[PDF] NOM : BARYCENTRES 1ère S BARYCENTRES. 1ère S. Exercice

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NOM : BARYCENTRES 1ère S

Exercice 1

ABCDest un quadrilatère etGest le barycentre de(A; 1),(B; 1),(C; 3)et(D; 3).

Construire le pointG. Expliquer.

IllustrationD. LE FUR 1/ 50

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Exercice 2

ABCest un triangle.

1)Gest le barycentre de(A; 1),(B; 2)et(C; 3). Construire le pointG. Expliquer.

2)G0est le barycentre de(A; 1),(B; 3)et(C;3). Construire le pointG0. Expliquer.

3)Démontrer que(AG0)est parallèle à(BC).

IllustrationD. LE FUR 2/ 50

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Exercice 3

Best le milieu de[AC].

Démontrer que le barycentre de(A; 1)et(C; 3)est confondu avec celui de(B; 2)et(C; 2).

IllustrationD. LE FUR 3/ 50

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Exercice 4

Dans le triangleABC,Eest le milieu de[AB]etGest le barycentre de(A;2),(B;2)et(C; 15).

Démontrer queG,CetEsont alignés.

IllustrationD. LE FUR 4/ 50

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Exercice 5

On considère un triangleABCet l"on désigne parGle barycentre de(A; 1),(B; 4)et(C;3).

1)Construire le barycentreIde(B; 4)et(C;3).

2)Montrer que!GA+!GI=!0.

En déduire la position deGsur(AI).

IllustrationD. LE FUR 5/ 50

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Exercice 6

ABCest un triangle. On noteGle barycentre de(A; 2),(B; 1)et(C; 1). Le but de cet exercice est de déterminer la position précise du pointG.

1)SoitIle milieu de[BC]. Montrer que!GB+!GC= 2!GI.

2)En déduire queGest le barycentre deAetImunis de coefficients que l"on précisera.

3)Conclure.

IllustrationD. LE FUR 6/ 50

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Exercice 7

Une balance est constituée d"une masseMet d"un plateau fixé aux extrémités d"une tige. Pour peser une masse

m, le vendeur place à une position précise un crochet sur la tige. Cette balance a l"avantage pour le commerçant

de ne pas manipuler plusieurs masses.

1)Pour chacun des cas suivants, où faut-il fixer le crochetGsur le segment[AB]pour réaliser l"équilibre?

(M= 2kg)On pourra reproduire ces schémas à l"échelle de son choix.

2)Le pointGest tel que!AG=23

!AB. Quelle est la massempesée? (M= 2kg)D. LE FUR 7/ 50

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Exercice 8

ABCDest un quadrilatère. On noteGson isobarycentre. Le but de cet exercice est de préciser la position deG.

1)On noteIle milieu de[AB]etJle milieu de[CD].

Montrer queGest le barycentre deIetJmunis de coefficients que l"on précisera.

2)Conclure et faire une figure.

IllustrationD. LE FUR 8/ 50

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Exercice 9

1)Placer dans un repère les pointsA(1 ; 2),B(3 ; 4)etC(2 ; 5).

SoitGle barycentre des points pondérés(A; 3),(B; 2)et(C;4).

2)Quelles sont les coordonnées deG? PlacerG.

3)La droite(BG)passe-t-elle par l"origine du repère? Justifier.

IllustrationD. LE FUR 9/ 50

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Exercice 10

Étant donné un triangleABCetkun rél non nul donné, on définit les pointsDetEpar les relations :

!AD=k!ABet!CE=k!CA.

1)Faire une figure illustrant ces données lorsquek=13

, puis lorsquek=1.

2)Démontrer queDest le barycentre de(A; 1k)et(B;k).

3)Démontrer queEest le barycentre de(C; 1k)et(A;k).

4)En déduire que pour tout pointMdu plan, on a :

MD+!ME=!MA+!MC+k!CB= 2!MB0+k!B0C0

oùB0etC0sont les milieux respectifs de[AC]et[AB].

5)SoitIle milieu de[DE]. Déduire de la question précédente queI,B0etC0sont alignés.

IllustrationD. LE FUR 10/ 50

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Exercice 11

ABCest un triangle. SoitGle barycentre de(A; 1),(B; 3)et(C;3). Démontrer que les droites(AG)et(BC)sont parallèles.

IllustrationD. LE FUR 11/ 50

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Exercice 12

ABCest un triangle. On considère le barycentreA0de(B; 2)et(C;3), le barycentreB0de(A; 5)et(C;3) et le barycentreC0de(A; 5)et(B; 2). Démontrer que les droites(AA0),(BB0)et(CC0)sont concourantes. Indication : on pourra considérer le barycentreGde(A; 5),(B; 2)et(C;3).

IllustrationD. LE FUR 12/ 50

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Exercice 13

ABCest un triangle de centre de gravitéG. On noteI,J,M,N,RetSles points définis par :!AI=13 !AB;!AJ=23 !AB; AM=13 !AC;!AN=23 !AC; BR=13 !BC;!BS=23 !BC. Démontrer que les droites(IS),(MR)et(NJ)sont concourantes enG.

IllustrationD. LE FUR 13/ 50

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Exercice 14

SoitABCun triangle équilatéral de côté3cm.

1)Placer, en justifiant, le barycentreZde(A; 1),(B; 3)et(C;3).

2)Montrer que les droites(AZ)et(BC)sont parallèles.

IllustrationD. LE FUR 14/ 50

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Exercice 15

SoitABCun triangle isocèle enAtel queBC= 8cmetBA= 5cm. SoitIle milieu de[BC].

1)Placer le pointFtel que!BF=13

!BAet montrer queFest le barycentre des pointsAetBpondérés par des réels que l"on déterminera.

2)Pétant un point du plan, réduire chacune des sommes suivantes :

12 !PB+12 !PC; !PA+ 2!PB; 2 !PB2!PA.

3)Déterminer et représenter l"ensemble des pointsMdu plan vérifiant :

12 !MB+12 !MC !MA+ 2!MB

4)Déterminer et représenter l"ensemble des pointsMdu plan vérifiant :

!NB+!NC

2!NB2!NA

IllustrationD. LE FUR 15/ 50

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Exercice 16

SoitABCun triangle.Yest le milieu de[BC].

1)Placer, en justifiant, le barycentreUde(A; 4)et(C; 1)puis placer le barycentreEde(A; 4)et(B; 1).

2)SoitGle barycentre de(A; 4),(B; 1)et(C; 1). Montrer queGest aussi barycentre de(E; 5)et(C; 1).

3)Démontrer que les droites(EC),(AY)et(BU)sont concourantes.

IllustrationD. LE FUR 16/ 50

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Exercice 17

Dans un repère(O;!i ;!j), placer les pointsA(2 ; 1),B(1 ; 5),C(5 ; 7)etG(1 ;52

1)Déterminer les coordonnés de l"isobarycentreIdes pointsBetC.

2)Déterminer les coordonnées du centre de gravitéHdu triangleABC.

3)Existe-t-il un réelktel queGsoit barycentre de(A; 1)et(B;k)? Justifier.

IllustrationD. LE FUR 17/ 50

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Exercice 18

SoitABCun triangle etGun point vérifiant :

!AB4!GA2!GB3!GC=!0: Le pointGest-il le barycentre des points pondérés(A; 5),(B; 1)et(C; 3)? Justifier.

IllustrationD. LE FUR 18/ 50

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Exercice 19

SoientAetBdeux points distincts etGle barycentre de(A;),(B;)avec+6= 0.

Démontrer l"équivalence :

G2[AB]()etsont de mêmes signes.

IllustrationD. LE FUR 19/ 50

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Exercice 20

SoitABCDun carré etKle barycentre des points pondérés(A; 2),(B;1),(C; 2)et(D; 1). On noteIle barycentre des points pondérés(A; 2)et(B;1), etJcelui de(C; 2)et(D; 1).

1)PlacerIetJen justifiant.

2)Réduire l"écriture des vecteurs suivants :

2!KA!KBet2!KC+!KD.

En déduire queKest le barycentre de(I; 1)et(J; 3).

3)PlacerKen justifiant.

IllustrationD. LE FUR 20/ 50

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Exercice 21

On considère un segment[AB]de médiatrice(d). SoientCetDdeux points de(d)etGl"isobarycentre deA,B,CetD.

Démontrer queGest sur(d).

IllustrationD. LE FUR 21/ 50

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Exercice 22

A B Cquotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

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