[PDF] ) ( ) (AB) ( ) Cours : Barycentre. 1. - Centre de

View - Download ) ( ) (AB) ( )

Previous PDF

Next PDF

I) Rappels- Les vecteurs

I-1) Généralités :

* A tout couple de points (A,B) dans un plan, est associé un vecteur AB. Soit uun représentant de AB, alors ABu. Lorsque BA,alors 0u. * La norme du vecteurAB est la longueur AB. Elle est notée par ABAB.

On admet que :

2 2 2

ABABAB

* Deux vecteurs non nuls sont égaux, lorsqu'ils ont même sens même direction et même longueur. * Soient A,B,C et D quatre points non alignés, alors : DCAB équivaut à ABCD est un parallélogramme. * Addition de deux vecteurs :

1) La relation de Chasles : 2) La règle du parallélogramme :

ACBCAB ADACAB - Les vecteurs AB et BA sont opposés et on a ABBA. * Multiplication d'un vecteur par un réel. Soit k un réel donné. Les vecteur AB et ABk n'ont même sens que si k est strictement positif et sont de sens opposé que si k est strictement négatif.

ABkABk

Règles de calculs

Soit u et v deux vecteurs et k et k' deux réels, alors les propriétés suivantes sont vérifiées :

vkukvuk ukkukk ukuk ukk

0uk0k ou 0u

* Vecteurs colinéaires - Dire que deux vecteurs non nuls ABetCD sont colinéaires, signifie qu'ils ont la même direction (en d'autres termes, et ABCDsont parallèles). - Deux vecteurs non nuls ABetCD sont colinéaires, signifie qu'il existe un réel non nul k tel que CDkAB - Par convention, le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs.

- Dire que trois points distincts A, B et C sont alignés équivaut à dire qu'il existe un réel k tel

que ACkAB.

- Dire que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles signifie qu'il existe un réel non nul k tel

que CDkAB. - Milieu d'un segment [AB]

Le milieu M d'un segment [AB] est tel que 0MBMA.

hosseini@maths-stan.fr Cours : Barycentre 1 - Centre de gravit d'un triangle ABC est un point tel que :0GCGBGA

Les vecteurs vus analytiquement

Soit M(x ;y) les coordonnées d'un point M dans le repère jiO;;, alors on peut dire que jyixOM, dans ce cas le vecteur OMa pour coordonnées yxOM; donc les coordonnées d'un vecteur utel que OMu sont données par yxu;. Propriétés : Dans un repère jiO;;, les vecteurs u et vsont de coordonnées respectives yxu; et yxv;, alors : * vu équivaut à xx et yy. * Les coordonnées de uksont kykx; * Les coordonnées de vu sont yyxx,.

Colinéarité de deux vecteurs :

Définition : Deux vecteurs yxu; et yxv; sont colinéaires si et seulement si : 0yxyx Le nombre est appelé le déterminant de yxyxu et vdans la baseji; .

Équation de droites

Dans un plan muni d'un repère jiO;; :

* Toute droite d a une équation cartésienne de la forme 0cbyax où a, b et c sont des réels tels que , , et le vecteur 0a0babu; est un vecteur directeur de d. Remarque : les autres vecteurs directeurs de d sont de la forme : kakbu; où kӇъ. * Toute droite non parallèle à l'axe des ordonnées a pour équation réduite : pmxy

où m et p sont respectivement le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine de la droite.

Remarque : Deux droites d'équations cartésiennes 0cbyax et 0cybxa sont parallèles si et seulement si 0baba. Avec les équations réduites : deux droites d et d' d'équations respectives : pmxyet hosseini@maths-stan.fr Cours : Barycentre 2 pxmy sont parallèles si et seulement si 'mm.

II- Barycentre

Problème : Imaginez une balance avec les deux bras de longueurs inégales, accomp agnée d'un point d'application (le centre de gravit pour le poids). L'un des plateaux comporte trois objets dont le poids total est 6 Kg . Le problème consiste à trouver le poids nécessaire dans l'autre plateau pour que la balance retrouve son équilibre.

II-1) Barycentre de deux points

Existence et unicité

Théorème 1 : Soient A et B deux points du plan, et , deux nombres réels donnés. Lorsque 0, il existe un point unique G tel que : 0GBGA.

Démonstration :

Remarque : Dans notre problème, les masses associées aux deux plateaux sont les nombres positifs et , mais mathématiquement, ces nombres peuvent être positifs ou négatifs.

Définition 1: Le point G, cité précédemment est appelé le barycentre des points pondérés

,A, ,B. Donc, dire que G est le barycentre de ,A, ,B équivaut à dire:

0 et 0GBGA

Remarque : - On peut parler aussi de G comme barycentre du système ,,,BA - Si 0 alors le barycentre n'existe pas.

Résolution du problème : Appelons A et B les points associés aux extrémités de notre balance

et G le point d'application de la balance, alors le point G sera associé à un état d'équilibre si

et seulement si 06GBxGA. Or, 02040GBGA ou encore GAGB2

D'après le principe des leviers : Des poids inégaux s'équilibreront à des distances inégales, et

le plus grand sera situé à la plus petite distance. C'est le principe de la balance dite romaine.

hosseini@maths-stan.fr Cours : Barycentre D'où 026GAxGA026GAx. Or, G et A sont deux points distincts donc 026x
3 ou encore . Donc le poids nécessaire sur l'autre plateau est de 3 Kg. 3x II-2) Position du barycentre de deux points pondérés Théorème 2: Le barycentre G des points pondérés ,A, ,B est un point G tel que ABAG . Donc, lorsqueBA, G appartient à la droite (AB).

Démonstration :

Remarque : Si et sont de même signe, alors G appartient au segment , si non G sera AB placé sur (AB) en dehors du segment AB. Exercice 1 : 1) Soient A et B sont deux points du plan. Placez le point R tel que RBRA5.

2) S est le point tel que ABAS

5 4 . Démontrer que S est le barycentre de , . 1,A4,B

Solution :

II-3) Homogénéité du barycentre de deux points pondérés Théorème 3: Le barycentre G de deux points pondérés ,A, ,B ne change pas lorsqu'on remplace les deux coefficients par des coefficients proportionnels kA,, kB,, kӇъ* .

Démonstration :

hosseini@maths-stan.fr Cours : Barycentre 4 II-4) L'isobarycentre de deux points pondérés Définition : Lorsque G est le barycentre de deux points pondérés ,A, ,B, alors G est appelé l'isobarycentre de A et B. D'après le théorème de l'homogénéité, G est aussi le barycentre de 1,A, , donc 1,B

0GBGA, cela prouve que lorsque BA, l'isobarycentre G de deux points A et B est le

milieu du segment . AB

II-5) Réduction deMBMA, lorsque 0

Théorème 4: Soit G le barycentre de deux points pondérés ,A, ,B. Alors, pour tout point M du plan , MGMBMA.

Démonstration :

Remarque : Le point M peut être n'importe quel point du plan, en particulier le point A ou B.

Si M=A, alors

AGABAA

0 et on retrouve : ABAG Remarque : De A et B, le point le plus près du barycentre est celui dont le coefficient a la plus grande valeur absolue. II- 6) Coordonnées du barycentre de deux points pondérés Dans le plan rapporté à un repère jiO;; , considérons les points AA yxA;, et BB yxB; GG yxG; o est le barycentre de ,A, ,B. Si on pose dans MGMBMA

M=O (origine du repère), on obtient OBOAOG

. En passant aux coordonnées , 000 000 BAG BAG

OBOAOG

OBOAOG

yyy xxx yyyyyy xxxxxx hosseini@maths-stan.fr Cours : Barycentre 5

On obtient alors :

BA G xx x et BA G yy y

II- 7 ) Barycentre de trois points pondérés

La définition et les théorèmes précédents se généralisent sans difficulté au cas d'un système

de trois points pondérés ou encore de plusieurs points pondérés. Pour la suite, on se limite à

les énoncer, sans les démontrer car les démonstrations sont analogues au cas de deux points.

Théorème 5 : Soient A , B et C trois points du plan, , et trois nombres réels données. Lorsque 0, il existe un point G unique tel que : 0GCGBGA.

Définition 2: Le point G, cité précédemment est appelé le barycentre des points pondérés

,A, ,,,CB. Donc, dire que G est le barycentre de ,A, ,,,CB équivaut à :

0 et 0GCGBGA

II- 8) Position du barycentre de trois points pondérés Théorème 6: Le barycentre G des points pondérés ,A, ,,,CB est un point G tel que

ACABAG

Remarque : Lorsque A, B et C sont deux à deux distincts et non alignés, alors G est à l'intérieur

du tringle ABC si , et sont de même signe et à l'extérieur du tringle ABC si , et sont de signes contraires. II- 9) L'isobarycentre de trois points pondérés Lorsque G est le barycentre de trois points pondérés ,A, ,,,CB, alors G est appelé l'isobarycentre de A, B et C.

D'après le théorème de l'homogénéité, G est aussi le barycentre de 1,A, , donc 1,,1,CB

0GCGBGA, cela prouve que lorsque A, B et C sont deux à deux distincts et non

alignés, l'isobarycentre G de trois points A, B et C est le centre de gravité du triangle ABC.

II- 10 ) Réduction de MCMBMA, lorsque 0

Théorème 7: Soit G le barycentre de trois points pondérés ,A, ,,,CB. Alors, pour tout point M du plan , MGMCMBMA.

Remarque : Le point M peut être n'importe quel point du plan, en particulier le point A ou B ou C.

Si M=A, alors

AGACABAA

0 et on retrouve :

ACABAG

hosseini@maths-stan.fr Cours : Barycentre 6 II- 11) Coordonnées du barycentre de trois points pondérés Dans le plan rapporté à un repère jiO;;, considérons les points : AA yxA;,, et BB yxB; CC yxC; GG yxG; o est le barycentre de ,A, ,,,CB. Comme dans le cas de deux points pondérés, on obtient : CBA G xxx x et CBA G yyy y

II- 12) Barycentre partiel ou associativité

Théorème 8: Soit G le barycentre de trois points pondérés ,A, ,,,CB avec

0. Si 0, alors on peut considérer H le barycentre partiel des points

pondérés ,A, ,B, dans ce cas G est le barycentre de ,,,CH .

Démonstration :

Exercice 2: Considérons trois points pondérés 3,A, 3,,4,CB. En utilisant l'associativité des barycentres, construisez le point G, le barycentre du système précédent.

Solution :

hosseini@maths-stan.fr Cours : Barycentre 7

II- 13) Conservation du barycentre

Théorème 8:(admis) Soit f une transformation usuelle (comme translation, symétrie ou...) du plan et G le barycentre d'un système de points pondérés nn

AAAA,,,,,,,,

332211

avec 0 321
n alors Gf est le barycentre du système de points pondérés : nn

AfAfAfAf,,,,,,,,

332211

Exercice à faire à la maison

Exercice I-

1) Placer sur la figure suivante le point H barycentre de (A,2) et de (B,1), après avoir donné une

relation vectorielle vérifiée par ce point. F

2) D'après la figure précédente, écrire F comme barycentre des points C et D, avec des

coefficients que l'on précisera.

3) En déduire G comme barycentre des points A, B, C et D avec des coefficients que l'on

précisera.

Exercice II-

Soit ABC un triangle.

On appelle : D le barycentre de (B,2) et (C,4) ; E le barycentre de (C,4) et (A,1) ; F le barycentre de (B,2) et (A,1). D'autre part, G est le barycentre de (A,1), (B,2) et (C,4).

1) a) Construire sur une figure les points D, E et F, en justifiant la construction par une

relation vectorielle. b) Donner une relation vectorielle vérifiée par le point G et placer G sur la figure.

2) Démontrer que les droites (AD), (BE) et (CF) sont concourantes en G.

hosseini@maths-stan.fr Cours : Barycentre 8

Exercice III-

Soit ABC un triangle quelconque.

1) M est un point quelconque du plan.

a) Démontrer que le vecteur est un vecteur indépendant du point M choisi. 2uMAMBMC b) En déduire les égalités 22ABACBABCCACB c) On appelle B' le milieu du segment [AC].

Montrer que 22'MAMBMCBB

2) On considère le point G barycentre de (A,1), (B,-4) et (C,1).

Placer G sur la figure, en justifiant la construction.

3) On considère l'ensemble des points M du plan M du plan tels que :

42MAMBMCMAMBMC

a) Quelle est la nature de l'ensemble ? Construire cet ensemble sur la figure. b) Prouver que le point B est un point de .

4) Quel est l'ensemble des points M du plan tels que 4MAMBMCMAMC

Exercice IV-

ABCD est un quadrilatère quelconque du plan. G est le centre de gravité du triangle ABD et H le

centre de gravité du triangle BCD. On appelle K le milieu de [GH].

1) Faire un dessin.

2) Démontrer que K est le barycentre de (A,1), (B,2), (C,1) et (D,2).

3) Soit I le milieu de [AC] et J le milieu de [BD].

Démontrer que les points I, J et K sont alignés.

Exprimer le vecteur IK

en fonction du vecteurIJ

4) Soit E le centre de gravité du triangle ABC et F le centre de gravité du triangle DAC.

On appelle L, le milieu de [EF]. Démontrer que les points I , J , K et L sont alignés.

Exercice V-

On considère un triangle ABC du plan.

1)a) Déterminer et construire le point G barycentre du système {(A,1) ; (B,-1) ; (C,1)}.

b) Soit G' le barycentre du système {(A,1) ; (B,5) ; (C,-2)} . Exprimer ACet AB defonction en AG' . Construire le point G'

2)a) Soit J le milieu de [AB] . Exprimer ACet AB defonction en JG'et GG' et en déduire

l'intersection des droites (GG') et (AB) . b) Montrer que le barycentre I du système {(B,2) ; (C,-1)} appartient à (GG') .

3) a) Déterminer et tracer l'ensemble des points M tels que :

quotesdbs_dbs27.pdfusesText_33

[PDF] point pondéré barycentre

[PDF] fonctionnement de l'adsl pdf

[PDF] architecture adsl pdf

[PDF] dslam pdf

[PDF] base de données définition

[PDF] base de données relationnelle

[PDF] type de base de données

[PDF] exemple de base de données

[PDF] système de gestion de base de données

[PDF] data base

[PDF] les différents types de bases de données

[PDF] base de données pdf

[PDF] nature du solide

[PDF] nombre d'arête d'un cylindre

[PDF] base d'un solide définition