[PDF] 1.2 Théorie des nombres

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6CHAPITRE 1. UN COFFRE D"OUTILS

1.2 Th´eorie des nombres

Lath´eorie des nombress"int´eresse aux propri´et´es des entiers, c"est-`a-dire des ´el´ements de

l"ensembleZZ={...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}.

1.Les nombres figur´es.

Il est souvent commode de visualiser les entiers positifs `a l"aide d"arrangements de points dispos´es selon des formes g´eom´etriques particuli`eres; on parle alors denombres

figur´es(ou encore denombres g´eom´etriques). Pour une forme g´eom´etrique donn´ee, par

exemple un certain polygone r´egulier, on obtient une suite de nombres d"une mˆeme famille. Voici quelques familles c´el`ebres.

-Les nombres carr´es1 4 9 16. . .

Len e nombre carr´e est donn´eparn 2 =n×n. -Les nombres triangulaires1 3 6 10. . .

AppelonsT

n len e nombre triangulaire ; nous avons alors T 1 =1, T 2 =1+2 =T 1 +2, T 3 =1+2+3 =T 2 +3,... T n =1+2+···+n=T n-1 +n.

On se convainc facilement du fait que

T n =n(n+1) 2. La figure suivante en fournit une preuve visuelle (T n correspond `a la moiti´e des points formant un rectangle de cˆot´esnetn+1).

1.2. TH´EORIE DES NOMBRES7

-Les nombres pentagonaux 15 12

On peut v´erifier que len

e nombre pentagonal est donn´eparn(3n-1) 2. Le proc´ed´epeutˆetre poursuivi; on obtiendra ainsi des nombres hexagonaux, hepta- gonaux, octogonaux, etc. On peut aussi passer `a 3 dimensions : on parlera alors de nombres cubiques, pyramidaux, etc. L"usage a consacr´e l"expressioncarr´e parfaitpour d´esigner un entier qui est le carr´e d"un entier, comme on vient de le voir; cette expression vise `a insister sur le fait que mˆeme si un nombre comme 5 pourrait ˆetre vu comme un carr´e(`a savoir de⎷

5), ce

n"est pas vraiment ce qu"on a `a l"esprit lorsqu"on parle d"un entier qui est un carr´e. De la mˆeme fa¸con, on a la notion decube parfait.

2.Divisibilit´e.

On dit qu"un entierbestdivisibleparunentiera?= 0 s"il existe un entierxtel que b=ax, auquel cas on ´ecrita|b. Dans le cas contraire, on ´ecrita?|b.Sia|b,ondit aussi queaest un diviseur ou un facteur deb,queadivisebou encore quebest un multiple dea. Dans le cas o`ua|beta?=b, on dit queaest un diviseur propre deb.Il est `a noter que pour tout entier non nula,ona,pard´efinition mˆeme,a|0.

Exemple:

120 poss`ede 16 diviseurs : 1,2,3,4,5,6,8,10,12,15,20,24,30,40,60,120.

Les principales propri´et´es de la relation de divisibilit´e sont les suivantes; elles d´ecoulent

imm´ediatement de la d´efinition. (i)1|xetx|x, quel que soit l"entierx; (ii)a|betb|c?a|c; (iii)a|b?a|bx, quel que soit l"entierx; (iv)a|beta|c?a|(b±c);

8CHAPITRE 1. UN COFFRE D"OUTILS

(v)a|beta|(b±c)?a|c; (vi)a|betb|a?a=±b;

D´emonstration:

Nous d´emontrons la propri´et´e(vi). Commea|b,ilexisteunentierutel queb=au.De mˆeme, puisqueb|a,ilexisteunentiervtel quea=bv.Maisalorsa=bv=(au)v=a(uv), d"o`u il suit queuv= 1. Mais les seuls cas possibles de produits d"entiers donnant 1 sont 1×1 et-1×-1. On a doncv=±1, c"est-`a-direa=±b.

On ´ecrita

i ?bpour signifier quea i |bmais quea i+1 ?|b.Lorsquea i ?b,iest donc l"exposant de la plus grande puissance deadivisantb. Un nombrepairest un multiple de 2; il est donc de la forme 2kpour un certain entier k.Lesnombresimpairssont de la forme 2k+1.

Exemples:

Calculons : (2j+1)+(2k+1)=2j+2k+2=2(j+k+1)et(2j+1)×(2k+1)=

4jk+2j+2k+ 1 = 2(2jk+j+k)+1.

(b)Montrer quen 2 est pair si et seulement sinest pair. De mˆeme en rempla¸cant le mot "pair" par "impair". Cela d´ecoule du fait quepair×pair=pairet queimpair×impair=impair. (c)Montrer que la diff´erence entre des carr´es parfaits successifs est un nombre impair. (n+1) 2 =n 2 +(2n+ 1). La figure ci-dessous illustre le casn= 4. On remarquera que le nombre impair qui constitue la diff´erence croˆıt avecn. (d)Montrer quen 2 -nest pair, quel que soit l"entiern.

Remarquons quen

2 -n=n(n-1). Il y a deux cas `a examiner. Sinest pair, donc de la forme 2k, alorsn 2 -n=2k(2k-1) = 2m,avecm=k(2k-1). Et sinest impair, doncn=2k+1, alorsn 2 -n=(2k+1)2k=2p,avecp=k(2k+1). Dans les deux cas, n 2 -nest divisible par 2. (e)Montrer quen 2 -1est divisible par 8 lorsquenest impair.

Nous ´ecrivonsn

2 -n=(n+1)(n-1). Il est commode de voir les entiers impairs comme ´etant de la forme 4k+ 1 ou 4k+3.Sin=4k+ 1, alorsn 2 -1=(4k+ 2)4k=8m, avecm=k(2k+ 1). Et sin=4k+ 3, alorsn 2 -1=(4k+ 4)(4k+2)=8p,avec p=(k+ 1)(2k+ 1). Dans les deux cas,n 2 -nest divisible par 8. (f)Montrer qu"il n"existe pas d"entierntel que4|(n 2 +2).

1.2. TH´EORIE DES NOMBRES9

Sin=2k, alorsn

2 +2=4k 2 + 2. Comme 4k 2 est un multiple de 4, le multiple de 4 suivant est donc 4k 2 + 4, ce qui fait que 4k 2 + 2 ne peut ˆetre un multiple de 4. Et si n=2k+ 1, alorsn 2 +2=4k 2 +4k+1+2=4(k 2 +k) + 3; comme pr´ec´edemment, ce nombre ne peut pas ˆetre un multiple de 4.

3.La division euclidienne.

Le r´esultat suivant joue un rˆole fondamental en th´eorie des nombres; il nous dit com- ment diviser dansZZ. Soitaetbdeux entiers,a>0; alors il existe des entiersq(lequotient)etr(lereste),

Exemples:

(a)a=3etb= 14; alors 14 = 4×3+2. (b)a=3etb=-14; alors-14 =-5×3+1. La division par 2 donne deux restes possibles : 0 ou 1. Les entiers sont donc de la forme 2k(les pairs) ou 2k+ 1 (les impairs). De mˆeme, en divisant par 3, on voit que les entiers sont soit de la forme 3k, soit 3k+ 1, soit 3k+2.

Exemple:

Montrer qu"`a l"exception de 2 et de 3, tout nombre premier est voisin d"un multiple de 6.

R´epartissons les naturels en six cat´egories, selon leur reste dans la division par 6; ils sont

donc de l"une des formes suivantes :

6k,6k+1,6k+2,6k+3,6k+4,6k+5.

Mais remarquons que 6k+2 et 6k+4 sont forc´ement divisibles par 2, que 6k+3 est divisible

par 3 et bien sˆur que 6kest divisible par 6. Les seules cat´egories qui ne sont pas ´elimin´ees

a priorisont 6k+ 1 et 6k+ 5. Et on peut r´e´ecrire 6k+ 5 comme 6(k+1)-1. Ceci montre donc que tout premier, sauf 2 et 3, est de la forme 6j±1o`uj?IN?.

Par exemple, 29 = 6·5-1et31=6·5+1.

4.Le plus grand commun diviseur de deux entiers.

Soitaetbdeux entiers diff´erents de z´ero. Leplus grand commun diviseur(pgcd)de aetbest l"unique entier positifgqui divise `alafoisaetbet qui est tel que sic|aet contexte ne porte pas `a confusion avec la notion de couple - par (a,b).

Exemples:

(9,24) = 3,(9,-18) = 9,(9,14) = 1. Voici quelques propri´et´es dupgcdde deux nombres. (i) Sic|aetc|b, alorsc|(a,b); (ii)(a,b)=(b,a); (iii) pour chaque entier positifm,ona(ma,mb)=m(a,b); (iv) sig=(a,b), alors a g b g =1; (v)(a,b+ma)=(a,b), pourm?ZZ.

10CHAPITRE 1. UN COFFRE D"OUTILS

D´emonstration:

Nous d´emontrons la propri´et´e(v). Posonsd=(a,b)etg=(a,b+ma). Puisqued|aetd|b, alorsd|(b+ma). Mais alorsd|gest une cons´equence ded|aet ded|(b+ma). Par ailleurs, g|aetg|(b+ma) impliquent queg|aetg|b, doncg|d. Commed|getg|det quedet gsont positifs, on conclut qued=g. Puisque 1|aet 1|b, on a toujours (a,b)≥1. On dit de deux entiersaetbqu"ils sontrelativement premierslorsque (a,b) = 1. Par exemple, 9 et 14 sont relativement premiers. (vi)(a,a+1)=1; (vii) si(a,b)=1eta|bc, alorsa|c; (viii) si(a,b)=1et(a,c)=1, alors(a,bc)=1.

D´emonstration:

Nous d´emontrons la propri´et´e(vi). Soitdest un diviseur commun deaeta+ 1. Comme a=dkpour un certaink, le multiple suivant dedestd(k+1)=a+d; mais ce multiple ne

peut co¨ıncider aveca+1quesid= 1. (Les propri´et´es(vii)et(viii)peuvent se d´emontrer en

consid´erant les factorisations premi`eres des nombres en cause.)

5.L"algorithme d"Euclide.

Conjuguons la propri´et´e(v)de la section qui pr´ec`ede avec la relation de division eu- clidienne : sirest le reste de la division deuparv, c"est-`a-dire siu=qv+r,ona alors (u,v)=(v,r).

Appliquant cette ´egalit´e`ar´ep´etition, on obtient ainsi une m´ethode commode de calcul

d"unpgcd:l"algorithme d"Euclide.

Exemple:

Voici comment trouver (867,748).

867 = 1×748 + 119

748 = 6×119 + 34

119 = 3×34 + 17

34 = 2×17 + 0.

Il s"ensuit que (867,748) = (748,119) = (119,34) = (34,17) = (17,0) = 17. Ces mˆemes calculs nous permettent de voir que lepgcddeaetbpeut toujours s"´ecrire sous la forme (a,b)=xa+yb pour des entiersxetyconvenablement choisis.

Exemple:

Reprenons le calcul pr´ec´edent, mais en le parcourant de bas en haut.

17 = 119-3·34

1.2. TH´EORIE DES NOMBRES11

= 119-3·(748-6·119) =19·119-3·748 =19·(867-748)-3·748 =19·867-22·748. L"algorithme d"Euclide peut s"appliquer `a des entiers exprim´es sous une forme g´en´erale.

Exemple:

Montrer que pour tout entierk, la fraction21k+4

14k+3est irr´eductible.

Nous utilisons l"algorithme d"Euclide pour montrer que le num´erateur et le d´enominateur sont relativement premiers.

21k+4 = 1·(14k+3)+(7k+1)

14k+3 = 2·(7k+1)+1.

On a doncpgcd(21k+4,14k+3)=1.

On d´efinit de fa¸con analogue lepgcdde plusieurs entiers. Par exemple, (9,15,24) = 3.

On peut v´erifier que (a,b,c)=((a,b),c).

6.Le plus petit commun multiple de deux entiers.

Soitaetbdeux entiers non nuls. On dit quecest un multiple commun deaetbsi a|cetb|c;leplus petit commun multiple(ppcm)deaetb,d´enot´eparppcm[a,b]ou encore tout simplement par [a,b], est le plus petit entier positif parmi tous les multiples communs deaetb. Il satisfait les propri´et´es suivantes : (i) Sia|cetb|c, alors[a,b]|c; (ii)[a,b]=[b,a]; (iii) sim>0, alors[ma,mb]=m[a,b].

Une ´egalit´e remarquable relie lepgcdet le

ppcmde deux entiers : (a,b)·[a,b]=|ab|.

7.La repr´esentation des entiers dans une base donn´ee.

Chacun sait fort bien ce que repr´esente le symbole 8243 : il s"agit d"une abr´eviation pour l"expression (?)8×10 3 +2×10 2 +4×10 1 +3×10 0 Mais pour ˆetre plus pr´ecis, il faudrait peut-ˆetre ´ecrire (8243) dix afin de signifier qu"il s"agit bien d"un symbole num´erique interpr´et´edanslesyst`eme d´ecimal : notre base usuelle de num´eration est la base dix (comme dans dix doigts!).

Exemple:

Trouver un nombre dont l"´ecriture dans le syst`eme d´ecimal comporte six chiffres et tel qu"en

12CHAPITRE 1. UN COFFRE D"OUTILS

intervertissant (en bloc) les trois premiers chiffres avec les trois derniers, on se trouve `ale multiplier par un facteur de 6. Posonsn= 1000x+y,o`uxetysont des nombres `a trois chiffres. La manipulation d´ecrite dans la donn´ee revient `a introduire le nombre 1000y+x. Par hypoth`ese, 1000y+x= 6(1000x+y), de sorte que 5999x= 994y. Simplifiant par 7 = (5999,994) (calcul´e par exemple `a l"aide de l"algorithme d"Euclide), on obtient 857x= 142y. On a donc 857|142y; mais puisque 857 et 142 sont relativement premiers, il s"ensuit que 857|y. Mais n"oublions pas queyest un nombre `a trois chiffres, ce qui entraˆıne quey= 857. On en tire quex= 142, de sorte que n= 142 857.

Revenons au nombre (8243)

dix ; comment ce mˆeme nombre se repr´esente-t-il dans d"autres bases, par exemple en base deux (num´eration binaire)? Il s"agit de trouver une expression analogue `a(?) mais dans laquelle interviennent des puissances de 2. Il y a plusieurs fa¸cons de proc´eder; en voici une. On cherche d"abord la plus grande puissance de 2 n"exc´edant pas 8243. Comme 8192 = 2 13 , on a donc 8243 = 2 13 +51. On fait de mˆeme avec 51, et ainsi de suite. On obtient
alors successivement

8243 = 2

13 +51
=2 13 +2 5 +19 =2 13 +2 5 +2 4 +3 =2 13 +2 5 +2 4 +2 1 +2 0 = (10000000110011) deux

De mani`ere g´en´erale, ´etant donn´e un entierb≥2(labase de num´eration), tout nombre

entier positifnpeut s"´ecrire de mani`ere unique sous la forme n=a k b k +a k-1 b k-1 +···+a 2 b 2 +a 1 b+a 0 o`ulesa i i 10, on doit introduire de nouveaux chiffres pour repr´esenter les nombres "dix", "onze", etc. En base douze, par exemple, on pourra prendreApour dix etB pour onze.

Exemples:

Voici le d´eveloppement de quarante-sept dans diverses bases : (47) dix ,(101111) deux ,(1202) trois ,(233) quatre ,(142) cinq ,(57) huit ,(3B) douze Les m´ethodes de calcul famili`eres en num´eration d´ecimale se transposent facilement aux bases autres que dix. Mais certaines pratiques doivent cependant ˆetre revues.

Exemples:

(a) Voici une multiplication par trois en base trois :

1222×10 = 12220.

1.2. TH´EORIE DES NOMBRES13

(b) Voici quelques puissances de quatre exprim´ees en base quatre : 10 2 = 100,10 3 = 1000,10 4 = 10000, etc. (c) Le nombre (232) cinq est impair mˆeme s"il se termine par un chiffre pair : il faut donc

reviser les crit`eres de divisibilit´e, car ils d´ependent de la repr´esentation des nombres,

donc de la base de num´eration.

8.Repr´esentation des r´eels.

Le syst`eme de repr´esentation des entiers en basebpeut se prolonger aux nombres r´eels par l"introduction de termes correspondant aux puissances n´egatives de la base. Tout r´eelrpeut se repr´esenter sous la forme d"une "somme infinie" r=a k b k +a k-1 b k-1 +···+a 2 b 2 +a 1 b+a 0 +a -1 b -1 +a -2 b -2 +a -3 b -3 o`u chaquea i i Exemples: (a) En base dix, 4 3 8 = 4,3750000...= 4,375; 1 11 = 0,09090909...=0,09;⎷

2 = 1,4142135623730950488016887....

(b) Voici le d´eveloppement de la fraction 1 4 dix dans diverses bases :quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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