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Lycée Pierre de Fermat2019/2020

MPSI 1TD

Nombres réels

1 Manipulation de la borne sup dansR.

1.1 Calculs concrets de bornes supérieures ou inférieures

?Exercice1.1.

1. SoitA=?

(-1)n+1 n???? ?N?? . Étudier l"existence de infA, minA, supA, maxAet les calculer le cas

échéant.

2. Calculer sup?

1-1 n???? n?N?? et inf? -2 + 3(-1)nn???? n?N??

?Exercice1.2.Les parties deRsuivantes sont-elles majorées, minorées? si oui, préciserlorsqu"elles existent

leurs bornes supérieures, bornes inférieures, plus grand élément, plus petit élément...

A=?1 n???? n?N?? , B=? (-1)n? 1-1n? ?n?N?? , C=?1n-1p???? (n,p)?N?2 n?p? , D=?p+ 1n???? (n,p)?N?2 p?n? ?Exercice1.3. Utilité des caractérisations séquentielles.

SoientA=?

x+1 x|x?R?+? etB=? x+1x|x?R?+\Q?

Calculer infAet infB.

1.2 Calculs théoriques de bornes supérieures ou inférieures

?Exercice1.4.Soient (a, b)?R2tels que?ε?R?+, a?b+ε.

1. Montrer quea?b.

2. Montrer que (?ε?R?+, a?b+ε) si et seulement si (?ε?R?+, a?b+ 3εsin(⎷

2)).

3. Prouvez ou infirmez les affirmations suivantes :

-?(a,b)?R2,((?ε?R+, a?b+ε)?a < b), -?(a,b)?R2,?(?ε?R?+, a?b+ε)?a?b?, -?(a,b)?R2,?(?ε?R?+, a < b+ε)?a < b?, -?(a,b)?R2,?(?ε?R?+, a < b+ε)?a?b?, -?(a,b)?R2,((?ε?R+, a < b+ε)?a?b), -?(a,b)?R2,((?ε?R+, a < b+ε)?a < b). ?Exercice1.5.Soient (A,B)? P(R)2telles queA?=∅,B?=∅etAetBmajorées.

On poseA+B={a+b?R|a?A , b?B}.

1. Montrer que sup(A+B) = supA+ supB. On pourra proposer deux preuves, l"une utilisant la caractéri-

sation de la borne supérieure (avec des "ε") et l"autre non.

2. En remplaçant l"hypothèseAetBmajorées parAetBminorées, que devient le résultat de la question

précédente? ?Exercice1.6.SoitAune partie non vide et bornée deR. Montrer que sup{|x-y| |(x, y)?A2}= sup(A)-inf(A).

Que dire de inf{|x-y| |(x, y)?A2}?

?Exercice1.7.

1. SoientAetBdeux parties non vides deRtelles que pour tout (a,b)?A×B,a?b. Comparer infBet

supAaprès avoir justifié leur existence.

2. SoientAetBdeux parties non vides deRtelles que pour tout (a,b)?A×B,a < b. Comparer infBet

supAa près avoir justifié leur existence. On illustrera éventuellement le résultat par des exemples.

3. SoientAetBdeux parties non vides deRtelles que pour tout (a,b)?A×B, il existe au moins une valeur

ε?R?+tel quea+ε > b. infBet supAexistent-ils et s"ils existent, sont-ils comparables? Existe-t-il

beaucoup de couples de parties (A,B)? P(R)2satisfaisant cette propriété? ?Exercice1.8.Soientn?N?et (ai)1?i?n?Rn. Montrer que sup{ai|i= 1,...,n}= max{ai|i= 1,...,n}et inf{ai|i= 1,...,n}= min{ai|i= 1,...,n}. 1

2 Nombres rationnels et irrationnels.

?Exercice2.1.

1. Soitpun nombre premier. Montrer que⎷

pest un nombre irrationnel. Soitn?Ntel quen?2. Montrer quep1 nest un nombre irrationnel.

2. Le produit de deux nombres rationnels est-il rationnel, qu"en est-il de celui de deux irrationnels? et de

celui d"un irrationnel par un rationnel? ?Exercice2.2.Soitxun nombre réel. Que pensez-vous des énoncés suivants? •Six7etx12sont rationnels, alorsxest rationnel. •Six9etx12sont rationnels, alorsxest rationnel.

?Exercice2.3.Dans cet exercice, nous supposons les nombres rationnels systématiquement représentés par

une fraction irréductible, c"est à dire que le numérateur etle dénominateur sont premiers entre eux.

1. Démontrer que, pour toutN?N?, tout intervalle deRcontenant au moins deux points contient une

infinité de nombres rationnels dont le dénominateur est strictement supérieur àN.

2. Montrer que, pour toutx?R, il existeεx>0 tel que l"intervalle ]x-εx, x+εx[ ne contienne aucun

nombre rationnel dont le dénominateur est inférieur àNà l"exception dexéventuellement.

?Exercice2.4.Montrer que l"ensembleD2des nombres dyadiques, défini parD2=?n2p??? (n,p)?Z×N? est dense dansR. En est-il de même pour l"ensembleDqdes nombresq-adiquesDq=?n qp???? (n,p)?Z×N? q?N\ {0,1}? ?Exercice2.5.Montrer que⎷6-⎷2-⎷3 et⎷5 +⎷2 +⎷3 appartiennent àR\Q.

?Exercice2.6. DifficileDes nombres sont écrits sur une feuille. On peut ajouter à cette liste toute moyenne

arithmétique de nombres deux à deux distincts appartenant déjà à cette liste. Si la liste initiale est réduite à

{0,1}, montrer que 1. 1

5peut appartenir à la liste,

2. tout rationnel de [0,1] appartient à la liste.

3 Borne supérieure et fonctions réelles.

?Exercice3.1.SoitPl"ensemble des applications polynômiales, à coefficients complexes, deCdansC. Consi-

dérons l"applicationN:P →Rdéfinie pout toutP? PparN(P) = sup{|P(z)| |z?U}. Montrer que

1.Nest bien définie et à valeurs dansR+,

2.?λ?C,N(λP) =|λ|N(P),

3.?P? P,N(P) = 0?P= 0P,

4.?(P,Q)? P2,N(P+Q)?N(P) +N(Q).

L"applicationNainsi définie, qui possède les quatre propriétés ci-dessus,est unenorme sur l"espace vecto-

rielP.

?Exercice3.2.Reprendre l"énoncé précédent pour démontrer que l"applicationN:R2→R, (a,b)?→N(a,b) =

max(|a|,|b|) est une norme sur l"espace vectorielR2.

?Exercice3.3.Soitfune application de [0,1] dans [0,1]. Un point fixe defest une solution de l"équation

f(x)-x= 0 d"inconnuex?[0,1].

1. Montrer que sifest continue sur [0,1], alorsfadmet un point fixe (Ce résultat est une conséquence

immédiate du théorème des valeurs intermédiaires). Ce point fixe est-il unique?

2. Montrer que sifest croissante alors elle possède un point fixe (on pourra introduire l"ensemble{u?

[0,1]|?x?[0,u], f(u)> u}et considérer sa borne supérieure). Ce point fixe est-il unique?

3. Ce résultat s"étend-il aux applications croissantes d"un intervalle [a, b] dans un intervalle [a, b] pour tout

(a, b)?R2tel quea < b?

4. Que dire sifest décroissante de [0,1] dans [0,1]?

?Exercice3.4.Soient (f1, f2)?RR2. On définit les fonctions sup(f2, f2) et inf(f1, f2) par sup(f2, f2)????R→R t?→sup{f1(t),f2(t)}inf(f2, f2)????R→R t?→inf{f1(t),f2(t)} 2 Démontrer que, dansRR, on dispose pour tout (f, g)?RR2, des égalités : inf(-f,-g) =-sup(f, g), f+ sup(0, g) = sup(f, f+g) et sup(f, g) =1

2(f+g+|f-g|).

?Exercice3.5. Existence d"une constante de lispschitz optimale SoitXun intervalle réel etf? F(X,R) une fonction lipschitzienne surXc"est-à-dire ?k?R+:?(x,y)?X2,|f(x)-f(y)|?k|x-y| L"ensembleKfdes constantes de Lipschitz de la fonctionf, est K f={k?R+| ?(x,y)?X2,|f(x)-f(y)|?k|x-y|} Montrer queKfadmet un plus petit élément que l"on noteKf.

L"existence de ce plus petit élément s"interprète comme l"existence d"une constante de Lipschitz optimale (c"est-

à-dire minimale) que l"on peut appelerlaconstante de Lipschitz (sous-entendu optimale) def.

4 Questions courtes.

?Exercice4.1.

1. Si,?ε?R?+, a?b+ 2ε,alorsa < b.

2. Si,?ε?R?+,?η?R?+, a?b+ε+η,alorsa?b.

3. SoitA?[0,1] non vide. Alors inf(A) = sup([0,1]\A).

4. SoitA?[0,1] non vide eta?A. Alors inf(A) = sup([0,a]\A).

5. Toute partie non vide deR+est bornée.

6. Nier le fait qu"une partieAnon vide deRest bornée.

7. La droite numérique achevée est un corps.

8. La droite numérique achevée est un anneau.

9. Toute partie non vide de la droite numérique achevée a un plus grand élément.

10. Toute partie de la droite numérique achevée est minorée.

11. La somme (le produit) de deux rationnels est un rationnel.

12. La somme (le produit) de deux irrationnels est un irrationnel.

13.Zest dense dansR.

14.?n

2a+ 3b????

(n, a, b)?Z3,2a+ 3b?= 0? est dense dansR.

15. En disant qu"une partieAdeQest dense dansQsi pour tout (x, y)?Q2tels quex < y, il y a toujours

un élément deAqui est dans ]x, y[, y-a-t-il des parties denses dansQ?R\Qest-il dense dansQ? etZ?

16. Une fonctionf:X?R→Rest minorée s"il existem?R-tel que?x?X,f(x)?m.

17. Les applications constantes deX?RdansRsont croissantes, décroissantes, majorées et minorées.

18. Les applications croissantes et décroissantes de∅?X?RdansRsont les applications constantes.

19. Les applications majorées et minorées deX?RdansRsont les applications constantes.

20. Il n"existe pas d"application croissante strictement décroissante.

21. Soitfune application deRdansRstrictement croissante etgune application deRdansRcroissante.

Alorsg◦f(respf◦g) est strictement croissante.

22. Quelle est la négation de "f:X?R→Rest bornée"?

23. Quelle est la négation de "f:X?R→Rest majorée"?

24. Quelle est la négation de "f:X?R→Rest égale àg:X?R→R"?

25. Quelle est la négation de "pour toutef:X?R→R, il existeg:X?R→Rtelle quefetgcoïncident

surY?X"?

26. Si une fonctionf:X?R→Rimpaire est dérivable surX, alors sa fonction dérivée est impaire.

27. Si une fonctionf:X?R→Rpériodique est dérivable surX, alors sa fonction dérivée est périodique.

28. Si une fonctionf:R→Rimpaire est continue surR, alors ses primitives sont des fonctions paires.

29. Si une fonctionf:R→Rpaire est continue surR, alors ses primitives sont des fonctions impaires.

30. Si une fonctionf:R→Rpaire est continue surR, alors elle possède une unique primitive impaire, c"est

la primitive qui ...

31. Si une fonctionf:R→Rpériodique est continue surR, alors ses primitives sont des fonctions périodiques.

32. Une fonction 1-périodique deZdansRest une application constante.

3

Correction des exercices

?Corrigé de l"exercice 1.1 ?Corrigé de l"exercice 1.2

1.A=?1n????

n?N?? 2.B=? (-1)n? 1-1 n? ?n?N??

3.C=?1

n-1p???? (n,p)?N?2,n?p? ?Montrons queCest bornée.

Soient (n,p)?N?2fixés quelconques tels quen?p.

0<1 p?1n?1 donc 0?1n-1p?1-1p<1.

Par conséquent, 0 minoreCet 1 majoreC.

?Montrons queCadmet une borne inférieure et une borne supérieure. Cest ??une partie deR, ??non vide car1

1914-11918?C,

??minorée par-1, majorée par 1 doncCadmet une borne inférieure et une borne supérieure. ?Montrons que supC= 1. ??Méthode utilisant la caractérisation de la borne supérieure avec desε. (i) 1 majoreC. (ii) Soitε?R?+fixé quelconque.

Posonsp0=?1

+ 1?N?etn0= 1?N?de sorte quep0>1εdonc1p0< ε.

La conditionp0?n0est satisfaite doncc0=1

n0-1p0?Cetc0+ε= 1 +ε-1p0???? >0>1. ??Méthode utilisant la caractérisation séquentielle de la borne supérieure. (i) 1 majoreC. (ii) Posons (ck)k?N=?1

1-1k+ 1?

k?N. Il est immédiat de voir que (ck)k?Nest une suite d"éléments deC(ckest obtenu en effectuant n←1?N?,p←k+ 1?N?et pour ces valeurs la conditionn?pest satisfaite) qui converge vers 1. ?Montrons queCn"admet pas de plus grand élément.

Par l"absurde, supposons queCadmet un plus grand élément. Alors (cf théorème du cours)Cadmet

une borne supérieure (ce que l"on sait déjà!) et supC= maxC.

Or supC= 1 donc maxC= 1.

Par conséquent, puisque le plus grand élément d"un ensembleappartient à l"ensemble, 1?C. Or (voir

la preuve deCest borné) nous avons montré que ?c?C , c <1 donc 1/?C, d"où une contradiction. ?Montrons queCadmet un plus petit élément qui est 0. (i) 0 minoreC. (ii) pourn0←1?N?etp←1?N?, la conditionn0?p0est satisfaite doncc0=1 n0-1p0= 1-1 = 0quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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