euclide par exemple. Ensuite trouver un expression pour une solution générale.Indication pourl"exer cice12 NIl ne faut surtout pas chercher à calculer 15!=123415, mais profiter du fait qu"il est déjà
"presque" factorisé.Indication pourl"exer cice13 NRaisonner par l"absurde et utiliser le lemme de Gauss.
Indication pour
l"exer cice 14 NPour 1. utiliser l"égalité
x b1= (x1)(xb1++x+1): Pour 2. raisonner par contraposition et utiliser la question 1. La question 3. est difficile ! Supposera>b. Commencer par montrer que pgcd(2a1;2b1) =pgcd(2a 2 b;2b1) =pgcd(2ab1;2b1). Cela vour permettra de comparer l"agorithme d"Euclide pour le calcul de pgcd(a;b)avec l"algorithme d"Euclide pour le calcul de pgcd(2a1;2b1).Indication pourl"exer cice15 NRaisonner par contraposition (ou par l"absurde) : supposer quenn"est pas de la forme 2k, alorsnadmet un
facteur irréductiblep>2. Utiliser aussixp+1= (x+1)(1x+x2x3+:::+xp1)avecxbien choisi.Indication pourl"exer cice16 N4
1.Écrire
C ip=p(p1)(p2):::(p(i+1))i! et utiliser le lemme de Gauss ou le lemme d"Euclide. 2. Raisonner a vecles modulos, c"est-à-dire prouv erapa(modp).Indication pourl"exer cice17 N1.Il f autêtre très soigneux : nest fixé une fois pour toute, la récurrence se fait surk>1.
2. Utiliser la question précédente a vecm=n+k.
3. P arl"absurde, supposer qu"il y a seulement Nnombres premiers, considérerN+1 nombres du typeFi. Appliquer le "principe du tiroir" :si vous avez N+1chaussettes rangées dans N tiroirs alors il existe
(au moins) un tiroir contenant (plus de) deux chaussettes.5 Correction del"exer cice1 NLa seule chose à voir est que pour une division euclidienne le reste doit être plus petit que le quotient. Donc les
divisions euclidiennes s"écrivent : 96842=256378+74 et 96842=258375+92.Correction del"exer cice2 NIl suffit de constater que pour 4 nombres consécutifs il y a nécessairement : un multiple de 2, un multiple de
3, un multiple de 4 (distinct du mutliple de 2). Donc le produit de 4 nombres consécutifs est divisible par
234=24.Correction del"exer cice3 NEcriren=p2+q2et étudier le reste de la division euclidienne denpar 4 en distinguant les différents cas de
parité depetq.Correction del"exer cice4 NRaisonnons modulo 8 : 7 1(mod 8):
Donc 7 n+1(1)n+1(mod 8): Le reste de la division euclidienne de 7
n+1 par 8 est donc(1)n+1 donc Sinest impair alors 7n+1 est divisible par 8. Et sinest pair 7n+1 n"est pas divisible par 8.Correction del"exer cice5 NIl sagit de calculer 100
1000modulo 13. Tout d"abord 1009(mod 13)donc 100100091000(mod 13). Or
9 2813(mod 13), 9392:93:91(mod 13), Or 9493:99(mod 13), 9594:99:93
(mod 13). Donc 10010009100093:333+1(93)333:91333:99(mod 13).Correction del"exer cice6 N1.Soit nun nombre impair, alors il s"écritn=2p+1 avecp2N. Maintenantn2= (2p+1)2=4p2+4p+
1=4p(p+1)+1. Doncn21(mod 8).
2. Si nest pair alors il existep2Ntel quen=2p. Etn2=4p2. Sipest pair alorsp2est pair et donc n 2=4p2est divisible par 8, doncn20(mod 8). Sipest impair alorsp2est impair et doncn2=4p2
est divisible par 4 mais pas par 8, doncn24(mod 8). 3. Comme aest impair alors d"après la première questiona21(mod 8), et de mêmec21(mod 8), c 21(mod 8). Donca2+b2+c21+1+13(mod 8). Pour l"autre reste, écrivonsa=2p+1 et
b=2q+1,c=2r+1, alors 2ab=2(2p+1)(2q+1) =8pq+4(p+q)+2. Alors 2(ab+bc+ca) = 8pq+8qr+8pr+8(p+q+r)+6, donc 2(ab+bc+ca)6(mod 8).
4. Montrons par l"absurde que le nombre a2+b2+c2n"est pas le carré d"un nombre entier. Supposons qu"il existen2Ntel quea2+b2+c2=n2. Nous savons quea2+b2+c23(mod 8). Sinest impair alorsn21(mod 8)et sinest pair alorsn20(mod 8)oun24(mod 8). Dans tous les casn2 n"est pas congru à 3 modulo 8. Donc il y a une contradiction. La conclusion est que l"hypothèse de
départ est fausse donca2+b2+c2n"est pas un carré. Le même type de raisonnement est valide pour
2(ab+bc+ca).
Pourab+bc+cal"argument est similaire : d"une part 2(ab+bc+ca)6(mod 8)et d"autre part si, par l"absurde, on supposeab+bc+ca=n2alors selon la parité dennous avons 2(ab+bc+ca)2n22 (mod 8)ou à 0(mod 8). Dans les deux cas cela aboutit à une contradiction. Nous avons montrer que
ab+bc+can"est pas un carré. 6 Correction del"exer cice7 NIl s"agit ici d"utiliser la décomposition des nombres en facteurs premiers.
1. 126 =2:32:7 et 230=2:5:23 donc le pgcd de 126 et 230 est 2.
2. 390 =2:3:5:13, 720=24:32:5, 450=2:32:52et donc le pgcd de ces trois nombres est 2:3:5=30.
3. pgcd (180;606;750) =6.Correction del"exer cice8 NSoienta;bdeux entiers de pgcd 18 et de somme 360. Soita0;b0tel quea=18a0etb=18b0. Alorsa0etb0sont
premiers entre eux, et leur somme est 360=18=20. Nous pouvons facilement énumérer tous les couples d"entiers naturels(a0;b0)(a06b0) qui vérifient cette
condition, ce sont les couples : (1;19);(3;17);(7;13);(9;11): Pour obtenir les couples(a;b)recherchés (a6b), il suffit de multiplier les couples précédents par 18 :
(18;342);(54;306);(126;234);(162;198):Correction del"exer cice9 N1.pgcd (18480;9828) =84; 2. 25 18480+(47)9828=84.Correction del"exer cice10 N1.a=9b+10.
2. Calculons le pgcd par l"algorithme d"Euclide. a=9b+10,b=1234567810+9, 10=19+1. Donc le pgcd vaut 1; 3. Nous reprenons les équations précédentes e npartant de la fin: 1 =109, puis nous remplaçons 9 grâce
à la deuxième équation de l"algorithme d"Euclide: 1=10(b1234567810) =b+1234679 10. Maintenant nous remplaçons 10 grâce à la première équation: 1=b+12345679(a9b) =
12345679a111111112b.Correction del"exer cice11 NEn divisant par 45 (qui est le pgcd de 1665;1035;45) nous obtenons l"équation équivalente :
37x+23y=1(E)
Comme le pgcd de 37 et 23 est 1, alors d"après le théorème de Bézout cette équation(E)a des solutions.
L"algorithme d"Euclide pour le calcul du pgcd de 37 et 23 fourni les coefficients de Bézout: 375+23
(8) =1. Une solution particulière de(E)est donc(x0;y0) = (5;8). Nous allons maintenant trouver l"expression générale pour les solutions de l"équation(E). Soient(x;y)une
solution de l"équation 37x+23y=1. Comme(x0;y0)est aussi solution, nous avons 37x0+23y0=1. Faisons la différence de ces deux égalités pour obtenir 37(xx0)+23(yy0) =0. Autrement dit 37(xx0) =23(yy0) ()
7 On en déduit que 37j23(yy0), or pgcd(23;37) =1 donc par le lemme de Gauss, 37j(yy0). (C"est ici qu"il
est important d"avoir divisé par 45 dès le début !) Cela nous permet d"écrireyy0=37kpour unk2Z.
Repartant de l"égalité(): nous obtenons 37(xx0) =2337k. Ce qui donnexx0=23k. Donc si (x;y)est solution de(E)alors elle est de la forme :(x;y) = (x023k;y0+37k), aveck2Z. Réciproquement pour chaquek2Z, si(x;y)est de cette forme alors c"est une solution de(E)(vérifiez-le !).
Conclusion : les solutions sont(523k;8+37k)jk2Z:Correction del"exer cice12 NÉcrivons la décomposition de 15!=1:2:3:4:::15 en facteurs premiers. 15!=211:36:53:72:11:13. Un diviseur
de 15! s"écritd=2a:3b:5g:7d:11e:13havec 06a611, 06b66, 06g63, 06d62, 06e61, 06h61. De plus tout nombredde cette forme est un diviseur de 15!. Le nombre de diviseurs est donc
(11+1)(6+1)(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) =4032.Correction del"exer cice13 NSoitaetbdes entiers premiers entre eux. Raisonnons par l"absurde et supposons queabeta+bne sont pas
premiers entre eux. Il existe alorspun nombre premier divisantabeta+b. Par le lemme d"Euclide comme pjabalorspjaoupjb. Par exemple supposons quepja. Commepja+balorspdivise aussi(a+b)a, donc pjb.dne divise pasbcela implique quedetbsont premiers entre eux. D"après le lemme de Gauss, commeddiviseabetdpremier avecbalorsddivisea. Doncpest un facteur premier deaet debce qui est absurde.Correction del"exer cice14 N1.Nous sa vonsque x b1= (x1)(xb1++x+1); pourx=2anous obtenons : 2 ab1= (2a)b1= (2a1) 2a(b1)++2a+1
Donc(2a1)j(2ab1).
2. Montrons la contraposée. Supposons que pne soit pas premier. Doncp=abavec 1b. Nous allons montrer que faire l"algorithme d"Euclide pour le couple(2a1;2b 1)revient à faire l"algorithme d"Euclide pour(a;b). Tout d"abord rappellons la formule qui est à la
base de l"algorithme d"Euclide : pgcd(a;b) =pgcd(ab;b). Appliqué à 2a1 et 2b1 cela donne directement pgcd(2a1;2b1) =pgcd(2a2b;2b1). Mais 2a2b=2b(2ab1)d"où pgcd(2a 1;2b1) =pgcd(2b(2ab1);2b1) =pgcd(2ab1;2b1). La dernière égalité vient du fait 2bet
2 b1 sont premiers entre eux (deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux). Nous avons montrer : pgcd(2a1;2b1) =pgcd(2ab1;2b1). Cette formule est à mettre en parallèle de pgcd(a;b) =pgcd(ab;b). En itérant cette formule nous obtenons que sia=bq+ralors : pgcd(2a1;2b1) =pgcd(2abq1;2b1) =pgcd(2r1;2b1)à comparer avec pgcd(a;b) = pgcd(abq;b) =pgcd(r;b). Nous avons notre première étape de l"algorithme d"Euclide. En itérant
l"algorithme d"Euclide pour(a;b), nous nous arêtons au dernier reste non nul: pgcd(a;b) =pgcd(b;r) =
=pgcd(rn;0) =rn. Ce qui va donner pour nous pgcd(2a1;2b1) =pgcd(2b1;2r1) == pgcd(2rn1;201) =2rn1. Bilan : pgcd(2a1;2b1) =2pgcd(a;b)1.
8 Correction del"exer cice15 N1.Supposons que an+1 est premier. Nous allons montrer la contraposée. Supposons quenn"est pas de la
forme 2 k, c"est-à-dire quen=pqavecpun nombre premier>2 etq2N. Nous utilisons la formule x p+1= (x+1)(1x+x2x3+:::+xp1) avecx=aq: a n+1=apq+1= (aq)p+1= (aq+1)(1aq+(aq)2++(aq)p1): Doncaq+1 divisean+1 et comme 1Cette conjecture est f ausse,mais pas f acileà vérifier sans une bonne calculette ! En ef fetpour n=5 nous obtenons : 2 25+1=4294967297=6416700417:Correction del"exer cice16 N1.Étant donné 0 C ip=p!i!(pi)!=p(p1)(p2):::(p(i+1))i! CommeCipest un entier alorsi! divisep(p1):::(p(i+1)). Maisi! etpsont premiers entre eux (en utilisant l"hypothèse 0 autrement dit il existek2Ztel queki!= (p1):::(p(i+1)). Maintenant nous avonsCip=pkdonc pdiviseCip. 2. Il s"agit de montrer le petit théorème de Fermat: pour ppremier eta2N, alorsapa(modp). Fixonsquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
Montrer par récurence que :
8ppremier;8a2N;on aapaest divisible parp:
1.Montrer par récurrence que 8n2N;8k>1 on a :
22n+k1=
22n1k1Õ i=0(22n+i+1): 2. On pose Fn=22n+1. Montrer que pourm6=n,FnetFmsont premiers entre eux. 3. En déduire qu"il y a une infinité de nombres premiers. SoitXl"ensemble des nombres premiers de la forme 4k+3 aveck2N. 1.
Montrer que Xest non vide.
2. Montrer que le produit de nombres de la forme 4 k+1 est encore de cette forme. 3. On suppose que Xest fini et on l"écrit alorsX=fp1;:::;png. Soita=4p1p2:::pn1. Montrer par l"absurde queaadmet un diviseur premier de la forme 4k+3. 4. Montrer que ceci est impossible et donc que Xest infini.Indication pourl"exer cice1 NAttention le reste d"une division euclidienne est plus petit que le quotient !
Indication pour
l"exer cice4 NUtiliser les modulos (ici modulo 8), un entier est divisible par 8 si et seulement si il est équivalent à 0 modulo
8. Ici vous pouvez commencer par calculer 7
n(mod 8).Indication pourl"exer cice5 NIl faut travailler modulo 13, tout d"abord réduire 100 modulo 13. Se souvenir que siab(mod 13)alors
a kbk(mod 13). Enfin calculer ce que cela donne pour les exposantsk=1;2;3;:::en essayant de trouver une règle générale.Indication pourl"exer cice6 N1.Écrire n=2p+1. 2. Écrire n=2pet discuter selon quepest pair ou impair. 3.Utiliser la première question.
4. P arl"absurde supposer que cela s"écri vecomme un carré, par e xemplea2+b2+c2=n2puis discuterselon quenest pair ou impair.Indication pourl"exer cice11 NCommencer par simplifier l"équation ! Ensuite trouver une solution particulière(x0;y0)à l"aide de l"algorithme
d"Euclide par exemple. Ensuite trouver un expression pour une solution générale.Indication pourl"exer cice12 NIl ne faut surtout pas chercher à calculer 15!=123415, mais profiter du fait qu"il est déjà
"presque" factorisé.Indication pourl"exer cice13 NRaisonner par l"absurde et utiliser le lemme de Gauss.
Indication pour
l"exer cice14 NPour 1. utiliser l"égalité
x b1= (x1)(xb1++x+1): Pour 2. raisonner par contraposition et utiliser la question 1. La question 3. est difficile ! Supposera>b. Commencer par montrer que pgcd(2a1;2b1) =pgcd(2a 2 b;2b1) =pgcd(2ab1;2b1). Cela vour permettra de comparer l"agorithme d"Euclide pour le calcul depgcd(a;b)avec l"algorithme d"Euclide pour le calcul de pgcd(2a1;2b1).Indication pourl"exer cice15 NRaisonner par contraposition (ou par l"absurde) : supposer quenn"est pas de la forme 2k, alorsnadmet un
facteur irréductiblep>2. Utiliser aussixp+1= (x+1)(1x+x2x3+:::+xp1)avecxbien choisi.Indication pourl"exer cice16 N4
1.Écrire
C ip=p(p1)(p2):::(p(i+1))i! et utiliser le lemme de Gauss ou le lemme d"Euclide. 2.Raisonner a vecles modulos, c"est-à-dire prouv erapa(modp).Indication pourl"exer cice17 N1.Il f autêtre très soigneux : nest fixé une fois pour toute, la récurrence se fait surk>1.
2.Utiliser la question précédente a vecm=n+k.
3. P arl"absurde, supposer qu"il y a seulement Nnombres premiers, considérerN+1 nombres du typeFi.Appliquer le "principe du tiroir" :si vous avez N+1chaussettes rangées dans N tiroirs alors il existe
(au moins) un tiroir contenant (plus de) deux chaussettes.5Correction del"exer cice1 NLa seule chose à voir est que pour une division euclidienne le reste doit être plus petit que le quotient. Donc les
divisions euclidiennes s"écrivent : 96842=256378+74 et 96842=258375+92.Correction del"exer cice2 NIl suffit de constater que pour 4 nombres consécutifs il y a nécessairement : un multiple de 2, un multiple de
3, un multiple de 4 (distinct du mutliple de 2). Donc le produit de 4 nombres consécutifs est divisible par
234=24.Correction del"exer cice3 NEcriren=p2+q2et étudier le reste de la division euclidienne denpar 4 en distinguant les différents cas de
parité depetq.Correction del"exer cice4 NRaisonnons modulo 8 :7 1(mod 8):
Donc 7 n+1(1)n+1(mod 8):Le reste de la division euclidienne de 7
n+1 par 8 est donc(1)n+1 donc Sinest impair alors 7n+1 estdivisible par 8. Et sinest pair 7n+1 n"est pas divisible par 8.Correction del"exer cice5 NIl sagit de calculer 100
1000modulo 13. Tout d"abord 1009(mod 13)donc 100100091000(mod 13). Or
92813(mod 13), 9392:93:91(mod 13), Or 9493:99(mod 13), 9594:99:93
(mod 13). Donc 10010009100093:333+1(93)333:91333:99(mod 13).Correction del"exer cice6 N1.Soit nun nombre impair, alors il s"écritn=2p+1 avecp2N. Maintenantn2= (2p+1)2=4p2+4p+
1=4p(p+1)+1. Doncn21(mod 8).
2. Si nest pair alors il existep2Ntel quen=2p. Etn2=4p2. Sipest pair alorsp2est pair et donc n2=4p2est divisible par 8, doncn20(mod 8). Sipest impair alorsp2est impair et doncn2=4p2
est divisible par 4 mais pas par 8, doncn24(mod 8). 3. Comme aest impair alors d"après la première questiona21(mod 8), et de mêmec21(mod 8), c21(mod 8). Donca2+b2+c21+1+13(mod 8). Pour l"autre reste, écrivonsa=2p+1 et
b=2q+1,c=2r+1, alors 2ab=2(2p+1)(2q+1) =8pq+4(p+q)+2. Alors 2(ab+bc+ca) =8pq+8qr+8pr+8(p+q+r)+6, donc 2(ab+bc+ca)6(mod 8).
4. Montrons par l"absurde que le nombre a2+b2+c2n"est pas le carré d"un nombre entier. Supposons qu"il existen2Ntel quea2+b2+c2=n2. Nous savons quea2+b2+c23(mod 8). Sinest impair alorsn21(mod 8)et sinest pair alorsn20(mod 8)oun24(mod 8). Dans tous les casn2n"est pas congru à 3 modulo 8. Donc il y a une contradiction. La conclusion est que l"hypothèse de
départ est fausse donca2+b2+c2n"est pas un carré. Le même type de raisonnement est valide pour
2(ab+bc+ca).
Pourab+bc+cal"argument est similaire : d"une part 2(ab+bc+ca)6(mod 8)et d"autre part si, par l"absurde, on supposeab+bc+ca=n2alors selon la parité dennous avons 2(ab+bc+ca)2n22(mod 8)ou à 0(mod 8). Dans les deux cas cela aboutit à une contradiction. Nous avons montrer que
ab+bc+can"est pas un carré. 6Correction del"exer cice7 NIl s"agit ici d"utiliser la décomposition des nombres en facteurs premiers.
1.126 =2:32:7 et 230=2:5:23 donc le pgcd de 126 et 230 est 2.
2.390 =2:3:5:13, 720=24:32:5, 450=2:32:52et donc le pgcd de ces trois nombres est 2:3:5=30.
3.pgcd (180;606;750) =6.Correction del"exer cice8 NSoienta;bdeux entiers de pgcd 18 et de somme 360. Soita0;b0tel quea=18a0etb=18b0. Alorsa0etb0sont
premiers entre eux, et leur somme est 360=18=20.Nous pouvons facilement énumérer tous les couples d"entiers naturels(a0;b0)(a06b0) qui vérifient cette
condition, ce sont les couples : (1;19);(3;17);(7;13);(9;11):Pour obtenir les couples(a;b)recherchés (a6b), il suffit de multiplier les couples précédents par 18 :
(18;342);(54;306);(126;234);(162;198):Correction del"exer cice9 N1.pgcd (18480;9828) =84; 2.25 18480+(47)9828=84.Correction del"exer cice10 N1.a=9b+10.
2. Calculons le pgcd par l"algorithme d"Euclide. a=9b+10,b=1234567810+9, 10=19+1. Donc le pgcd vaut 1; 3.Nous reprenons les équations précédentes e npartant de la fin: 1 =109, puis nous remplaçons 9 grâce
à la deuxième équation de l"algorithme d"Euclide: 1=10(b1234567810) =b+123467910. Maintenant nous remplaçons 10 grâce à la première équation: 1=b+12345679(a9b) =
12345679a111111112b.Correction del"exer cice11 NEn divisant par 45 (qui est le pgcd de 1665;1035;45) nous obtenons l"équation équivalente :
37x+23y=1(E)
Comme le pgcd de 37 et 23 est 1, alors d"après le théorème de Bézout cette équation(E)a des solutions.
L"algorithme d"Euclide pour le calcul du pgcd de 37 et 23 fourni les coefficients de Bézout: 375+23
(8) =1. Une solution particulière de(E)est donc(x0;y0) = (5;8).Nous allons maintenant trouver l"expression générale pour les solutions de l"équation(E). Soient(x;y)une
solution de l"équation 37x+23y=1. Comme(x0;y0)est aussi solution, nous avons 37x0+23y0=1. Faisons la différence de ces deux égalités pour obtenir 37(xx0)+23(yy0) =0. Autrement dit37(xx0) =23(yy0) ()
7On en déduit que 37j23(yy0), or pgcd(23;37) =1 donc par le lemme de Gauss, 37j(yy0). (C"est ici qu"il
est important d"avoir divisé par 45 dès le début !) Cela nous permet d"écrireyy0=37kpour unk2Z.
Repartant de l"égalité(): nous obtenons 37(xx0) =2337k. Ce qui donnexx0=23k. Donc si (x;y)est solution de(E)alors elle est de la forme :(x;y) = (x023k;y0+37k), aveck2Z.Réciproquement pour chaquek2Z, si(x;y)est de cette forme alors c"est une solution de(E)(vérifiez-le !).
Conclusion : les solutions sont(523k;8+37k)jk2Z:Correction del"exer cice12 NÉcrivons la décomposition de 15!=1:2:3:4:::15 en facteurs premiers. 15!=211:36:53:72:11:13. Un diviseur
de 15! s"écritd=2a:3b:5g:7d:11e:13havec 06a611, 06b66, 06g63, 06d62, 06e61,06h61. De plus tout nombredde cette forme est un diviseur de 15!. Le nombre de diviseurs est donc
(11+1)(6+1)(3+1)(2+1)(1+1)(1+1) =4032.Correction del"exer cice13 NSoitaetbdes entiers premiers entre eux. Raisonnons par l"absurde et supposons queabeta+bne sont pas
premiers entre eux. Il existe alorspun nombre premier divisantabeta+b. Par le lemme d"Euclide comme pjabalorspjaoupjb. Par exemple supposons quepja. Commepja+balorspdivise aussi(a+b)a, donc pjb.dne divise pasbcela implique quedetbsont premiers entre eux. D"après le lemme de Gauss, commeddiviseabetdpremier avecbalorsddivisea. Doncpest un facteur premier deaet debce qui est absurde.Correction del"exer cice14 N1.Nous sa vonsque x b1= (x1)(xb1++x+1); pourx=2anous obtenons : 2 ab1= (2a)b1= (2a1)2a(b1)++2a+1
Donc(2a1)j(2ab1).
2. Montrons la contraposée. Supposons que pne soit pas premier. Doncp=abavec 11)revient à faire l"algorithme d"Euclide pour(a;b). Tout d"abord rappellons la formule qui est à la
base de l"algorithme d"Euclide : pgcd(a;b) =pgcd(ab;b). Appliqué à 2a1 et 2b1 cela donne directement pgcd(2a1;2b1) =pgcd(2a2b;2b1). Mais 2a2b=2b(2ab1)d"où pgcd(2a1;2b1) =pgcd(2b(2ab1);2b1) =pgcd(2ab1;2b1). La dernière égalité vient du fait 2bet
2 b1 sont premiers entre eux (deux entiers consécutifs sont toujours premiers entre eux). Nous avons montrer : pgcd(2a1;2b1) =pgcd(2ab1;2b1). Cette formule est à mettre en parallèle de pgcd(a;b) =pgcd(ab;b). En itérant cette formule nous obtenons que sia=bq+ralors : pgcd(2a1;2b1) =pgcd(2abq1;2b1) =pgcd(2r1;2b1)à comparer avec pgcd(a;b) =pgcd(abq;b) =pgcd(r;b). Nous avons notre première étape de l"algorithme d"Euclide. En itérant
l"algorithme d"Euclide pour(a;b), nous nous arêtons au dernier reste non nul: pgcd(a;b) =pgcd(b;r) =
=pgcd(rn;0) =rn. Ce qui va donner pour nous pgcd(2a1;2b1) =pgcd(2b1;2r1) == pgcd(2rn1;201) =2rn1.Bilan : pgcd(2a1;2b1) =2pgcd(a;b)1.
8Correction del"exer cice15 N1.Supposons que an+1 est premier. Nous allons montrer la contraposée. Supposons quenn"est pas de la
forme 2 k, c"est-à-dire quen=pqavecpun nombre premier>2 etq2N. Nous utilisons la formule x p+1= (x+1)(1x+x2x3+:::+xp1) avecx=aq: a n+1=apq+1= (aq)p+1= (aq+1)(1aq+(aq)2++(aq)p1): Doncaq+1 divisean+1 et comme 125+1=4294967297=6416700417:Correction del"exer cice16 N1.Étant donné 0 C ip=p!i!(pi)!=p(p1)(p2):::(p(i+1))i! CommeCipest un entier alorsi! divisep(p1):::(p(i+1)). Maisi! etpsont premiers entre eux (en utilisant l"hypothèse 0 autrement dit il existek2Ztel queki!= (p1):::(p(i+1)). Maintenant nous avonsCip=pkdonc pdiviseCip. 2. Il s"agit de montrer le petit théorème de Fermat: pour ppremier eta2N, alorsapa(modp). Fixonsquotesdbs_dbs41.pdfusesText_41
utilisant l"hypothèse 0
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