[PDF] Algèbre et Géométrie 1 Barycentres

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Master1MEEF2019-2020

AlgèbreetGéométrie1

Feuilled'exercicesdegéo métrien

3

Barycentres

Révisions

1)Donnerladéfinition dubarycentredenpointspondérés.Qu 'est-cequ'unisobarycentre?

2)Rappeleretdémontrerlap ropriét éd'associativitédubarycentre.

3)Commentcaractériserun edroite(respectivementunsegmen t)àl'aided esbarycentres?

4)Qu'appelle-t-onpartieconvexeduplan( respectiv ementdel'espace)?

Exercicen

1

1)Montrerquelestroismé dianesd'u ntriangleson tconcourantesen lecentredegravitédutr iangle.

2)SoientEunespac eanededi mensi on3,etABCDuntétr aèdredeE.Mon trerquelesdroitesjoi gnant

lesmilie uxdescôtésopposésdutétraè dresontcon courantes.

3)(BACS-2011) Danscetteq uestion,ABCDestuntétr aèdreré gulier.A

estlecent redegra vitédu triangleBCD.Soi tGl'isobarycentredespointsA,B,CetD.On souhait edémontrerlapropriét é (P):Lesmédi anesd'untétraèdreréguli ersontconcour antesenG. Enutil isantl'associativitédubaryc entre,montrerqueGappartientàladroite(AA ),pui sconclure.

Exercicen

2 (Capes2006-Épreu vesurdossier)

SoitABCuntrian gleduplan.

Lespoint sA

,B etC sontrespec tivementdéfinispar ≠≠ae AC 1 3 ≠≠ae AB, ≠≠ae BA 1 3 ≠≠ae BCet ≠≠ae CB 1 3 ≠ae CA.

Lesdroi tes(AA

)et(BB )secoup entenunpointK,les droites(BB )et(CC )secoupe ntenunpointIetles droites(AA )et(CC )enunp ointJ.

1)ÉcrirelespointsA

,B etC commebarycentr esdes pointsA,BetC.

2)MontrerquelepointIestbarycen trede(A,2),(B,1)

et(C,4).

3)Définirdemêmelespoin tsJetKcommebarycent res

deA,BetC.

4)Montrerquelespoints I,JetKsontrespec tivement

lesmilieuxde [CJ],[AK]et[BI]. A C B B I J K A C

Exercicen

3

Onsepl acedans unespacea

neeucl idienA.Soi entnoeN 1 n )oeR n et(A 1 ,···,A n )oeA n .On n i=1 i MA i 2 1

1)Onsup pose

n i=1 i =0.Mon trerqu'ilexisteunv ecteur ≠ae vde ≠ae

A,telque

'(M,M )oeA 2 ,F(M )=F(M)+2< ≠≠≠ae MM ≠ae v>( ≠ae vindépendantdeMetM PourkoeR,en dédui relanaturedel'ensemble despoi ntsMdeAtelsqueMA 1 2 ≠MA 2 2 =k.(On prendragardeauxcaspa rticuliers.)

2)Onsup poseàprésentque

n i=1 i "=0.Mon trerqueF(M)=F(G)+ A n i=1 i B MG 2 oùGestlebary centre dusys tème{(A 1 1 ),···,(A n n Endéd uire,pourkoeR,la nature del'ensembledes pointsMdeAtelsqueMA 1 2 +MA 2 2 =k.

Exercicen

4 SoientABCuntrian gleetCsoncer cleinscrit.OnnoteD,EetFlespointsd econtactrespecti fs deCaveclesdroit es(BC),(CA)et(AB).Mon trerquelesdroites(AD),(BE)et(CF)sontconcou- rantesenunpointapp elépointdeGergonne dutrian gleABC.(Onpourr aintroduirelebaryc entrede {(A, 1 AE ),(B, 1 BF ),(C, 1 CD

Exercicen

5 Surlafigur eci-con tre,ABCDestuntétr aèdreet I,J, K,Lsontlesmi lieuxresp ectifsdessegments[BC],[BD], [AD],[AC].

1)Soient(x,y)oeR

2 etMunpoint del'espace.

MontrerquelepointMestlebaryc entred usystème

{(A,x),(B,1≠x),(C,1≠y),(D,y)}sietse ulemen tsion a2 ≠≠ae IM=x ≠≠ae BA+y ≠≠ae CD.

2)Montrerquel'ensembl edesmili euxMdessegment s

[PQ]oùPdécritlesegment[AB]etQlesegme nt[CD] estl'ens embledespointsMtelsque ≠≠ae IM=x ≠ae IL+y ≠ae

IJoù

xetydécrivent[0,1]. Décriregéométriquementc etensembledepoints. A C I B D L K J

Exercicen

6(CAPES2009-Deuxième comp osi tion)

Ondit qu'unepart ieduplanPestconvexesipourt outcouple(A,B)depoin tsde,le segmen t[AB] estconten udans:c' estàdire,ennotan taetblesaxesrespec tivesdespointsAetB,s ipourtou t ⁄oe[0,1],le pointM d'a xe⁄a+(1≠⁄)bappartientà.(Enparti culier,l'ensemblevideestconvexe).

1)SoitPunepartie dePetEl'ensembledespartiesdePquisontconv exesetqui contiennentP.On

poseE(P)= u oeE .Mon trerqueE(P)estlaplus petite (ausensdel'i nclusion)partieconvex econte nant P.Ce ttepartieE(P)estappelée l'enveloppeconvexedeP.

2)SoitPunepartie nonvidedePetnotons Bl'ensembledesbarycentresdefamil lesfiniesd epointsde

Paectésdecoecientspositifs.Mont rerqueE(P)=B.

Exercicen

7(D'aprèsla2

ème

épreuvede2000)

Étantdonnésquat repointsnoncoplanai resA,B,C,Dd'unes pacea neEdedime nsion3,onappelle

tétraèdredesomme tsA,B,C,Dl'envelopp econ vexeTdecesq uatrepoints c'estàdirel'in tersectionde

touteslespartiesc onvexesde EcontenantA,B,C,D.

1)MontrerqueTn'estautrequel' ensembledesb arycentre sdecesquatrepointsaectésdemassesposi tives

ounu lles.

2)Unpoi ntXdeTestd itextrémalsipourt ouspointsYetZdeTona:

(Xoe[YZ]=∆X=YouX=Z).Mon trerquelespointsex trémauxd'u ntétraèdr esontsessommets.

D'unemanièregén érale,onpeutmontrerquel 'enveloppeconvexed' unepar tiefinied eEestégale à

l'enveloppeconvexedesespoints extrémaux. 2quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

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