[PDF] BARYCENTRE - AlloSchool les coordonnées du point .

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KF I) ACTIVITES Activité 1 : Sur une barre rigide de poids négligeable et de longueur on considère deux boules métalliques de -- en et de - en . un point sur la barre. Déterminer la position de sachant que le système et e équilibre. Activité 2 : Soit un triangle rectangle en et -. 1- Montrer uil eiste un et un seul point tel que : - -- 2- Tracer le point . 3- Si le plan est rapporté au repère où est milieu de , quels seront les coordonnées du point . Activité 3 : Soit une famille de 4 points, et 4 réels dont la somme est non nulle. Montrer ue lapplication : est une bijection. Lapplication sappelle lapplication de Leibniz (Wilhelm Leibniz 1646-1716) II) DEFINITIONS ET PROPRIETES : 1) Vocabulaires Définitions : Soit un point et un réel non nul ; le couple sappelle un point pondéré. Plusieurs points pondérés constituent un système pondéré 2) Barycentre de deux points pondérés. 2.1 Définitions. Propriété : Soit un système pondéré, tel que - lapplication est une bijection. Il existe un et un seul point qui vérifie - A B M

Lycée Oued Eddahab 1Bac SM F A.KARMIM 2 Preuve : est lapplication de Leibniz pour deu points Définition : Soit un système pondéré, tel que - ; le barycentre du système pondéré est le point qui vérifie : -. On écrit : 2.2 Propriétés de barycentre de deux points pondérés. Soit un système pondéré, tel que - et On a donc - et par suite : pour tout réel non nul on a : - et donc . Propriété : Le barycentre dun systme pondéré de deux points ne varie pas si on multiplie les poids par le même réel non nul Si le barycentre du système pondéré sappelle lisobarycentre de et ui nest ue la milieu du segment . Construction : Construire - Soit un système pondéré, tel que - et On a donc : - par suite : - où est un pont quelconque dans le plan do : - on conclut que : . (car - ) Propriété : Soit un système pondéré, tel que - et . Pour tout point du plan on a : . Cette proprit sappelle la propriété caractéristique du barycentre. Propriété : Si alors les points sont alignés. Preuve : Il suffit dutiliser la proprit prcdente en posant dans la propriété ; On aura Do les ecteurs et sont colinéaires et par suite : les points sont alignés.

Lycée Oued Eddahab 1Bac SM F A.KARMIM 3 Propriété : Le plan et rapporté à un repère , Soient et et on a : Preuve : Il suffit dutiliser la proprit caractristiue du barycentre. Exercice : Considérons les applications et - définies sur soient et leurs courbes respectives dans un repère orthonormé. Pour tout dans , on pose le point de daffie et le point daffie de . 1- Déterminer les coordonnées du point isobarycentre de et . 2- Dterminer et tracer lensemble dans lequel varie quand varie dans . 3) Barycentre de trois points pondérés 3.1 Définition Propriété : Soit un système pondéré, tel que - lapplication : est une bijection. Il existe un et un seul point qui vérifie - c est à dire : - Preuve : est lapplication de Leibniz pour trois points Propriété : Soit un système pondéré, tel que - et On a pour tout point du plan : Preuve : Même démonstration que dans le cas précèdent. Propriété : Le plan et rapporté à un repère , Soient ; et on a : Propriété : Le barycentre dun systme pondr de trois points ne arie pas si on multiplie les poids par le mme nombre non nul : pour - Exercice : Soit où - et

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Montrer que Propriété : Si avec - et Alors : Remarque : La proprit dassociatiit nous permet de construire le barycentre de trois points pondérés. Application : Construire le barycentre du système pondéré - Cas particulier Si les poids sont égaux le barycentre de sappelle le centre de gravité du triangle . Exercice 1 : Soit un triangle. Pour tout point on pose - - 1- Rduire lcriture de . 2- Montrer que le vecteur est constant. 3- Dterminer lensemble des points tel que les vecteurs et soient colinéaires. Exercice 2 : Déterminer les ensembles suivants : - - - - - Exercice 3 : Le solide est constitu dun disue dont on a enlevé le disque est le disque de centre et de rayon - est le disque de centre et de rayon Déterminer et tracer le centre de gravité du solide. 5) Barycentre de quatre points pondérés 3.1 Définition Propriété : Soit un système pondéré, tel que - lapplication : est une bijection. Il existe un et un seul point qui vérifie - Preuve : est lapplication de Leibniz pour uatre points

Lycée Oued Eddahab 1Bac SM F A.KARMIM 5 Propriété : Soit un système pondéré, tel que - et On a pour tout point du plan : où Preuve : Même démonstration que dans les cas précédents. Propriété : Le plan et rapporté à un repère , Soient ; ; et et on a : Où Propriété : Le barycentre dun systme pondr de quatre points ne varie pas si on multiplie les poids par le même nombre non nul : pour - Exercice : Soit où - et - Si et Montrer que : Propriété : Si avec - et - Si et Alors Remarque : La proprit dassociatiit nous permet de construire le barycentre de quatre points pondérés. Application : un rectangle tel que : - Construire le barycentre du système pondéré - Cas particulier Si les poids sont égaux le barycentre de sappelle le centre de gravité du quadrilatère Exercice : Déterminer des poids pour les points pour que dans le figure ci-dessous

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