[PDF] [PDF] Résumé de cours et méthodes 1 Barycentre de deux points 2

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Barycentres : Résumé de cours et méthodes On appelle point pondéré tout couple(A,a)oùAest un point etaun réel.

1Barycentre de deux points

DÉFINITIONSia+b?=0, le barycentre des points pondérés(A,a)(B,b)est le pointGtel quea-→GA+b-→GB=-→0 .PROPRIÉTÉ

Sia+b?=0,Gbarycentre de(A,a)(B,b)?-→AG=ba+b-→ABCette propriété est utilisée pour construire graphiquement le barycentre de deux points.

Exemples :AetBsont deux points distants de 3 cm.

G

1barycentre de(A,1)(B,2)?--→AG1=21+2-→AB=23

-→AB. G

2barycentre de(A,4)(B,-1)?--→AG2=-14+(-1)-→AB=-13

-→AB.AB G G12Remarque :SiA?=B, les pointsA,BetGsont alignés.

PROPRIÉTÉSia+b?=0, le barycentre du système(A,ka)(B,kb)(aveck?=0) est le même que celui du système(A,a)(B,b).Exemple :le barycentre de(A,4)(B,-2)est le barycentre de(A,2)(B,-1).

PROPRIÉTÉSia+b?=0, les coordonnées du barycentre de(A,a)(B,b)dans un repère sont telles que :

x

G=axA+bxBa+betyG=ayA+byBa+bDÉFINITION

On appelleisobarycentrede deux pointsAetB, le barycentre de ces deux points pondérés par un même coefficient. Il s"agit en

fait dumilieudu segment[AB].Exemple :on peut affirmer sans calculs que le barycentre du système(A,-3)(B,-3)est le milieu de[AB].

2Barycentre de trois points

DÉFINITIONSia+b+c?=0, le barycentre des points pondérés(A,a)(B,b)(C,c)est le pointGtel quea-→GA+b-→GB+c-→GC=-→0 .PROPRIÉTÉ

Sia+b+c?=0, le barycentre du système(A,ka)(B,kb)(C,kc)(aveck?=0) est le même que celui du système(A,a)(B,b)(C,c).Exemple :le barycentre de(A,-3)(B,-6)(C,-12)est le barycentre de(A,1)(B,2)(C,4).

PROPRIÉTÉSia+b+c?=0, les coordonnées du barycentre de(A,a)(B,b)(C,c)dans un repère sont telles que :

x G=axA+bxB+cxCa+b+cetyG=ayA+byB+cyCa+b+c1S - Barycentres c?P.Brachet -www.xm1math.net1

DÉFINITION

On appelleisobarycentrede trois pointsA,BetC, le barycentre de ces trois points pondérés par un même coefficient. Il s"agit en

fait ducentre de gravitédu triangleABC(si les trois points sont distincts).3Théorème du barycentre partiel - construction du barycentre de trois points

PROPRIÉTÉEtant donné trois pointsA,B,Cet trois réelsa,betctels quea+b+c?=0 etb+c?=0.

Si on noteG1, le barycentre de(B,b)(C,c)alors le barycentreGde(A,a)(B,b)(C,c)est aussi le barycentre de(A,a)(G1,b+c).

G=barycentre(A,a) (B,b)(C,c)????

G=barycentre(A,a)(G1,b+c)

On peut donc "remplacer» deux points pondérés d"un système par leur barycentre (dit "partiel») affecté de la somme de leurs

coefficientsApplication à la construction du barycentre de trois points : D"après le principe ci-dessus, cela revient à construire deux barycentres de deux points. Exemple :On cherche à construireG, le barycentre de(A,1)(B,2)(C,4)sur la figure ci-dessous :BAC

figure de base1) On construitG1, le barycentre partiel de(B,2)(C,4). D"après la formule de construction du barycentre de deux points, on a

--→BG1=44+2-→BC=23 -→BC.BAC barycentre partiel construction duEtape 1 : G

12) D"après la propriété du barycentre partiel, on peut "remplacer» dans le système(B,2)(C,4)par(G1,2+4). Donc,Gest en fait

le barycentre de(A,1)(G1,6). D"après la formule de construction du barycentre de deux points, on a-→AG=61+6--→AG1=67

--→AG1.BAC G

1Etape 2 :

construction du barycentre du système initial GRemarque :ce principe s"applique aussi aux barycentres de quatre points pondérés.

Exemple : pour construireG, le barycentre de(A,1)(B,2)(C,-1)(D,4), on peut commencer par déterminerG1, le barycentre

partiel de(A,1)(B,2)etG2, le barycentre partiel de(C,-1)(D,4).

On a donc

--→AG1=23 -→ABet--→CG2=43 -→CD.

En "remplacant» dans le système(A,1)(B,2)par(G1,1+2)et(C,-1)(D,4)par(G2,-1+4), on en déduit queGest aussi le

barycentre de(G1,3)(G2,3)(c"est à dire le milieu de[G1G2].2 c?P.Brachet -www.xm1math.net1S - Barycentres AB C DG 1 G

2G4Réduction de sommes vectorielles à l"aide de barycentres

Un des principaux intérêts des barycentres est de les utiliser pour réduire des sommes de vecteurs grâce à la propriété suivante :

PROPRIÉTÉ•Sia+b?=0 alors pour tout pointM,a-→MA+b-→MB= (a+b)--→MGoùGest le barycentre de(A,a)(B,b).•Sia+b+c?=0 alors pour tout pointM,a-→MA+b-→MB+c-→MC= (a+b+c)--→MGoùGest le barycentre de(A,a)(B,b)(C,c).Exemple :

Si on veut réduire la somme 2-→MA-3-→MB+6-→MC, on introduitGle barycentre de(A,2)(B,-3)(C,6).

On a alors, 2-→MA-3-→MB+6-→MC= (2-3+6)--→MG=5--→MG.

Remarque :Si la somme des coefficients est nulle, on ne peut plus utiliser un barycentre. Mais en utilisant la relation de Chasles,

on peut montrer que la somme de vecteurs est en fait indépendante du pointM. Exemple : 3-→MA-5-→MB+2-→MC=3-→MA-5?-→MA+-→AB? +2?-→MA+-→AC? =-5-→AB+2-→AC

5Recherche de lieux géométriques

En utilisant les réductions de sommes vectorielles vues au paragraphe précédent, on peut facilement en déduire la nature de cer-

tains lieux géométriques. Exemple :ABCest un triangle dans le plan muni d"un repère orthonormé d"unité 1 cm. a)Déterminons l"ensembleE1des pointsMtels que?-→MB+2-→MC?=6cm.

Pour réduire la somme vectorielle, on pense à utiliserG1, le barycentre de(B,1)(C,2)(que l"on construit avec--→BG1=22+1-→BC=

23
-→BC). Alors, pour tout pointM,-→MB+2-→MC= (1+2)--→MG1=3--→MG1.quotesdbs_dbs2.pdfusesText_2

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