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Les nombres r´eels

MPSI Prytan´ee National Militaire

Pascal DELAHAYE

16 novembre 2017

1 Historique de la construction deR

C"est environ au VI`eme si`ecle avant JC que l"intuition de l"existence de nombres non rationnels apparaˆıt. Hyppase de

M´etaponte, un Pythagoricien affirme alors que⎷

2 n"est pas un nombre rationnel. Cette id´ee r´evolutionnaire est alors

rejet´ee par la communaut´e de math´ematiciens et Hyppase de M´etaponte est jet´e `a la mer...

Il faut attendre 200 ans plus tard, pour qu"Euclide prouve par l"absurde qu"Hyppase de M´etaponte avait raison.

L"ensemble des nombres est d´esormais constitu´e des rationnelsQ(rapport de deux entiers) et des irrationnels (les

autres). Cet ensemble est appel´e l"ensemble des nombres r´eelsR.

Cependant, il faut attendre la deuxi`eme partie du XIX`eme si`ecle pour qu"une d´efinition formelle deRsoit propos´ee.

Le math´ematicien allemand D´edekind d´efinit alors un nombre r´eelcommeun ensemble de rationnels major´e et tel

que tous ses ´el´ements soient inf´erieurs `a tous les ´el´ements de son compl´ementaire dansQ. Ces ensembles sont com-

mun´ement appel´es lescoupures de D´edekind. Ainsi par exemple,⎷

2 est d´efini par l"ensemble :⎷

A la mˆeme ´epoque, une autre d´efinition deRest propos´ee par Cantor et M´eray. Pour eux,Rest l"ensemble des li-

mites des suites de Cauchy (cf le cours de Sp´e). On dit alors queRest complet (il n"y a plus de trou dans l"axe des r´eels).

structure deCORPS totalement ordonn´e(Voir le cours sur les structures alg´ebriques). Nous n"utiliserons les in´egalit´es

strictes que lorsqu"elles sont r´eellement n´ecessaires.

Soitx?R.

1. Six?Qon dira que x est unrationnel

2. Six?R\Qalors on dira que x est unirrationnel.

1 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/

2 Propri´et´e de la borne sup´erieure

Dans les d´efinitions suivantes, con consid`ereAune partie non vide deR. D´efinition 1 :Majorants, minorants d"une partie

2. Un r´eelm?Rest unminorantde la partieAssi tout ´el´ement deAest sup´erieur `am:?x?A, x≥m

Remarque1.Existence et unicit´e?

D´efinition 2 :Parties born´ees

ou encore : D´efinition 3 :Plus grand (maximum), plus petit ´el´ement (minimum) d"unepartie S"il existe, le plus grand ´el´ement est unique et on le note a= maxA

2. Un r´eelb?Rest unplus petit ´el´ementde A ssi :b?Aet?x?A, x≥b

S"il existe, le plus petit ´el´ement est unique et on le note : b= minA

Remarque2.

1. Le plus grand ´el´ement deAest aussi appel´e lemaximumet le plus petit ´el´ement leminimumdeA.

2. Le maximum deAest un majorant qui appartient `aAtandis que le minimum deAest ...

3. Existence et unicit´e?

D´efinition 4 :Borne sup´erieure (ou inf´erieure) d"une partie

1. Si l"ensemble des majorants deAadmet un plus petit ´el´ementM, alors on dit queMest laborne

sup´erieuredeA. Dans ce cas,Mest unique et l"on note

M= supA

2. Si l"ensemble des minorants deAadmet un plus grand ´el´ementm, alors on dit quemest laborne

inf´erieuredeA. Dans ce cas,mest unique et l"on note m= infA

Remarque3.Existence et unicit´e?

Remarque4.

Lorsqu"il existe, le plus grand ´el´ement d"un ensemble est aussi la borne sup´erieure de l"ensemble.

En revanche, la r´eciproque est fausse :A= [0,1[. Th´eor`eme Fondamental 1 :Propri´et´e FONDAMENTALE de la borne sup´erieure

SiAv´erifie???A?R

A?=∅

Preuve 1 :Cette propri´et´e fait partie des axiomes de d´efinition deR.

Pour prouver que?supAexiste

A?=∅

Remarque6.Le th´eor`eme de la borne sup´erieure sera en particulier utilis´e plus tard pour :

2 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/

1. d´efinir la notion d"int´egrale de Riemann.

2. d´emontrer le th´eor`eme de la limite monotone (suites et fonctions).

3. d´emontrer le th´eor`eme de convergence des suites adjacentes

4. d´emontrer le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires

Exercice : 1

(?) SoitAest une partie deRnon vide et born´ee telle queA=A1?A2,A1et?A2´etant ´egalement non vides.

Montrer que?infA= min(infA1,infA2)

supA= max(supA1,supA2). Proposition 2 :Existence d"un plus grand ´el´ement dans une partie deZ Toute partie non vide et major´ee deZadmet un plus grand ´el´ement. Toute partie non vide et minor´ee deZadmet un plus petit ´el´ement.

Preuve 2 :Th´eor`eme admis car il d´ecoule des axiomes de construction deNqui sont hors-programme.

Remarque8.Ce th´eor`eme sert en particulier `a : •prouver l"existence du PPCM et du PGCD de deux nombres entiers

•d´efinir la partie enti`ere d"un r´eel.

Th´eor`eme 3 :Caract´erisation de la borne sup parε

SoitA?Reta?R. Alors :

?ε >0,?xε?A∩[a-ε, a] Caract´erisation parεde la borne sup´erieure

Preuve 3 :

?: C"est la traduction de la d´efinition. ?: On montre facilement par l"absurde deaest le plus petit des majorants.

Remarque9.Sauriez-vous ´enoncer et d´emontrer un th´eor`eme ´equivalent pour la borne inf´erieure?

Corollaire 4 :Caract´erisation s´equentielle de la borne sup

SoitA?Rnon vide eta?R.

a= supAssi?aest un majorant il existe une suite (xn)?ANtelle que (xn)→a. Caract´erisation s´equentielle de la borne sup´erieure 3 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/ Preuve 4 :On construit la suite recherch´ee en prenant pour toutn≥1,ε=1n Exemple 2.Trouver s"ils existent, les inf, sup ainsi que les max, min de :

1.E1={1/n|n?N?}2.E2={1/n+ (-1)n|n?N?}3.E3={x2+y2|xy= 1,(x,y)?R2}

Exercice : 2

(?) SoientA?RetB?Rdeux parties non-vides et major´ees deR.

Exercice : 3

(??) SoientAetBdeux parties deRnon vides et major´ees.

On note :A+B={x?Rtq?(a, b)?A×B, x=a+b}

Montrez queA+Bposs`ede une borne sup´erieure et que : sup(A+B) = supA+ supB

3 Partie enti`ere d"un r´eel

Th´eor`eme 5 :D´efinition de la Partie Enti`ere d"un r´eel

Soit un r´eelx?R.

nest appel´e lapartie enti`eredexet est le plus souvent not´ee :n=?x?.

Exemple 3.On a :?6,34?= 6 et?-23,56?=-24

Python

>>> floor(6.34) # A importer depuis la biblioth`eque math >>> int(6.34) # uniquement pour les nombres positifs

Proposition 6 :Encadrements

Pour toutx?R, on a les encadrements suivants :

Preuve 6 :Imm´ediat!

Encadrements

Exercice : 4

(?) Soitx?R. Prouver que pour toutp?]1,+∞[, la suite d´efinie parun=?pnx?pnconverge versx. M´ethode :Pour calculer une partie enti`ere, on pourra :

1. soit transformer la variablexsous la formex=?x?+ravecr?[0,1[ et effectuer les calculs

2. soit proc´eder `a un encadrement pr´ecis de la valeur dont on cherche la partie enti`ere.

4 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/ Proposition 7 :Une propri´et´e calculatoire utile :?x?R?n?Z:?x+n?=?x?+n Preuve 7 :Il suffit d"encadrerx+npar deux entiers... ou d"exprimerxsous la formex=?x?+r.

Exemple 4.(?) D´eterminer le nombre de chiffres que comporte l"´ecriture d´ecimale d"un entiern?N?.

Proposition 8 :Pi`eges dans les calculs :

La fonction "Partie enti`ere" n"est pas lin´eaire!!

Ainsi, en g´en´eral :

1.?x+y? ?=?x?+?y?2.?n.x? ?=n?x?(n?Z)

Preuve 8 :Trouvez des contres-exemples!!

Graphe de la fonction Partie Enti`ere

Exercice : 5

(?) Soitx?Retn?N?. Prouver par deux m´ethodes diff´erentes que :??nx? n?=?x?.

Exercice : 6

(?) Etudier la continuit´e de la fonctionfd´efinie surRparf(x) =?x?+ (x- ?x?)2.

Corollaire 9 :Rest archim´edien

Siαest un r´eel strictement positif, alors : Preuve 9 :Par ´equivalences successives on obtient :k=?xα?.

Rest archim´edien

Remarque10.Ce r´esultat s"´ecrit aussi de la fa¸con suivante : 5 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/ Corollaire 10 :Valeurs d´ecimales approch´ees

Soit un r´eelx, et un entier natureln≥1.

Alors, il existe un unique entier relatifptel que :

On dit que :

1.p.10-nestune valeur d´ecimale approch´ee dexpar d´efaut`a la pr´ecision 10-n.

2. (p+ 1).10-nestune valeur d´ecimale approch´ee dexpar exc`es`a la pr´ecision 10-n.

Preuve 10 :C"est une application imm´ediate du fait queRest archim´edien en prenantα=110n.

Exemple 5.

3.14159 est une valeur d´ecimale approch´ee par d´efaut deπ`a la pr´ecision 10-5

3.14160 est une valeur d´ecimale approch´ee par exc`es deπ`a la pr´ecision 10-5

Exercice : 7

(??) Soitp?N?. D´eterminer une formule donnant lap`eme d´ecimale d"un nombre r´eelx.

4 Densit´e

D´efinition 5 :Densit´e

SoitAune partie deR.

On dit que la partieAest dense dansRlorsque?(x1, x2)?R2avecx1?=x2,A∩]x1, x2[?=∅

Cela signifie qu"entre 2 ´el´ements quelconques deR, on pourra toujours trouver un ´el´ement deA.

Remarque11.En fait, cette d´efinition implique qu"entre deux r´eelsx1etx2quelconques distincts, il existe une infinit´e

d"´el´ements distincts deA.

Adense dansR

Proposition 11 :Caract´erisation parε(de la densit´e)

SoitA?R.

Cela signifie que l"on peut trouver un ´el´ement deAaussi proche que l"on veut de n"importe quel r´eelx.

Preuve 11 :Pas de difficult´e.

Caract´erisation de la densit´e deAdansRparε

Exemple 6.

6 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/

1.Zn"est pas dense dansR

2. Si Δ est une partie deRde cardinal fini,R\Δ est dense dansR

Proposition 12 :Caract´erisation s´equentielle (de la densit´e)

SoitA?R.

Aest dense dansR?? ?x?R,il existe une suite (an) d"´el´ements deAtelle que (an)→x Preuve 12 :Pas de difficult´e en prenant pour toutn?N?,ε=1n Caract´erisation de la densit´e deAdansRpar les suites

Remarque12.Important!

On peut adapter la d´emonstrationpr´ec´edentepour prouver que l"on peut choisir (an)?major´ee parx

croissanteou?minor´ee parx d´ecroissante.

Exemple 7.(?) Montrer que si?A?B?R

Adense dansRalorsBest aussi dense dansR.

Th´eor`eme Fondamental 13 :Qest dense dansR

Preuve 13 :Avec la caract´erisation s´equentielle : Pour toutx?R, on peut par exemple, introduire la suite (xn)?QNd´efinie par :xn=?10nx? 10n.

Remarque13.Comme le montre la d´emonstration pr´ec´edente, l"ensemble des nombres d´ecimaux relatifs est lui-aussi

dense dansR Exemple 8.(?) Trouver s"ils existent, les inf, sup ainsi que les max, min de :E={sinx|x?Q}.

Th´eor`eme 14 :R\Qest dense dansR

Preuve 14 :Utilisons la d´efinition de la densit´e.

Lorsque (x, y)?Q2, on prouve quez=x+ (y-x).⎷

2

2est un irrationnel de [x, y].

Sauriez-vous d´emontrer le r´esultat `a l"aide de la caract´erisation s´equentielle?

Remarque14.On peut r´esumer les 2 th´eor`emes pr´ec´edents en disant qu"entre deux r´eels distincts on pourra toujours

trouver un rationnel et un irrationnel.

Exemple 9.(?)

1. D´eterminer les applications croissantes deRdansRv´erifiant?r?Q,f(r) =r.

2. D´eterminer les applications continues deRdansRv´erifiant?r?Q,f(r) =r.

Exercice : 8

(? ? ?) On souhaite d´emontrer que l"ensembleZ+πZ={a+bπ|(a, b)?Z2}est dense dansR.

1. D´emontrer que l"application?:n?Z?→n.π- ?nπ?(la partie fractionnaire denπ) est injective.

7 Cours MPSI-2017/2018 Les nombres r´eels http://pascal.delahaye1.free.fr/

2. On noteF={?(n), n?Z}

(a) Montrer queFest de cardinal infini. (c) En d´eduire queZ+πZest dense dans [0,1]. Vous pourrez pour cela utiliser le caract`ere archim´edien deRavecα=|f1-f2|

3. En d´eduire queZ+πZest dense dansR.

5 Connaissez-vous votre cours?

Vous devez imp´erativement savoir r´epondre aux diff´erentes questions suivantes :

QuestionsR´eponses attendues

1.Connaissez-vous les notions deminorantetmajorantd"une partie deR?Cf cours

Connaissez-vous les notions deplus petitetplus grand´el´ement d"une partie deR? Connaissez-vous les notions deborne inf´erieureetborne sup´erieured"une partie deR?

2.Donner s"ils existent des minorant, majorant, plus petit ´el´ement, plus grand ´el´ement,min, ppe et binf : 0

borne sup et borne inf de l"ensemble suivant : Δ ={1 +1n|n?Z?}.maj, pge et bsup : 2

3.Connaissez-vous le th´eor`eme d"existence de la borne sup? de la borne inf?cf cours

4.Comment caract´eriser avec?le fait quea= supA?cf cours

Comment caract´eriser s´equentiellement le fait quea= supA?

5.Comment prouver qu"une partie deZadmet un ´el´ement maximal?cf cours

12.Comment est d´efinie lapartie enti`ered"un r´eel? A quoi ressemble son graphe?cf cours

13.Encadrerx`a l"aide de sa partie enti`ere. Inversement?cf cours

14.A-t-on?x+y?=?x?+?y??Non en g´en´eral

Oui six?N

15.Que signifie la proposition "Rest archim´edien"? Illustration graphique?cf cours

16.D´efinir les notions de "valeurs approch´ees" `a l"aide de la partie enti`ere.cf cours

17.Donner la d´efinition et les deux caract´erisations de la densit´e.cf cours

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