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Module 2

PAD - Exercices

January 2, 2009

Table des Matiµeres

1 Espaces euclidiens 1

3

1-1.1 Exercice 1a - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1-1.2 Exercice 2a. Orthogonalisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1-1.3 Exercice 3a - Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1-2.1 Exercice 1b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 8

1-2.3 Exercice 3b - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

1-3.1 Exercice 1c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 11

1-3.3 Exercice 3c - Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 15 15 19

2-1.3 Exercice 6a { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

2-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2-2.1 Exercice 4b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

2-2.2 Exercice 5b { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24
25

2-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26
26

2-3.2 Exercice 5c { Forme quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2-3.3 Exercice 6c { Diagonalisation des endomorphismes

27
31

3-1.1 Exercice 7a { Projection orthogonale . . . . . . . . . . . . . . . .

31
32

3-1.3 Exercice 9a { Polyn^omes de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . .

35
i iiTABLE DES MATIµERES

3-2 Exercices avec indications seulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

3-2.1 Exercice 7b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40
40
42

3-3 Devoir µa rendre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3-3.1 Exercice 7c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3-3.2 Exercice 8c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

3-3.3 Exercice 9c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Chapitre 2

13 2-1 2-1.1 1. f

1(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x1y3¡x3y1¡x2y3¡x3y2

f

2(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2

f

3(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+ 2x1y2+ 2x1y3+ 2x2y3

(a) deR3. (b) (c) (d) 2. A=0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A dans la base canonique deR3. (a) (b) En partant des vecteurs de la base canoniquefe1;e2;e3g, et en utilisant le f-orthogonale. 1. canonique deR3: f

1(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x1y3¡x3y1¡x2y3¡x3y2

¡x1x2x3¢0

@2¡1¡1

¡1 2¡1

¡1¡1 21

A0 @x 1 x 2 x 31
A f

2(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+x1y2+x2y1+x1y3+x3y1+x2y3+x3y2

¡x1x2x3¢0

@2 1 1 1 2 1

1 1 21

A0 @x 1 x 2 x 31
A f

3(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3+ 2x1y2+ 2x1y3+ 2x2y3

¡x1x2x3¢0

@2 2 2 0 2 2

0 0 21

A0 @x 1 x 2 x 31
A q

1(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23¡2x1x2¡2x1x3¡2x2x3

q

2(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3

q

3(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23+ 2x1x2+ 2x1x3+ 2x2x3

On a :

q

1(x) = 2³

x

1¡x2

2

¡x3

2 2+3 2 (x2¡x3)2 f

1n'est pas un produit scalaire.

Faisons de m^eme pourq2:

q

2(x) =x21+x22+x23+ (x2+x1+x3)2

qui est bien positive.

Supposons :q2(x) = 0 on a :

8>>< >:x 21= 0
x 22= 0
x 23= 0
(x2+x1+x3)2= 0 de m^eme pourf2puisqueq2=q3 produit scalaire. 2. (a) La matriceA=0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A f(x;y) = 2x1y1+ 2x2y2+ 2x3y3¡x1y2¡x2y1¡x2y3¡x3y2 et q(x) = 2x21+ 2x22+ 2x23¡2x1x2¡2x2x3 q(x) = 2x21+ 2(x22¡x1x2¡x2x3) + 2x23= 2(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2+3 2 x21+3 2 x23¡x1x3 ou encore : q(x) = 2(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2+3 2 (x21¡2 3 x1x3) +3 2 x23

Finalement :

q(x) = 2(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2+3 2 (x1¡1 3 x3)2+4 3 x23

Donc pour toutx, on aq(x)¸0:

De plus

q(x) = 0,8 :(x2¡1 2 x1¡1 2 x3)2= 0 3 2 (x1¡1 3 x3)2= 0 4 3 x23= 0 8< :(x2¡1 2 x1¡1 2 x3) = 0 3 2 (x1¡1 3 x3) = 0 x

3= 0,8

:x 2= 0 x 1= 0 x 3= 0 scalaire. (b) Nous pouvons ainsi, en partant des vecteurs de la base canoniquefe1;e2;e3g, et f-orthogonale. f-orthogonal µau1:On doit avoir : f(au1+e2;u1) = 0 soit :a=¡f(e2;u1) q(u1) avec f(e2;u1) = (1;0;0)0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A0 @0 1 01 A =¡1 et q(u1) =f(u1;u1) = (1;0;0)0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A0 @1 0 01 A = 2

On obtienta=1

2 et donc :u2=au1+e2=0 @1=2 1 01 A orthogonal µau1et µa:u2on doit avoir : f(au1+bu2+e3;u1) = 0 soit :a=¡f(e3;u1) q(u1) avec : f(e3;u1) = (1;0;0)0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A0 @0 0 11 A = 0 donc :a= 0

De plus, on doit avoir :

f(au1+bu2+e3;u2) = 0 soit :b=¡f(e3;u2) q(u2) avec : f(e3;u1) = (0;0;1)0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A0 @1=2 1 01 A =¡1 et q(u2) =f(u2;u2) = (1=2;1;0)0 @2¡1 0

¡1 2¡1

0¡1 21

A0 @1=2 1 01 A = 3=2

On obtientb= 2=3:Ainsi :u3=au1+bu2+e3=0

@1 =3 2=3 11 A B f=8 u10 @1 0 01 A ;u20 @1=2 1 01 A ;u30 @1=3 2=3 11 A9= 2-1.2 q(x;y;z) =¡x2+ 2xy+ 4xz¡y2+z2 1. 2. la forme : q(X;Y;Z) =aX2+bY2+cZ2

Est-elle orthogonale ou orthonormale ?

1. q(x;y;z) =¡x2+ 2xy+ 4xz¡y2+z2= (z+ 2x)2¡5µ x

2¡2

5 xy+y2 5 donc q(x;y;z) = (z+ 2x)2¡5Ã x¡1 5 2 +4 25
y2!

Finalement

q(x;y;z) = (z+ 2x)2¡5µ x¡1 5 2 ¡4 5 y2 2. q(X;Y;Z) =X2¡5Y2¡4 5 Z2 avec

X=z+ 2x

Y=x¡1

5 y Z=y Pour trouver la baseB0dans laquelle l'expression deqest de cette forme, il faut exprimer (x;y;z) en fonction de (X;Y;Z). Ainsi, siPest la matrice de passage de la base canonique µa la baseB0, on a :quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

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