[PDF] 1 Formes bilinéaires 23 Oct 2013 Exercice 0.

View - Download 1 Formes bilinéaires

Previous PDF

Next PDF

Préparation à l"agrégation interne de mathématiques - Année 2013-2014 Algèbre bilinéaire, espaces euclidiens - 23 octobre 2013

1 Formes bilinéaires

Il y a énormément de références possibles (usuelles : [Mon06], [Gri02] et [Gou94]).

Le premier exercice est une " question de cours » et permet d"investir la bilinéarité, la symétrie

et la positivité d"une forme.

Exercice 0.

Sur unR-espace vectorielE, on considère une forme bilinéaire symétrique positive ?de forme quadratique associéeq(c"est-à direq(x) =?(x,x)).

1. Démontrer les inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowsky : pour tousxetydansE,

(a)(?(x,y))2?q(x)q(y) (b)? q(x+y)??q(x) +?q(y)

2. On suppose de plus?définie positive. Traiter les cas d"égalité.

Réduction de Gauss des formes quadratiques en somme et différence de carrés.

Le résultat théorique :

Théorème 1.Siqest une forme quadratique surRn, il existenformes linéaires?1,...,?n surE, linéairement indépendantes etnréelsα1,...,αntels que : q(x) =n? i=1α i(?i(x))2. Remarques 1.1. Il n"y pas unicité des formes linéaires?1,...,?n.

2. Certains coefficientsαipeuvent être nuls, les formes linéaires?icorrespondantes sont alors

sans intérêt.

3. La forme polaire ainsi qu"une baseq-orthogonale deEse déduisent de cette décomposition.

4. Lerangdeqest le nombre de coefficientsαinon nuls et lasignaturese déduit de la distribution

de signes de ces coefficientsαi.

Le but de l"exercice suivant est l"application de cette décomposition sur un exemple précis, et de

voir quelles informations peuvent en être déduites.

Exercice 1.

On considère la forme quadratique

q:R3-→R: (x,y,z)?-→x2+ 2y2-z2+ 2xy+ 2xz.

1. Justifier queqn"est ni positive, ni négative.

2. Décomposerqen somme et différence de carrés (de formes linéaires indépendantes).

3. En déduire :

(a) la forme polaire?deq; (b) le rang et la signature deq; (c) une baseq-orthogonale deR3; (d) la "nature» des ensembles de niveauq-1({0}),q-1({1})etq-1({-1}).

D"autres exemples sont proposés dans les références. Il y a deux cas possibles lors de l"application

de la méthode de Gauss, selon la nullité ou pas des termes " diagonaux ». 1 Exercice 2.On travaille sur un espace vectoriel réelEde dimensionn?2.

1. Justifier qu"une forme quadratique de signature(1,1)est le produit de deux formes linéaires

surE, linéairement indépendantes.

2. Décrire, à l"aide de ces deux formes linéaires, lenoyaudeq(le noyau de?(x,.)) ainsi que

l"ensemble des vecteursisotropes(vérifiantq(x) = 0).

2 Espaces euclidiens

Exercice 3.

SiPetQsont deux polynômes à coefficients réels, on définit ?P|Q?=? 1 0

P?(t)Q?(t)dt.

Pour tout entier naturel non nuln, on définit

E=?

P?Rn[X] :?

1 0

P(t)dt= 0?

1. Vérifier que?.|.?est une forme bilinéaire symétrique positive surR[X]. Est-elle définie positive?

2. Démontrer queEmuni de?.|.?est un espace euclidien.

3. Déterminer une base orthonormale de(E,?.|.?)lorsquenest égal à3.

Indication : Déterminer une base deEpuis appliquer l"orthonormalisation de Schmidt. Exercice 4.SurE=R2[X], on considère l"application?définie par ?(P,Q) =2? k=0P(k)Q(k).

1. Montrer que l"application?est un produit scalaire surE.

2. Déterminer une base orthonormale (relativement à?) du sous-espaceF={P?E:P(0) = 0}.

3. Déterminer une base deF?.

Exercice 5.

1. Vérifier que l"application(A,B)?-→tr?tAB?définit un produit scalaire surMn(R).

On note?.?la norme associée à ce produit scalaire.

2. Exprimer la norme?A?d"une matriceA= (aij)en fonction de ses coefficients.

3. Vérifier que les "matrices indicatrices»Eij(coefficients tous nuls sauf celui d"indice(i,j)égal

à1) forment une base orthonormée deMn(R).

4. Vérifier qu"une matrice orthogonale est de norme⎷

n.

5. Démontrer que, pour toute matrice symétriqueA= (aij)deMn(R)de valeurs propresλ1,...,λn,

on a l"égalitén? k=1λ 2 i=n? i,j=1a 2 ij. Indication : Une matrice symétrique réelle est ... 2

3 Endomorphismes d"un espace euclidien

Exercice 6.

(projecteur orthogonal et moindres carrés)

Soitpun endomorphisme d"un espace vectorielE

1. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes

(i)p◦p=p (ii)E= ker(p)?ker(p-id) Un endomorphisme vérifiant ces propriétés est leprojecteursur le sous-espaceker(p-id) = impparallèlement au sous-espaceker(p). Dans la suite, on considère un espace euclidien(E,?.,.?)muni de la norme associée?.?.

2. Soitpun projecteur deE. Montrer que les propriétés suivantes sont équivalentes

(i)pest un endomorphisme symétrique (ii) kerp= (imp)? Indication : Pour(ii)?(i): calculer?p(x),y?(resp.?x,p(y)?) en décomposanty(resp.x). On parle alors deprojecteur orthogonal(sur le sous-espaceF= imp, parallèlement àF?).

3. Exemple : sivest un vecteur non nul deE, décrire l"applicationpdéfinie pour tout vecteurx

deEpar p(x) =x-?x,v? ?v?2v.

4. Soitple projecteur orthogonal sur un sous-espace vectorielFdeE. Vérifier que, pour toutx

dansE: ?p(x)-x?= infy?F?y-x?= miny?F?y-x?= infx??E?p(x?)-x?= minx??E?p(x?)-x?. Indication : Utiliser le théorème de Pythagore.

5.Application : détermination de la droite de régression linéaire d"un nuage de points.

On considèrenpoints{Ai(xi,yi)}i=1,...,ndansR2et on recherche une droite deR2d"équation y=ax+bqui soit "la plus proche possible» des pointsAi. On cherche à minimiser la distri- bution des écartsyi-(axi+b)au sens suivant : trouveraetbafin de minimiser la quantité n i=1(yi-(axi+b))2.

On considère les vecteursx

=(((x 1... x n))) ;y=(((y 1... y n))) et1=(((1 1))) deRnetfl"application linéaire deR2dansRndéfinie parf(a,b) =ax +b1. (a) Montrer que le problème consiste à déterminer(a,b)tel que?f(a,b)-y ?soit minimal. (b) Montrer que le couple(a,b)recherché vérifie ?a?x ,x?+b?1,x?=?x,y? a?1 ,x?+b?1,1?=?1,y? Indication : Utiliser le projecteur orthogonalpdeRnsurimfet la famille génératrice {x ,1}deimf. (c) Résoudre le système précédent puis vérifier que a=n?ni=1xiyi-(?ni=1xi)(?ni=1yi) n?ni=1x2i-(?ni=1xi)2etb=? (d) Vérifier (avec quelques points) qu"une calculatrice ou un tableur fournit la même droite de régression linéaire. 3

Exercice 7.(matrices orthogonales, unitaires)

1. Montrer qu"une matrice orthogonale (resp. unitaire) admet pour déterminant±1(resp. un

nombre complexe de module1).

2. Montrer que toute valeur propre d"une matrice orthogonale (resp. unitaire) est de module1.

3. Montrer que1est valeur propre de toute matrice deSO(3,R). Que représente l"espace propre

associé (discuter selon la dimension)?

Exercice 8.

(la dimension 2)L"espaceR2est muni de la structure euclidienne canonique.

1. Démontrer que les matrices deSO(2,R)sont les matrices de la forme?cosθ-sinθ

sinθcosθ?

2. Vérifier que le groupeSO(2,R)est commutatif. Est-ce le cas du groupeO(2,R)?

3. Décomposer l"endomorphisme défini par la matrice

1

2?1-⎷3⎷

3 1? en produit de deux réflexions dont on donnera les matrices dans le base canonique.

Exercice 9.

(la dimension 3)L"espaceR3est muni de la structure euclidienne canonique.

1. Décrire l"endomorphisme défini par la matrice

1 3(( 2-1 2 2 2-1 -1 2 2))

2. Déterminer la matrice de la symétrie orthogonale par rapport au plan d"équationx-2y+2z= 0.

Indication : Cette symétrie s"écrit2p-idavecpun certain projecteur ortogonal.

3. Déterminer la matrice de la rotation d"angle2π3autour de l"axe dirigé et orienté par le vec-

teur((111))

Références

[Gou94] Xavier Gourdon. Algèbre. Les maths en tête. Ellipses, Paris, 1994. [Gri02] Joseph Grifone. Algèbrelinéaire. Cépaduès-Éditions, Toulouse, 2002. [Mon06] Jean-Marie Monier. AlgèbreMPSI,Cours,méthodesetexercicescorrigés,4eédition. J"in- tègre. Dunod, Paris, 2006. 4quotesdbs_dbs41.pdfusesText_41

[PDF] écrire en portugais

[PDF] comment traduire un mail sur gmail

[PDF] verbe écrire en portugais

[PDF] gmail correcteur orthographique anglais

[PDF] gmail en français internet

[PDF] traduction gmail android

[PDF] changer langue correcteur gmail

[PDF] alphabet portugais clavier

[PDF] forme canonique en ligne

[PDF] classification des nombres

[PDF] catégories de nombres

[PDF] type de nombre math

[PDF] famille de nombres

[PDF] ensemble de nombres mathématiques

[PDF] nombre négatif ordre croissant